Kolmogorov-Smirnov KS Test Rechner Nichtparametrische Statistik

Kolmogorov-Smirnov Test Rechner 1933-1948 nichtparametrische Statistik: D = sup|F_n - G_m|, p-Wert, α=5% Schwelle. ISTAT Rom, INFN CERN Atlas/CMS Higgs, SISSA Triest, PNRR KI Forschung.

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Kolmogorov-Smirnov KS Test Rechner nichtparametrische Statistik

Der Kolmogorov-Smirnov Test Rechner (KS Test) bestimmt die D-Statistik, den approximativen p-Wert, die kritische Schwelle D_crit α=5% und die Entscheidung zum Vergleich zweier empirischer Verteilungen (two-sample) oder einer empirischen vs theoretischen (one-sample), gemäß der Formulierung des russischen Mathematikers Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1933 Giornale Istituto Italiano Attuari Rom 4(83) + Nikolai Vasilyevich Smirnov 1948 Annals Mathematical Statistics 19(2). Die One-Sample-Formel: D = sup_x |F_n(x) - F(x)| wobei F_n die empirische CDF und F die theoretische CDF ist (Normal, Exponential, Uniform, Lognormal, Weibull). Die Two-Sample-Formel: D = sup_x |F_n(x) - G_m(x)| vergleicht zwei empirische CDFs der Größe n und m. Die skalierte Statistik: d_eff = D · √(n·m/(n+m)) ~ asymptotische Kolmogorov-Verteilung.

P-Wert-Approximation: p ≈ 2 · Σ (-1)^(k-1) · exp(-2·k²·d²) alternierende konvergente Reihe (k=100 Terme genügt Genauigkeit 1e-15).

Kritische Schwelle α=5%: D_crit ≈ 1,358 · √((n+m)/(n·m)) two-sample, D_crit ≈ 1,358/√n one-sample n groß.

Test-Eigenschaften

  • nichtparametrisch (verteilungsfrei, keine a priori Normalitätsannahme)
  • höhere Stärke im Zentrum vs Schwänzen (Anderson-Darling 1952 stärker an Schwänzen)
  • sensitiv gegenüber Form + Position + Skala
  • konsistent (Ablehnungswahrscheinlichkeit → 1 wenn H0 falsch, n → ∞)
  • H0: F = G
  • H1: F ≠ G

Statistische Anwendungen

  • Goodness-of-Fit Normalität alternative zu Shapiro-Wilk 1965 + Anderson-Darling Schwänze
  • Homogenitätstest zwei Stichproben A vs B Fertigung QC, A/B Marketing, klinische Studie pre/post Behandlung
  • ML-Modellvalidierung (Test vs Train, MLOps Drift Detection)
  • Trading und Finanzen: Normalitätstest Aktienrenditen (häufige Ablehnung → Pareto-Levy fat-tails stable)
  • ISTAT Einkommensverteilungsanalyse pre/post Krise (Covid 2020, Energie 2022)
  • INFN Test Monte-Carlo-Simulationen Atlas/CMS LHC-Daten vs MC GEANT4 Higgs Particle ID 2012-2024
  • Fertigungs-QC Six Sigma DMAIC ANIE Federation. Die italienischen Anwendungen:
  • ISTAT Nationales Statistikinstitut Rom 1926 Corrado Gini Haushaltseinkommensverteilungen, Multiscopo Arbeitskräfteerhebungen, IT-SILC EU-Einkommen, Permanenter Bevölkerungs- und Wohnungszensus
  • Bruno de Finetti Universität Rom 1931 subjektive Wahrscheinlichkeit bayesianische Austauschtheorie + italienische versicherungsmathematische Schule
  • Cataldo Agostinelli Politecnico Turin Mathematik 1894-1988 mathematische Statistik
  • INFN Nationales Institut Kernphysik KI Atlas/CMS Particle ID 2012-2024 KS p-Wert MC GEANT4 vs Daten Higgs Boson 2012 + LHC Wirkungsquerschnitte
  • INDAM Nationales Institut Höhere Mathematik Rom 1939 Wahrscheinlichkeit + mathematische Statistik
  • SISSA Triest 1978 + ICTP Triest 1964 Data Science Statistical Learning + Ökonophysik
  • Politecnico Mailand 1863 + Politecnico Turin 1859 mathematische Ingenieurwissenschaft + statistisches ML
  • Bocconi Mailand 1902 Statistical Learning Lab Algorithmik Big Data Finanz Mediobanca
  • Universität Pisa Scuola Normale Superiore 1810 Wahrscheinlichkeit Sergio Albeverio + Marco Fuhrman
  • IIT Genua 2003 Italienisches Institut für Technologie Robotik + KI
  • Cineca Bologna Marconi100 + Leonardo HPC EuroHPC 250 PFlops 4. weltweit Top500 MC-Simulationen + Verteilungsbenchmarks. Institutionelle Anker: PNRR Mission 4 Komponente 2 Forschung 6,9 Mrd. € nationale KI-Zentren (CN1 HPC) + Future AI Research FAIR; Banca d Italia 1893 Banking-Statistik-Daten; Consob 1974 Aktienrenditeverteilungen Borsa Italiana; Italienische Nobelpreise Physik: Carlo Rubbia 1984 W/Z Bosonen CERN + Riccardo Giacconi 2002 Röntgenastrophysik

Italienische KS-Test-Anwendungen Tabelle

BereichKS TestTypische SchwelleBeispiel DatumItalienische Institution
Goodness-of-Fit NormalitätOne-Sample N(μ,σ²)D_crit=1,358/√nn=100 D_crit=0,136ISTAT Rom 1926
Homogenität zwei Stichpr.Two-Sample n=m=50D_crit=0,272Pre/post Covid EinkommenISTAT + Banca Italia
ML-Drift-ValidierungTrain vs Test setD_crit=1,358·√((n+m)/nm)n=10k m=10k D_crit=0,019FAIR PNRR + IIT Genua
Trading RenditenNormal vs empirischD≈0,05-0,15 fat-tailsFTSE MIB log-Rend. tägl.Borsa Italiana + Consob
Monte Carlo HEPDaten vs MC GEANT4p>0,05 ValidierungHiggs 125 GeV CMS 2012INFN + CERN Atlas/CMS
QualitätskontrolleLose A vs Bα=5% Six SigmaANIE Federation Fertig.UNI ISO 2859 + Bocconi
RöntgenastrophysikSpektrum vs ModellD_crit binning-abhängigXMM-Newton + ChandraINAF + Giacconi 2002
EinkommensökonometrieNord vs Süd Regionenn=2000 D_crit=0,043Multiscopo IT-SILC ErhebungISTAT + INPS Daten
Klinische ArzneistudiePlacebo vs BehandelteD_crit n+m abhängigAIFA Phase III RCTAIFA + ISS Rom 1934
HPC MC-SimulationenStichprobe 10^9 EventsD_crit→0 für n→∞Leonardo Cineca 250 PFlopsCineca Bologna + INFN

(Quelle: Kolmogorov 1933 G. Ist. Ital. Attuari 4(83) + Smirnov 1948 Ann. Math. Statist. 19(2) + Massey 1951 JASA + ISTAT 1926 + INFN Atlas/CMS).

Italienische KS-Test-Berechnungsbeispiele

  • Two-Sample klassisch n=m=50, D=0,20 ISTAT Homogenität Einkommen pre/post Covid 2020 Krise: d_eff = 0,20·√(2500/100) = 0,20·5 = 1,000. p-Wert = 2·Σ(-1)^(k-1) exp(-2k²·1) ≈ 2·(0,1353-0,000335+1,52e-8...) ≈ 0,2700. D_crit = 1,358·√(100/2500) = 1,358·0,200 = 0,2716. Entscheidung α=5%: 0,20 < 0,2716 → H0 NICHT abgelehnt (statistisch verträgliche Verteilungen). Typisches ISTAT-Beispiel Haushaltseinkommen 2019 vs 2020 Multiscopo-Erhebung
  • D=0,30 n=m=50 starke H0-Ablehnung: d_eff=1,500. p ≈ 0,022. 0,30 > 0,2716 → H0 ABGELEHNT α=5% signifikant unterschiedliche Verteilungen. Fall pre/post Energiekrise 2022 Industrieeinkommen
  • D=0,40 n=m=50 sehr starke Ablehnung: d_eff=2,00, p ≈ 0,000670. 0,40 >> 0,2716 → Ablehnung p<0,001 erdrückende Evidenz Verteilungsunterschied
  • INFN Atlas/CMS Higgs Particle ID 2012-2024 KS MC GEANT4 vs LHC-Daten n=10^6 m=10^6 Events, D = 0,003 beobachtet. d_eff = 0,003·707 = 2,12 (asymptotisch). D_crit = 1,358/707 = 0,00192. Test: 0,003>0,00192 → signifikante Ablehnung MC-Diskrepanz → Tuning PYTHIA8-Generator. INFN-CERN typische Higgs 125 GeV Massenspitzenanalyse
  • ML MLOps Drift Detection FAIR PNRR Future AI Research n=10.000 Train m=10.000 Test, D=0,015. d_eff=0,015·70,7=1,06. p ≈ 0,21 → kein signifikanter Drift Modell stabil in Produktion (Kreditklassifizierer Mediobanca + UniCredit)
  • Trading FTSE MIB tägliche log-Renditen vs Normal n=2.500 10 Jahre Borsa Italiana, D=0,070 beobachtet. d_eff=0,070·35,4=2,48. p ≈ 1,7e-5 → Normalität ABGELEHNT: Renditen Pareto-Levy fat-tails α≈3 stable distribution Mandelbrot 1963. Implikation VaR 95% Gauß unterschätzt Tail-Risiko
  • ISTAT Regionen Nord vs Süd Italien Einkommen 2024 Multiscopo n=2.000 m=2.000, D=0,090. d_eff=0,090·31,6=2,84. p ≈ 5e-7 starke Ablehnung. D_crit=0,043. Bestätigt strukturelle Nord-Süd Medianeinkommenslücke (Banca d Italia Haushaltsbudget BIF)
  • Fertigungs-QC ANIE Federation Lose A vs B Six Sigma n=m=200, D=0,12, d_eff=1,20, p ≈ 0,11 → kein signifikanter Unterschied Los akzeptieren. UNI ISO 2859 Attribut-Stichprobenplan

Italienische Statistik- und Wahrscheinlichkeitsforschung

Die italienische Statistikforschung:

  • ISTAT Rom 1926 Corrado Gini Gini-Koeffizient Ungleichheit 1912 universell adoptiert, Multiscopo-Arbeitskräfteerhebung, IT-SILC EU, Permanenter Zensus, Volkswirtschaftliche Gesamtrechnungen ESVG2010
  • Bruno de Finetti Rom + Triest 1906-1985 subjektive Wahrscheinlichkeit 1931 + 1937 La Prévision Ann. Inst. Henri Poincaré (foundational bayesianisch + Austauschbarkeitssatz)
  • Cataldo Agostinelli Politecnico Turin 1894-1988 Mathematik + Statistik + numerische Analyse
  • INFN Frascati 1951 KI Atlas/CMS Particle ID KS p-Wert MC GEANT4 PYTHIA8 vs Daten Higgs 125 GeV 2012 (Carlo Rubbia 1984 W/Z CERN UA1 Nobel)
  • INDAM Rom 1939 Francesco Severi + GNAMPA Wahrscheinlichkeit + GNCS wissenschaftliches Rechnen
  • SISSA Triest 1978 Data Science + Statistical Learning + Kosmologie
  • ICTP Triest 1964 Abdus Salam Gründer + Festkörperphysik + Ökonophysik
  • Politecnico Mailand 1863 + Turin 1859 MOX + DataLab Bocconi
  • Bocconi Mailand 1902 + BIDSA Algorithmik-Lab + Mediobanca Finanz
  • Pisa + Scuola Normale Superiore 1810 Carlo Pucci + Marco Fuhrman SDE
  • IIT Genua 2003 Robotik KI
  • Cineca Bologna 1969 + Leonardo HPC 250 PFlops 4. weltweit
  • FAIR PNRR M4C2 114,5 Mio. € 25 Universitäten + IIT + CNR + Bocconi + Sapienza Rom
  • INFN-CNAF Bologna LHC Tier-1
  • Banca d Italia 1893 + BIF Banking-Statistik + Default Rate Basel III/IV
  • Consob 1974 Borsa Italiana FTSE MIB
  • Italienische Nobelpreise Physik: Marconi 1909, Fermi 1938, Segrè 1959, Rubbia 1984, Levi-Montalcini 1986, Giacconi 2002, Giorgio Parisi 2021 Spinglas Sapienza Rom
  • ANIE Federation 1.100 Unternehmen + ANFIA Six Sigma DMAIC

Italienische Steuerboni 2025-2026 Forschung: F&E-Steuergutschrift L. 160/2019 bis zu 25%; Patent Box L. 178/2020 50%; PNRR Mission 4 Komponente 2 6,9 Mrd. € nationale KI-Zentren + FAIR; Industria 4.0 Transizione 5.0 DL 39/2024 Steuergutschrift bis zu 35%; Iperammortamento 250%; MUR PNRR PhD 25.000 Stipendien Innovation + Verwaltung + Kulturerbe; SISSA + ICTP Triest 50 Fellowships Data Science; Bocconi BIDSA Master Data Science 12.000 €/Jahr 50% Leistungsstipendien.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Kolmogorov-Smirnov-Test?

Nichtparametrischer statistischer Test formuliert Andrey Kolmogorov 1933 G. Ist. Ital. Attuari Rom + Smirnov 1948 Annals Math Statist zum Vergleich von Verteilungen: D = sup_x |F_n(x) - G_m(x)|. One-Sample empirisch vs theoretisch, Two-Sample zwei empirische. Verteilungsfrei, sensitiv gegenüber Form und Skala. Verwendet ISTAT Einkommen, INFN Higgs, ML-Drift, Trading.

Formel KS D-Statistik und p-Wert?

D = sup_x |F_n(x) - G_m(x)| maximale Differenz empirischer CDFs. Skalierte Statistik: d_eff = D·√(n·m/(n+m)) ~ asymptotisch Kolmogorov. P-Wert: p ≈ 2·Σ (-1)^(k-1)·exp(-2·k²·d²) alternierende Reihe k=1..100. Kritische α=5% Schwelle: D_crit ≈ 1,358·√((n+m)/(n·m)) two-sample. One-sample n groß: D_crit ≈ 1,358/√n. Massey 1951 JASA exakte tabellierte Formeln.

Beispiel KS Two-Sample n=m=50 D=0,20?

Klassisches Two-Sample n=m=50 D=0,20 ISTAT Einkommen pre/post Covid: d_eff = 0,20·√(2500/100) = 1,000. p-Wert = 2·Σ(-1)^(k-1)exp(-2k²·1) ≈ 0,270. D_crit = 1,358·√(100/2500) = 0,2716. Entscheidung α=5%: 0,20<0,2716 H0 NICHT abgelehnt Verteilungen verträglich. Typisches ISTAT-Beispiel Multiscopo-Haushaltseinkommenserhebung 2019 vs 2020 Italien.

Wann H0 im KS-Test ablehnen?

Ablehnung H0 wenn D > D_crit α=5% (= 1,358·√((n+m)/(n·m)) two-sample). Beispiele: D=0,20 n=m=50 → D_crit=0,272 NICHT ablehnen p≈0,27; D=0,30 → ablehnen α=5% p≈0,022; D=0,40 → sehr starke Ablehnung p≈0,0007 erdrückende Evidenz. p<0,05 konventionelle Ablehnung, p<0,01 stark, p<0,001 sehr stark. Massey 1951 + Marsaglia 2003 exakter C-Algorithmus.

KS ML-Drift-Detection-Validierung?

ML-Drift KS-Test Train vs Test (Covariate Shift) oder Produktion vs Historie (Concept Drift): n=10k m=10k numerisches Feature, berechne D = sup|F_n-G_m|, D_crit α=5% = 1,358·√(2/10000) = 0,019. D<0,019 kein Drift Modell stabil. MLOps-Standard scikit-learn scipy.stats.ks_2samp + Evidently AI + Alibi Detect. FAIR PNRR + IIT Genua + Bocconi BIDSA Algorithmik-Lab.

Atlas/CMS INFN Higgs KS-Test?

INFN Atlas/CMS LHC Particle ID 2012-2024 KS-Test Daten vs MC GEANT4 PYTHIA8: Verteilungsvergleich invariant mass, missing transverse energy, b-tagging score. Higgs 125 GeV Entdeckung 2012 H→γγ + H→ZZ. KS p-Wert Validierung Generator-Tuning. INFN-CNAF Bologna Tier-1 + Cineca Leonardo 250 PFlops. Carlo Rubbia 1984 Nobel W/Z UA1 LHC-Vorgänger.

KS Finanzrenditen Normalität?

KS-Normalitätstest log-Renditen FTSE MIB Borsa Italiana 2.500 Tage 10 Jahre: D≈0,07 beobachtet. d_eff=0,07·√(2500/2)=2,48. p≈1,7e-5 Normalität ABGELEHNT. Bestätigt fat-tails Pareto-Levy α≈3 Mandelbrot 1963 stable distribution. Implikation VaR 95% Gauß unterschätzt Tail-Risiko. Banca d Italia + Consob 1974 + Mediobanca Risikomanagement Basel III/IV.

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