Sinussatz Rechner (Law of Sines)

Löse Dreiecke mit dem Sinussatz: ASA, AAS, SSA (mehrdeutiger Fall) sowie aus Umkreisradius R. Seiten, Winkel, Fläche und Behandlung mehrerer Lösungen.

Berechnungsparameter
Scegli il tipo di configurazione triangolo.
Angolo A (opposto al lato a).
Angolo B (opposto al lato b).
Angolo C. Per ASA/AAS viene dedotto automaticamente come 180−A−B.
Lato a, opposto all'angolo A.
Lato b, opposto all'angolo B. Usato in SSA.
Lato c, opposto all'angolo C.
Raggio del cerchio circoscritto, usato in modalità 'from_R'.
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Der Sinussatz

Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels konstant ist und dem Durchmesser des Umkreises entspricht:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2·R

Von persischen Mathematikern (Abu'l-Wafa, al-Biruni, 10. Jh.) studiert und in Europa durch Regiomontanus und Kopernikus formalisiert.

Die vier Modi

  1. ASA: zwei Winkel und die eingeschlossene Seite. Eindeutige Lösung.
  2. AAS: zwei Winkel und nicht eingeschlossene Seite. Eindeutig.
  3. SSA: mehrdeutiger Fall. 0, 1 oder 2 Lösungen.
  4. Aus R: Winkel + Umkreisradius → Seiten.

Mehrdeutiger SSA-Fall

Gegeben A, a, b: sin B = b·sin A / a.

  • sin B > 1: keine Lösung.
  • sin B = 1: eine Lösung, B = 90°.
  • sin B < 1: zwei Werte B₁ und B₂ = 180° − B₁; A+B<180° für jede prüfen.

Geometrischer Beweis

Basiert auf dem Satz vom Peripheriewinkel (Euklid, Buch III): der Peripheriewinkel über einer Sehne ist halb so groß wie der zugehörige Zentriwinkel. Verlängert man eine Seite bis zum Durchmesser und wendet elementare Trigonometrie an, erhält man a = 2R·sin A.

Anwendungen

  • Seefahrt: Ortsbestimmung durch Triangulation zweier Peilungen.
  • Astronomie: Sternparallaxe mit 1-AE-Basislinie.
  • Geodäsie: Vermessungstriangulation mit Theodolit.
  • GPS: Trilateration (analog mit Kreisen).
  • Fotografie: Bildwinkel einer Optik.
  • Ballistik: Verlängerung geneigter Flugbahnen.

Bezug zum Kosinussatz

  • SSS: Kosinus für einen Winkel, Sinus für die anderen.
  • SAS: Kosinus für dritte Seite, Sinus für andere Winkel.
  • ASA, AAS: Sinus.
  • SSA: Sinus mit Vorsicht im mehrdeutigen Fall.

Bemerkenswerte Identitäten

  • Fläche: S = ½·a·b·sin(C).
  • Mollweide-Formel: (a − b)/(a + b) = tan((A−B)/2)/tan((A+B)/2).
  • Halbwinkel: tan(A/2) = √((s−b)(s−c)/(s(s−a))), s halber Umfang.

Der Umkreis und der erweiterte Sinussatz

Die vollstandige Form des Sinussatzes bleibt nicht bei den Gleichheiten zwischen Seiten und Sinus stehen, sondern verknupft sie mit einer genauen geometrischen Grosse: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, wobei R der Radius des dem Dreieck umschriebenen Kreises ist, des einzigen Kreises durch alle drei Ecken. Dieser gemeinsame Radius macht das Verhaltnis Seite zu Sinus zu einer intrinsischen Eigenschaft des Dreiecks, gultig fur jede betrachtete Seite.

Der tiefe Grund liegt im Umfangswinkelsatz: ein Winkel des Dreiecks ist stets die Halfte des Mittelpunktswinkels, der dieselbe Seite vom Mittelpunkt des Umkreises aufspannt. Daraus folgt unmittelbar, dass jede Seite gleich 2R mal dem Sinus des Gegenwinkels ist. Der Rechner nutzt diese Beziehung: im Modus aus dem Umkreisradius rekonstruiert er das ganze Dreieck aus zwei Winkeln und R und zeigt, wie die Geometrie des Kreises die des einbeschriebenen Dreiecks bestimmt.

Der Sinussatz in Navigation und Triangulation

Der Sinussatz ist das mathematische Werkzeug hinter der Triangulation, der Technik zur Bestimmung unzuganglicher Positionen und Entfernungen durch blosse Winkelmessung. In der Vermessung erlaubt der Satz, durch Messen der Lange einer bekannten Basislinie und der beiden Winkel, unter denen ein entfernter Punkt von ihren Enden gesehen wird, die Entfernungen zu diesem Punkt zu berechnen, ohne ihn physisch zu erreichen. Es ist das Prinzip, auf dem die grossen geografischen Karten vor dem Satellitenzeitalter aufgebaut wurden.

In der Navigation, sowohl maritim als auch astronomisch, erlauben Winkel, die relativ zu Bezugspunkten oder Gestirnen gemessen werden, die eigene Position durch Losen von Dreiecken mit dem Sinussatz zu bestimmen. Die Funkpeilung ortet eine Funkquelle durch Kreuzen der von zwei Stationen erfassten Richtungen. Auch moderne Systeme, von der Laservermessung bis zur 3D-Rekonstruktion, beruhen auf demselben geometrischen Prinzip: aus wenigen Winkeln und einer bekannten Entfernung die ganze Figur rekonstruieren. Der mehrdeutige SSA-Fall, in dem zwei verschiedene Dreiecke mit denselben Daten vertraglich sind, ist genau die Situation, die in diesen praktischen Anwendungen Aufmerksamkeit erfordert.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Sinussatz?

Es ist die Beziehung, die in jedem Dreieck jede Seite mit dem Sinus des Gegenwinkels verbindet: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Die drei Verhaltnisse sind untereinander gleich und betragen 2R, den doppelten Radius des Umkreises. Er erlaubt, Dreiecke bei bekannten Winkeln und Seiten zu losen.

Wann verwendet man den Sinussatz?

Wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind (Falle ASA und AAS) oder zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (Fall SSA). In diesen Situationen findet man die fehlenden Seiten und Winkel. Fur zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel oder drei Seiten verwendet man stattdessen den Kosinussatz.

Was ist der ASA-Fall?

Es ist, wenn zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite bekannt sind. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° betragt, erhalt man sofort den dritten Winkel und dann mit dem Sinussatz die beiden fehlenden Seiten. ASA gibt stets eine und nur eine Losung, ein eindeutig bestimmtes Dreieck.

Was ist der mehrdeutige SSA-Fall?

Es ist, wenn zwei Seiten und ein einem von ihnen gegenuberliegender Winkel bekannt sind. Je nach Werten konnen zwei verschiedene Dreiecke, nur eines oder keines existieren: daher der Name "mehrdeutig". Man berechnet sin B = b·sin A/a; ubersteigt es 1, gibt es kein Dreieck, sonst kann B zwei supplementare Werte annehmen.

Warum kann SSA zwei Losungen geben?

Weil die Gleichung sin B = b·sin A/a zwei supplementare Losungen hat, B und 180°−B, beide mit demselben Sinus. Ergeben beide eine Winkelsumme unter 180°, existieren zwei gultige Dreiecke. Geometrisch entspricht das einer Seite, die das Dreieck in zwei verschiedenen Lagen schliessen kann.

Welchen Bezug hat er zum Umkreis?

Das gemeinsame Verhaltnis a/sin A = 2R verbindet das Dreieck mit seinem Umkreis vom Radius R durch die drei Ecken. Es folgt aus dem Umfangswinkelsatz und erlaubt, R aus den Dreiecksdaten zu gewinnen oder umgekehrt das Dreieck aus Winkeln und Radius zu konstruieren.

Wie findet man die Flache mit dem Sinussatz?

Bei bekannten zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel ist die Flache ½·a·b·sin C. Kombiniert man dies mit dem Sinussatz, kann man die Flache eines Dreiecks aus einer Seite und allen Winkeln berechnen, indem man zuerst die anderen Seiten findet und dann die Formel anwendet.

Wozu dient er in der Praxis?

Er ist grundlegend fur die Triangulation: in Vermessung, Navigation und Kartografie erlaubt er, unzugangliche Entfernungen durch blosse Messung von Winkeln und einer bekannten Basislinie zu berechnen. Er wird in der Funkpeilung, der astronomischen Navigation und bei Laser- und 3D-Vermessungen verwendet, um Figuren aus wenigen Daten zu rekonstruieren.

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