Calcolatore Teorema dei Seni (Law of Sines)

Risolvi triangoli col teorema dei seni: ASA, AAS, SSA (caso ambiguo), e dal raggio circoscritto R. Calcolo di lati, angoli, area e gestione soluzioni multiple.

Parametri di calcolo
Scegli il tipo di configurazione triangolo.
Angolo A (opposto al lato a).
Angolo B (opposto al lato b).
Angolo C. Per ASA/AAS viene dedotto automaticamente come 180−A−B.
Lato a, opposto all'angolo A.
Lato b, opposto all'angolo B. Usato in SSA.
Lato c, opposto all'angolo C.
Raggio del cerchio circoscritto, usato in modalità 'from_R'.
Questo calcolatore ti è stato utile?

Il teorema dei seni

Il teorema dei seni (o legge dei seni) è uno dei risultati più eleganti della trigonometria classica. Afferma che in ogni triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante, pari al diametro del cerchio circoscritto:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2·R

dove A, B, C sono gli angoli interni e a, b, c i lati opposti (lato a opposto al vertice A, ecc.), mentre R è il raggio del cerchio circoscritto. La formula è stata studiata dai matematici persiani del X secolo (Abu'l-Wafa, al-Biruni) e formalizzata in occidente nel XV-XVI secolo da Regiomontano e Copernico.

Le quattro modalità del calcolatore

  1. ASA (Angolo-Lato-Angolo): conosciamo due angoli e il lato compreso (c tra A e B). Dato che A+B+C = 180°, ricaviamo C e poi tutti i lati via il teorema dei seni. Sempre una sola soluzione.
  2. AAS (Angolo-Angolo-Lato): conosciamo due angoli e un lato non compreso (tipicamente a opposto ad A). Equivalente matematicamente ad ASA: ricaviamo C, R e gli altri lati. Una sola soluzione.
  3. SSA (Lato-Lato-Angolo): il caso ambiguo. Conosciamo un angolo e due lati, con l'angolo non compreso fra essi. A seconda dei valori, può esserci nessuna, una o due soluzioni. Il calcolatore gestisce automaticamente tutti e tre i casi.
  4. Dal raggio circoscritto R: dati R e due angoli, ricaviamo tutti e tre i lati con a = 2R·sin A. Utile quando si progetta un triangolo con raggio circoscritto imposto.

Il caso ambiguo SSA

La configurazione SSA (due lati e un angolo non compreso) è l'unica ad ammettere soluzioni multiple. Dato A, a, b:

  • Calcoliamo sin B = b·sin A / a.
  • Se sin B > 1: nessuna soluzione. Il lato b non è abbastanza lungo per chiudere il triangolo con quell'angolo A.
  • Se sin B = 1: una soluzione con B = 90° (triangolo rettangolo).
  • Se sin B < 1: potenzialmente due valori B₁ = arcsin(sin B) e B₂ = 180° − B₁. Se entrambi soddisfano A + B < 180° abbiamo due triangoli distinti; altrimenti solo uno.

È il classico «rebus» dei problemi di trigonometria scolastica — il calcolatore mostra sempre entrambe le soluzioni quando esistono, con le relative terne (a, b, c) e (A, B, C).

Dimostrazione geometrica

Il teorema dei seni ha una bella dimostrazione che coinvolge il cerchio circoscritto. Considera il triangolo ABC con cerchio circoscritto di centro O e raggio R. L'angolo al centro 2A sottende l'arco BC; il teorema dell'angolo al centro afferma che l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che sottende lo stesso arco. Considera ora il triangolo ottenuto prolungando BC fino al diametro passante per un vertice C: si ottiene a = 2R·sin A per trigonometria elementare. Ripetendo per gli altri due lati si ottiene la formula completa.

Applicazioni

  • Navigazione marina: triangolazione della posizione a partire da due bearings (angoli) verso fari o coste noti.
  • Astronomia: calcolo della distanza di stelle vicine tramite parallasse (metodo della base terrestre di 1 AU).
  • Geodesia: triangolazione topografica per misurare distanze terrestri a partire da angoli misurati al teodolite.
  • GPS: la trilaterazione (tre distanze da satelliti) usa geometria analoga, con cerchi invece di linee.
  • Fotografia: calcolo del campo visivo di un obiettivo da focale e angolo di visione diagonale.
  • Balistica: prolungamento di traiettorie inclinate sul terreno per ricavare angolo e gittata.

Relazione con il teorema del coseno

Il teorema dei seni complementa il teorema del coseno c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Strategia di risoluzione di un triangolo:

  • Se noti tre lati (SSS): usa il coseno per trovare un angolo, poi seno per gli altri.
  • Se noti due lati e angolo compreso (SAS): usa il coseno per il terzo lato, poi seno per gli altri angoli.
  • Se noti due angoli e un lato (ASA, AAS): usa sempre il teorema dei seni.
  • Se noti due lati e angolo non compreso (SSA): usa seno con attenzione al caso ambiguo.

Identità notevoli associate

  • Area tramite seno: S = ½·a·b·sin(C) = ½·b·c·sin(A) = ½·a·c·sin(B).
  • Formula di Mollweide: (a − b)/(a + b) = tan((A−B)/2) / tan((A+B)/2). Utile per verificare la correttezza di una soluzione.
  • Formula dei semiangoli: tan(A/2) = √((s−b)(s−c)/(s(s−a))) con s = (a+b+c)/2 (semiperimetro). Fondamentale in geometria algebrica dei triangoli.

Il cerchio circoscritto e la legge estesa dei seni

La forma completa del teorema dei seni non si ferma alle uguaglianze fra lati e seni, ma le collega a una quantita geometrica precisa: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, dove R e il raggio del cerchio circoscritto al triangolo, l'unica circonferenza che passa per tutti e tre i vertici. Questo raggio comune trasforma il rapporto lato-seno in una proprieta intrinseca del triangolo, valida qualunque sia il lato considerato.

La ragione profonda risiede nel teorema dell'angolo inscritto: un angolo del triangolo e sempre la meta dell'angolo al centro che sottende lo stesso lato dal centro del cerchio circoscritto. Da qui segue direttamente che ogni lato e uguale a 2R per il seno dell'angolo opposto. Il calcolatore sfrutta questa relazione: nella modalita dal raggio circoscritto ricostruisce l'intero triangolo a partire da due angoli e da R, mostrando come la geometria del cerchio governi quella del triangolo iscritto.

Il teorema dei seni nella navigazione e triangolazione

Il teorema dei seni e lo strumento matematico alla base della triangolazione, la tecnica per determinare posizioni e distanze inaccessibili misurando solo angoli. In topografia, misurando la lunghezza di una base nota e i due angoli con cui si vede un punto lontano dai suoi estremi, il teorema permette di calcolare le distanze da quel punto senza raggiungerlo fisicamente. E il principio su cui si sono costruite le grandi carte geografiche prima dell'era satellitare.

Nella navigazione, sia marittima sia astronomica, gli angoli misurati rispetto a punti di riferimento o astri permettono di fissare la propria posizione risolvendo triangoli con il teorema dei seni. La radiogoniometria localizza una sorgente radio incrociando le direzioni rilevate da due stazioni. Anche i sistemi moderni, dal rilievo laser alla ricostruzione 3D, poggiano sullo stesso principio geometrico: da pochi angoli e una distanza nota, ricostruire l'intera figura. Il caso ambiguo SSA, in cui due triangoli diversi sono compatibili con gli stessi dati, e proprio la situazione che richiede attenzione in queste applicazioni pratiche.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cos'e il teorema dei seni?

E la relazione che in ogni triangolo lega ciascun lato al seno dell'angolo opposto: a/sin A = b/sin B = c/sin C. I tre rapporti sono uguali fra loro e valgono 2R, il doppio del raggio del cerchio circoscritto. Permette di risolvere triangoli noti alcuni angoli e lati.

Quando si usa il teorema dei seni?

Quando si conoscono due angoli e un lato (casi ASA e AAS) oppure due lati e un angolo non compreso (caso SSA). In queste situazioni consente di trovare i lati e gli angoli mancanti. Per due lati e l'angolo compreso, o tre lati, si usa invece il teorema del coseno.

Cos'e il caso ASA?

E quando si conoscono due angoli e il lato compreso fra essi. Poiche la somma degli angoli di un triangolo e 180°, si ricava subito il terzo angolo, e poi con il teorema dei seni i due lati mancanti. ASA da sempre una e una sola soluzione, un triangolo univocamente determinato.

Cos'e il caso ambiguo SSA?

E quando si conoscono due lati e un angolo opposto a uno di essi. A seconda dei valori possono esistere due triangoli diversi, uno solo o nessuno: da qui il nome "ambiguo". Si calcola sin B = b·sin A/a; se supera 1 non c'e triangolo, altrimenti B puo assumere due valori supplementari.

Perche SSA puo dare due soluzioni?

Perche l'equazione sin B = b·sin A/a ha due soluzioni supplementari, B e 180°−B, entrambe con lo stesso seno. Se entrambe danno una somma di angoli inferiore a 180°, esistono due triangoli validi. Geometricamente corrisponde a un lato che puo chiudere il triangolo in due posizioni diverse.

Che relazione ha con il cerchio circoscritto?

Il rapporto comune a/sin A = 2R lega il triangolo al suo cerchio circoscritto, di raggio R passante per i tre vertici. Deriva dal teorema dell'angolo inscritto e permette di ricavare R dai dati del triangolo o, viceversa, di costruire il triangolo a partire da angoli e raggio.

Come si trova l'area con il teorema dei seni?

Nota una coppia di lati e l'angolo compreso, l'area e ½·a·b·sin C. Combinando questo con il teorema dei seni, si puo calcolare l'area di un triangolo conoscendo un lato e tutti gli angoli, ricavando prima gli altri lati e poi applicando la formula.

A cosa serve nella pratica?

E fondamentale nella triangolazione: in topografia, navigazione e cartografia permette di calcolare distanze inaccessibili misurando solo angoli e una base nota. E usato nella radiogoniometria, nella navigazione astronomica e nei rilievi laser e 3D per ricostruire figure da pochi dati.

Formula

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Caso ambiguo SSA: sin B = b·sin A / a con 0, 1 o 2 soluzioni.

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