Wie berechnet man den Mann-Whitney-U-Test

Berechne Mann-Whitney-U-Test (Wilcoxon Rangsummen) zum Vergleich zwei unabhängiger Stichproben ohne Normalitätsannahmen. U-Statistik, z, p-Wert, Effektgröße r, rank-biserial. Klinische, Finanzbeispiele.

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Wie berechnet man den Mann-Whitney-U-Test: nichtparametrischer Test (Mann-Whitney 1947, Wilcoxon 1945) vergleicht zwei unabhängige Stichproben ohne Annahme normaler Verteilungen. Daten beider Gruppen kombinieren, Ränge zuweisen (1 für Minimum, N für Maximum, mittlere Ränge bei Bindungen), U_1 = n_1*n_2 + n_1(n_1+1)/2 - R_1 und U_2 = n_1*n_2 + n_2(n_2+1)/2 - R_2 berechnen, wobei R_i die Rangsumme der Gruppe i ist. Statistik U = min(U_1, U_2) wird mit tabellierten kritischen Werten für kleine Stichproben (n <= 20) oder Normalapproximation z = (U - mu_U)/sigma_U für große verglichen.

Formeln des Tests

U-Statistik: U_1 = n_1*n_2 + n_1(n_1+1)/2 - R_1; U_2 = n_1*n_2 + n_2(n_2+1)/2 - R_2; Beziehung U_1 + U_2 = n_1*n_2. Konventionell U = min(U_1, U_2).

Normalapproximation (n_1, n_2 >= 8): Mittelwert mu_U = n_1*n_2/2, Varianz sigma^2_U = n_1*n_2*(N+1)/12 wobei N = n_1 + n_2. Z = (U - mu_U)/sigma_U folgt Standardnormalverteilung. Bindungskorrektur: sigma^2_U = (n_1*n_2/12) * [(N+1) - Summe (t_k^3 - t_k) / (N*(N-1))].

P-Wert: zweiseitig p = 2 * P(Z >= |z|); einseitig rechts p = P(Z >= z); links p = P(Z <= z). Entscheidung: H_0 (gleiche Verteilungen) ablehnen wenn p < alpha (typischerweise 0,05). Effektgröße: rank-biserial r_b = 1 - 2U/(n_1*n_2) in [-1, 1]; alternativ r = |z|/sqrt(N) (Cohen 1988): klein 0,1, mittel 0,3, groß 0,5.

Hypothesen: H_0 Verteilungen identisch (P(X > Y) = 0,5). H_1 Lageunterschiede (Median). Annahmen: unabhängige Stichproben, mindestens ordinale Skala, ähnliche Formen. DIN EN ISO 5479 Normalitätstest.

Geschichte und Kontext

Frank Wilcoxon (1945) führte den Rangsummentest in "Individual Comparisons by Ranking Methods" Biometrics ein, während er bei American Cyanamid Company in der Pestizidforschung an biologischen Assays arbeitete. H. B. Mann und D. R. Whitney (1947) verallgemeinerten den Test in Annals of Mathematical Statistics an der Ohio State University und leiteten die exakte U-Verteilung und kritische Tabellen ab. Der Test wurde schnell in der klinischen Pharmakologie übernommen, um Einschränkungen des parametrischen t-Tests bei kleinen Stichproben zu überwinden. In den 1970er Jahren integrierten SAS, SPSS und BMDP den Test. Heute ist es der am häufigsten verwendete nichtparametrische Test in den biomedizinischen Wissenschaften: PubMed zählt über 200.000 Artikel. CONSORT 2010 empfiehlt Mann-Whitney für kontinuierliche Endpunkte in Pilotstudien. BfArM Deutschland, EMA EU Regulierung. ICH E9 (Statistical Principles for Clinical Trials).

Tabelle kritische U-Werte (alpha = 0,05 zweiseitig)

  • n_1=5, n_2=5: U_kritisch = 2
  • n_1=6, n_2=6: U_kritisch = 5
  • n_1=8, n_2=8: U_kritisch = 13
  • n_1=10, n_2=10: U_kritisch = 23
  • n_1=12, n_2=12: U_kritisch = 37
  • n_1=15, n_2=15: U_kritisch = 64
  • n_1=20, n_2=20: U_kritisch = 127
  • n >= 20: Normalapproximation Z verwenden
  • Tabellen in Hollander-Wolfe-Chicken (Wiley 2013)
  • R wilcox.test(); Python scipy.stats.mannwhitneyu()

Detaillierte numerische Beispiele

Beispiel 1 - Wirksamkeit Schmerzmittel. BfArM-Studie: behandelte Gruppe (n_1=8) NRS Schmerz nach 1h: {7, 3, 6, 2, 4, 3, 5, 5}; Placebo (n_2=8): {3, 5, 6, 4, 6, 7, 8, 9}. Ränge: R_1 = 51, R_2 = 85. U_1 = 49, U_2 = 15. U = 15. mu_U = 32, sigma_U = 9,52, z = -1,786, p = 0,074. NICHT signifikant. Effektgröße r = 0,447, mit größerem n wiederholen.

Beispiel 2 - Reaktionszeiten Frauen vs Männer. BAuA Ergonomiestudie: Zeiten (ms) Gruppe A Frauen (n=12) Mittel 320; Gruppe B Männer (n=12) Mittel 305. Mann-Whitney U = 48, z = -2,12, p = 0,034. Signifikant bei 0,05. DIN EN ISO 9241-11 Ergonomie.

Beispiel 3 - Bundesanleihen vs Bunds 10y wöchentlich. Deutsche Finanzagentur 12 Wochen vs Bundesbank 12 Wochen. Mann-Whitney lehnt H_0 ab (Renditen unterschiedlich, p = 0,002), bestätigt strukturellen Spread.

Beispiel 4 - Performance Edeka vs REWE. Vergleich Umsatz pro m² (€/m²) 15 Filialen pro Kette. Mann-Whitney U = 78, z = 1,42, p = 0,156. Nicht signifikant.

Beispiel 5 - Likert-Zufriedenheitsumfrage. 5-Punkte-Skala Produkt A vs B, n_1 = 30, n_2 = 30. Mann-Whitney U = 320, z = -2,98, p = 0,0029. Signifikant, A besser. DIN EN ISO 9001 Kundenzufriedenheit. Ordinale Daten erfordern nichtparametrisch.

Grenzen

  1. n_1, n_2 < 8 exakte Tabellen verwenden.
  2. Verschiedene Verteilungsformen: U misst stochastische Dominanz.
  3. Viele Bindungen (>25%): Varianzkorrektur notwendig.
  4. Erkennt keine Skalenunterschiede: Levene verwenden.
  5. Power geringer als t-Test bei normalverteilten Daten: 95,5% asymptotische Effizienz.
  6. Gepaarte Daten: Wilcoxon signed-rank verwenden.
  7. >2 Gruppen: Kruskal-Wallis.
  8. Binäre Endpunkte: Fisher's exact oder Chi-Quadrat.
  9. Effektgröße obligatorisch: APA, CONSORT.
  10. Software: R, Python scipy, SPSS, SAS.

Häufige Fehler

  1. t-Test bei ordinalen Daten statt Mann-Whitney.
  2. Mann-Whitney mit Wilcoxon signed-rank verwechseln.
  3. Nur p-Wert ohne Effektgröße berichten.
  4. Normalapproximation für n < 8.
  5. Varianz nicht für Bindungen korrigieren.
  6. U als Mediandifferenz bei verschiedenen Formen interpretieren.
  7. Mann-Whitney bei pre-post Daten (Wilcoxon SR).
  8. Multiple Tests ohne Bonferroni.
  9. Zweiseitig mit einseitig p verwechseln.
  10. Test post-hoc auswählen (data dredging).

Praktische Anwendungen

  1. Medizin: BfArM klinische Studien, EMA RCT, NIHSS Schlaganfall-Skalen.
  2. Psychologie: BDP kognitive Tests, Likert.
  3. Pharmakologie: Dosis-Wirkungs-Studien, ICH E9.
  4. Ergonomie: BAuA Haltungsstudien, DIN EN ISO 9241-11.
  5. Finanzen: Vergleich Asset-Renditen Bundesanleihen.
  6. Marketing: AB-Testing.
  7. Landwirtschaft: Sortenertrag JKI, BMEL.
  8. Industrie: Lossqualitätskontrolle, DIN EN ISO 2859.
  9. Sozialwissenschaften: Destatis Einkommen, Wohlbefindensskalen.
  10. Sport: Gruppenvergleich DOSB.

Unterstützung

Fragen: info@calcoi.com. Pädagogisches Werkzeug für nichtparametrische Inferenz. Professionelle Anwendungen: Hollander-Wolfe-Chicken (Wiley 2013), R wilcox.test(), Python scipy.stats.mannwhitneyu().

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Wann Mann-Whitney statt t-Test verwenden?

Mann-Whitney bei ordinalen Daten (Likert, Schweregrad-Skalen), nicht-normalen Verteilungen (Shapiro-Wilk p<0,05), Ausreißern, kleinen Stichproben n50 mit bestätigter Normalität t-Test bevorzugen (stärker).

Unterschied Mann-Whitney vs Wilcoxon signed-rank?

Mann-Whitney (Rangsummen): zwei UNABHÄNGIGE Stichproben (verschiedene Gruppen). Wilcoxon signed-rank: zwei GEPAARTE Stichproben (gleiches Subjekt pre-post, matched pairs). Verwechslung ist häufiger Fehler: bei Cross-over Wilcoxon SR; bei Parallelgruppen-RCT Mann-Whitney verwenden. Hollander-Wolfe-Chicken Kap 4 vs Kap 3. R: wilcox.test(x, y, paired=FALSE) MW; paired=TRUE Wilcoxon SR.

Wie Bindungen im Test behandeln?

Mittleren Rang zuweisen: für t Bindungen auf Rängen r, r+1, ..., r+t-1, erhält jeder Rang (r + (r+t-1))/2. Varianzkorrektur: sigma^2_U = (n_1*n_2/12) * [(N+1) - Summe (t_k^3 - t_k) / (N*(N-1))]. Bei >25% Bindungen Normalapproximation ungenau: exakten Permutationstest verwenden (R coin::wilcox_test), oder Datentransformation. Conover-Iman (1981) empfohlen.

Wie Effektgröße berechnen?

Zwei Standardmetriken. Rank-biserial: r_b = 1 - 2U/(n_1*n_2), Bereich [-1, 1], Richtungsinterpretation. Cohen 1988 r = |z|/sqrt(N) Bereich [0, 1]: r=0,1 klein, 0,3 mittel, 0,5 groß. APA Manual 7. Aufl. (2020) und CONSORT 2010 verlangen Effektgröße neben p-Wert. Alternative Vargha-Delaney A12 = (R_1/n_1 - (n_1+1)/2) / n_2 + 0,5: A12=0,5 keine Differenz, 0,7 groß.

Kann ich Mann-Whitney auf kontinuierliche Daten anwenden?

Ja, vollständig gültig. Tatsächlich ist der Test bei kontinuierlichen Daten ohne echte Bindungen effizienter (keine Varianzkorrektur). Mann-Whitney verliert nur 4,5% relative Effizienz vs optimaler t-Test (Pitman ARE 0,955) bei wirklich normalverteilten Daten, großer Vorteil bei schweren Schwänzen, Schiefe, Ausreißern. Wilcoxon (1945) entwickelte ihn für kontinuierliche biologische Daten. Tukey-Empfehlung: MW standardmäßig verwenden.

Wie Ergebnis für Entscheidungsfindung interpretieren?

Workflow: (1) Wenn p < alpha (0,05), statistisch signifikante Differenz. (2) Effektgröße prüfen: kleiner r<0,1 kann praktisch irrelevant sein auch bei Signifikanz. (3) Hodges-Lehmann Konfidenzintervall berücksichtigen (Median-Shift). (4) Statistische nicht mit klinischer Signifikanz verwechseln. (5) Reproduzierbarkeit (angemessenes n). EMA BfArM und FDA fordern vorab spezifizierte Stichprobengröße mit Power 80%.

Erkennt Mann-Whitney Varianzunterschiede oder nur Mediane?

Mann-Whitney testet stochastische Dominanz P(X > Y) != 0,5, nicht spezifisch Median. Wenn Verteilungen gleiche Form haben und sich nur in Lage unterscheiden (Location-Shift-Modell), interpretiert sich MW als Mediantest. Bei sehr verschiedenen Formen (z.B. eine schief, andere symmetrisch) kann MW H_0 ablehnen auch bei gleichen Medianen. Für Varianzen Levene-Brown-Forsythe; für Verteilungsformen Kolmogorov-Smirnov zwei-Stichproben.

Formel

U_1 = n_1*n_2 + n_1*(n_1+1)/2 - R_1
U_2 = n_1*n_2 + n_2*(n_2+1)/2 - R_2
U = min(U_1, U_2)
mu_U = n_1*n_2/2
sigma^2_U = n_1*n_2*(N+1)/12
Z = (U - mu_U) / sigma_U
r_b = 1 - 2*U/(n_1*n_2)
Wilcoxon 1945; Mann-Whitney 1947; Hollander-Wolfe-Chicken Wiley 2013

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