Il determinante di una matrice quadrata

Il determinante è uno scalare associato a una matrice quadrata che codifica informazioni geometriche e algebriche cruciali. Si indica con det(A), |A| o Δ. Geometricamente, il determinante in dimensione 2 rappresenta l'area (con segno) del parallelogramma formato dai vettori riga (o colonna); in dimensione 3 il volume del parallelepipedo; in generale il fattore di scala per il volume n-dimensionale sotto la trasformazione lineare associata alla matrice. Un determinante nullo indica che la matrice è singolare: non invertibile, con righe linearmente dipendenti, corrispondente a una trasformazione che collassa lo spazio su un sottospazio di dimensione minore.

Determinante 2×2

Per una matrice 2×2 A = [[a, b], [c, d]] vale la formula det(A) = ad − bc. Esempi: det([[3, 2], [1, 4]]) = 12 − 2 = 10; det([[2, 4], [1, 2]]) = 4 − 4 = 0 (singolare, righe proporzionali). Geometricamente, se le colonne sono i vettori u = (a, c) e v = (b, d), allora |det| è l'area del parallelogramma (u, v) e il segno indica l'orientamento: positivo se la rotazione da u a v è antioraria, negativo se oraria.

Determinante 3×3 (regola di Sarrus)

Per una matrice 3×3 A = [[a₁₁, a₁₂, a₁₃], [a₂₁, a₂₂, a₂₃], [a₃₁, a₃₂, a₃₃]], la regola di Sarrus dà: det(A) = a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ − a₁₃·a₂₂·a₃₁ − a₁₁·a₂₃·a₃₂ − a₁₂·a₂₁·a₃₃. Si memorizza duplicando le prime due colonne a destra della matrice e sommando i prodotti delle tre diagonali discendenti, sottraendo quelli delle tre ascendenti. Esempio: det di I₃ (identità 3×3) = 1·1·1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1.

Sviluppo di Laplace per cofattori

Per matrici di ordine qualsiasi si usa lo sviluppo di Laplace lungo una riga o colonna: det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · a_{ij} · M_{ij}, dove M_{ij} è il minore, ossia il determinante della sottomatrice ottenuta cancellando la riga i e la colonna j. Esempio con sviluppo lungo la prima riga di una 3×3: det = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁). Lo sviluppo riduce il problema a calcolare determinanti di ordine (n−1), ricorsivamente.

Proprietà del determinante

• det(I) = 1 per la matrice identità.
• det(AB) = det(A)·det(B) (teorema di Binet).
• det(A^T) = det(A): riga e colonna giocano ruoli simmetrici.
• det(A^(−1)) = 1/det(A) se A invertibile.
• Scambiando due righe il determinante cambia segno.
• Moltiplicando una riga per k, det si moltiplica per k. Quindi det(kA) = k^n · det(A).
• Se una riga è combinazione lineare delle altre, det = 0.
• Aggiungendo a una riga un multiplo di un'altra, det non cambia (base delle trasformazioni di Gauss).

Regola di Cramer

La regola di Cramer risolve sistemi lineari quadrati n×n con determinante non nullo. Per il sistema A·x = b, la componente x_i si ottiene come x_i = det(A_i) / det(A), dove A_i è A con la i-esima colonna sostituita dal vettore b. Funziona solo se det(A) ≠ 0 (soluzione unica). Esempio 2×2: 2x + y = 5, x + 3y = 8 → det(A) = 6−1 = 5; det(A_x) = det([[5,1],[8,3]]) = 15−8 = 7 → x = 7/5 = 1,4; det(A_y) = det([[2,5],[1,8]]) = 16−5 = 11 → y = 11/5 = 2,2. Verifica: 2·1,4 + 2,2 = 5 ✓.

Quando usare Cramer

La regola di Cramer è elegante e utile per dimostrazioni teoriche, ma computazionalmente inefficiente per n grandi: richiede n+1 determinanti di ordine n, ciascuno O(n³), totale O(n^4) contro O(n³) per l'eliminazione gaussiana. In pratica, per n ≥ 4 è preferibile usare Gauss, LU o QR decomposition. Cramer resta utile per sistemi 2×2, 3×3 o per esprimere simbolicamente la soluzione (utile in fisica e ingegneria analitica).

Come usare il calcolatore

Quattro modalità: Determinante 2×2 (a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂); Determinante 3×3 (nove elementi); Cramer 2×2 (coefficienti e RHS per sistema 2 equazioni); Cramer 3×3 (nove coefficienti e vettore RHS per sistema 3 equazioni). Il calcolatore mostra il determinante (o soluzione), la traccia (somma degli elementi diagonali), e segnala matrici singolari. I valori possono essere interi, decimali o negativi.

Interpretazioni geometriche

Il determinante è il fattore di scala del volume per la trasformazione lineare. Se |det| > 1 la trasformazione espande le aree/volumi, se |det| < 1 li contrae, se = 1 li preserva (trasformazione isometrica o di volume unitario). Le matrici di rotazione hanno det = +1; le riflessioni hanno det = −1; le matrici di proiezione su sottospazi hanno det = 0. In fisica, lo jacobiano (determinante della matrice jacobiana) appare nei cambiamenti di variabili negli integrali multipli: ∫f dV = ∫f(g(u,v,w)) · |J| du dv dw.

Aggiornato a luglio 2026