Calcolatore Test Kolmogorov-Smirnov KS Statistica Non Parametrica

Calcolatore test Kolmogorov-Smirnov 1933-1948 statistica non parametrica: D = sup|F_n - G_m|, p-value, soglia α=5%. ISTAT Roma, INFN CERN Atlas/CMS Higgs, SISSA Trieste, PNRR ricerca AI.

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Calcolatore test Kolmogorov-Smirnov KS statistica non parametrica

Il calcolatore test Kolmogorov-Smirnov (KS test) determina la statistica D, il p-value approssimato, la soglia critica D_crit al 5% e la decisione per il confronto fra due distribuzioni empiriche (two-sample) oppure fra una distribuzione empirica e una teorica (one-sample), secondo la formulazione del matematico russo Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1933 Giornale Istituto Italiano Attuari Roma 4(83) + Nikolai Vasilyevich Smirnov 1948 Annals of Mathematical Statistics 19(2). La formula one-sample: D = sup_x |F_n(x) - F(x)| dove F_n è la CDF empirica del campione e F la CDF teorica (Normale, Esponenziale, Uniforme, Lognormale, Weibull). La formula two-sample: D = sup_x |F_n(x) - G_m(x)| confronta due CDF empiriche di taglie n e m. La statistica scalata: d_eff = D · √(n·m/(n+m)) ~ distribuzione di Kolmogorov asintotica. Approssimazione p-value: p ≈ 2 · Σ_{k=1}^{∞} (-1)^(k-1) · exp(-2·k²·d²) serie alternata convergente (k=100 termini sufficiente accuracy 1e-15). Soglia critica α=5%: D_crit ≈ 1,358 · √((n+m)/(n·m)) two-sample, D_crit ≈ 1,358/√n one-sample n grande. Le proprietà del test:

  • non parametrico (distribution-free, non assume Normalità a priori)
  • potenza maggiore al centro della distribuzione vs. code (Anderson-Darling 1952 più potente sulle code)
  • sensibile a forma + posizione + scala
  • consistente (probabilità rifiuto → 1 se H0 falsa, n → ∞)
  • ipotesi H0: F = G (uguali distribuzioni)
  • ipotesi H1: F ≠ G. Le applicazioni statistiche:
  • goodness-of-fit Normalità alternativa a Shapiro-Wilk 1965 (campione piccolo) e Anderson-Darling (focus code)
  • test omogeneità due campioni A vs B controllo qualità manifatturiero, A/B testing marketing, clinical trial pre/post trattamento
  • validazione modelli ML (test set vs train set, drift detection MLOps)
  • trading e finanza: test Normalità rendimenti azionari (rifiuto frequente → fat-tails Pareto-Levy stabili)
  • ISTAT analisi distribuzioni redditi pre/post crisi (Covid 2020, energetica 2022)
  • INFN test simulazioni Monte Carlo Atlas/CMS dati LHC vs MC GEANT4 Higgs particle ID 2012-2024
  • quality control manifatturiero (Six Sigma DMAIC ANIE Federation). Le applicazioni italiane:
  • ISTAT Istituto Nazionale Statistica Roma 1926 Corrado Gini distribuzioni redditi famiglie, indagini Forze Lavoro Multiscopo, censimento permanente popolazione + abitazioni
  • Bruno de Finetti Università Roma 1931 probabilità soggettiva teoria scambio bayesiano + scuola attuariale italiana
  • Cataldo Agostinelli Politecnico Torino matematica 1894-1988 statistica matematica
  • INFN Istituto Nazionale Fisica Nucleare AI Atlas/CMS particle ID 2012-2024 KS p-value MC GEANT4 vs data Higgs boson scoperta 2012 + sezioni d urto LHC
  • INDAM Istituto Nazionale Alta Matematica Roma 1939 probabilità + statistica matematica
  • SISSA Trieste 1978 + ICTP Trieste 1964 data science statistical learning + econophysics
  • Politecnico Milano 1863 + Politecnico Torino 1859 ingegneria matematica + ML statistico
  • Bocconi Milano 1902 statistical learning Lab Algoritmica Big Data finanza Mediobanca
  • Università Pisa Scuola Normale Superiore 1810 probabilità Sergio Albeverio + Marco Fuhrman
  • IIT Genova 2003 Istituto Italiano Tecnologia robotica + AI
  • Cineca Bologna Marconi100 + Leonardo HPC EuroHPC 250 PFlops 4° mondiale top500 simulazioni MC + benchmark distribuzioni. Anchor istituzionali: PNRR Missione 4 Componente 2 ricerca 6,9 mld € centri nazionali AI (CN1 HPC) + Future AI Research FAIR; Banca d Italia 1893 dati banking statistics distribuzioni rendimenti default rate; Consob 1974 distribuzioni rendimenti azionari Borsa Italiana; Premio Nobel italiani fisica: Carlo Rubbia 1984 bosoni W/Z CERN + Riccardo Giacconi 2002 astrofisica X

Tabella applicazioni KS test italiane

AmbitoTest KSSoglia tipicaEsempio datoIstituzione italiana
Goodness-of-fit NormalitàOne-sample N(μ,σ²)D_crit=1,358/√nn=100 D_crit=0,136ISTAT Roma 1926
Omogeneità due campioniTwo-sample n=m=50D_crit=0,272Pre/post Covid redditiISTAT + Banca Italia
Validazione ML driftTrain vs test setD_crit=1,358·√((n+m)/nm)n=10k m=10k D_crit=0,019FAIR PNRR + IIT Genova
Trading rendimentiNorm vs empiricaD≈0,05-0,15 fat-tailsFTSE MIB log-ret giorn.Borsa Italiana + Consob
Monte Carlo HEPData vs MC GEANT4p>0,05 validazioneHiggs 125 GeV CMS 2012INFN + CERN Atlas/CMS
Quality controlLotti A vs Bα=5% Six SigmaANIE Federation manifatt.UNI ISO 2859 + Bocconi
Astrofisica X-raySpettro vs modelloD_crit funzione binningXMM-Newton + ChandraINAF + Giacconi 2002
Econometria redditiRegioni Nord vs Sudn=2000 D_crit=0,043Indagine Multiscopo IT-SILCISTAT + INPS dati
Clinical trial farmacoPlacebo vs trattatiD_crit dipende n+mAIFA fase III RCTAIFA + ISS Roma 1934
HPC simulazioni MCSample 10^9 eventsD_crit→0 per n→∞Leonardo Cineca 250 PFlopsCineca Bologna + INFN

(Fonte: Kolmogorov 1933 G. Ist. Ital. Attuari 4(83) + Smirnov 1948 Ann. Math. Statist. 19(2) + Massey 1951 J. Am. Stat. Assoc. + ISTAT 1926 + INFN Atlas/CMS).

Esempi calcolo italiano test KS

  • Two-sample classico n=m=50, D=0,20 omogeneità ISTAT redditi pre/post crisi Covid 2020: d_eff = 0,20 · √(50·50/100) = 0,20 · 5 = 1,000. p-value = 2 · Σ (-1)^(k-1) exp(-2k²·1) ≈ 2·(0,1353 - 0,000335 + 1,52e-8 ...) ≈ 0,2700. D_crit = 1,358·√(100/2500) = 1,358·0,200 = 0,2716. Decisione α=5%: 0,20 < 0,2716 → NON rifiuto H0 (distribuzioni statisticamente compatibili). Esempio tipico ISTAT analisi reddito famiglia 2019 vs 2020 Indagine Multiscopo
  • D=0,30 n=m=50 rifiuto H0 forte: d_eff = 0,30·5 = 1,500. p ≈ 0,022 (=2·(exp(-4,5) - exp(-18) + ...) = 2·0,01111 ≈ 0,0222). 0,30 > 0,2716 → RIFIUTO H0 α=5% distribuzioni significativamente diverse. Caso pre/post energetica 2022 redditi industriali
  • D=0,40 n=m=50 fortissimo rifiuto: d_eff = 2,00, p ≈ 2·exp(-8) = 2·0,000335 = 0,000670. 0,40 >> 0,2716 → rifiuto p<0,001 evidenza schiacciante differenza distribuzioni
  • INFN Atlas/CMS Higgs particle ID 2012-2024 KS MC GEANT4 vs data LHC n=10^6 m=10^6 eventi, D = 0,003 osservata. d_eff = 0,003·√(10^12/2·10^6) = 0,003·707 = 2,12 (calcolo asintotico). D_crit = 1,358·√(2·10^6/10^12) = 1,358/707 = 0,00192. Test: 0,003>0,00192 → rifiuto significativo MC discrepancy → tuning generatore PYTHIA8. INFN-CERN tipica analysis Higgs 125 GeV mass peak
  • Validazione ML MLOps drift detection FAIR PNRR Future AI Research n=10.000 train m=10.000 test, D = 0,015. d_eff = 0,015·√(10^8/2·10^4) = 0,015·70,7 = 1,06. p ≈ 0,21 → no significant drift, modello stabile in produzione (ad esempio classifier credito Mediobanca + UniCredit)
  • Trading FTSE MIB rendimenti log-giornalieri vs Normale n=2.500 10 anni Borsa Italiana, D = 0,070 osservata. d_eff = 0,070·√(2500/2) (one-sample asint.) = 0,070·35,4 = 2,48. p ≈ 1,7e-5 → RIFIUTO Normalità: rendimenti fat-tails Pareto-Levy α≈3 stable distribution Mandelbrot 1963. Implicazione VaR 95% sottostima rischio
  • ISTAT regioni Nord vs Sud Italia redditi 2024 Indagine Multiscopo n=2.000 m=2.000, D = 0,090 osservata. d_eff = 0,090·√(4·10^6/4000) = 0,090·31,6 = 2,84. p ≈ 5e-7 forte rifiuto. D_crit = 1,358·√(4000/4·10^6) = 0,043. Conferma divario strutturale Nord-Sud reddito mediano (Banca d Italia indagine bilanci famiglie BIF)
  • Quality control ANIE Federation manifatturiero lotti A vs B Six Sigma n=m=200, D=0,12. d_eff=0,12·10=1,20, p≈0,11 → no significant difference accept lotto. UNI ISO 2859 piano campionamento per attributi

Ricerca statistica e probabilità in Italia

La ricerca statistica e probabilità italiana:

  • ISTAT Istituto Nazionale Statistica Roma 1926 Corrado Gini fondatore (Gini coefficient diseguaglianza 1912 universalmente adottato), Indagine Forze Lavoro Multiscopo, IT-SILC redditi UE, Censimento Permanente popolazione + abitazioni, Conti Nazionali SEC2010
  • Bruno de Finetti Università Roma + Trieste 1906-1985 probabilità soggettiva 1931 Fond. Mat. + 1937 La Prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives Ann. Inst. Henri Poincaré (foundational bayesian + scambio teorema)
  • Cataldo Agostinelli Politecnico Torino 1894-1988 matematica + statistica + analisi numerica
  • INFN Istituto Nazionale Fisica Nucleare Frascati 1951 AI Atlas/CMS particle ID 2012-2024 KS p-value Monte Carlo GEANT4 PYTHIA8 vs data Higgs boson 125 GeV scoperta 2012 (Carlo Rubbia 1984 W/Z bosoni Nobel CERN UA1)
  • INDAM Istituto Nazionale Alta Matematica Roma 1939 Francesco Severi fondatore + GNAMPA Gruppo Probabilità + GNCS Calcolo Scientifico
  • SISSA Scuola Internazionale Superiore Studi Avanzati Trieste 1978 data science + statistical learning + matematica applicata + cosmologia
  • ICTP International Centre Theoretical Physics Trieste 1964 Abdus Salam fondatore + condensed matter + econophysics
  • Politecnico Milano 1863 + Politecnico Torino 1859 ingegneria matematica MOX Centro Modeling + DataLab Bocconi statistical learning
  • Bocconi Milano 1902 + BIDSA Bocconi Institute Data Science Analytics Lab Algoritmica + ricerca finanza Mediobanca
  • Università Pisa + Scuola Normale Superiore 1810 Carlo Pucci probabilità + Marco Fuhrman SDE stochastic
  • IIT Istituto Italiano Tecnologia Genova 2003 robotica AI + Center Life Nano Science
  • Cineca Bologna 1969 + Marconi100 + Leonardo HPC EuroHPC 250 PFlops 4° mondiale TOP500 simulazioni Monte Carlo + benchmark distribuzioni
  • FAIR Future AI Research PNRR M4C2 partenariato 4 anni 114,5 mln € 25 atenei + IIT + CNR + Bocconi + Roma La Sapienza coordinamento
  • ICCT INDAM Centro Calcolo + INFN-CNAF Bologna Tier-1 LHC
  • Banca d Italia 1893 Roma + indagine bilanci famiglie BIF dati storici banking statistics + distribuzioni rendimenti default rate basilea III/IV
  • Consob Commissione Nazionale Società e Borsa 1974 Roma Borsa Italiana FTSE MIB distribuzioni rendimenti azionari
  • Premi Nobel italiani fisica: Guglielmo Marconi 1909 radio, Enrico Fermi 1938 neutroni, Emilio Segrè 1959 antiprotone, Carlo Rubbia 1984 bosoni W/Z CERN UA1, Rita Levi-Montalcini 1986 NGF, Riccardo Giacconi 2002 astrofisica X-ray + Chandra XMM, Giorgio Parisi 2021 spin glass disordered systems Sapienza Roma
  • ANIE Federation manufacturing 1.100 imprese + ANFIA automotive Six Sigma DMAIC

I bonus fiscali italiani 2025-2026 ricerca statistica e AI: Credito d Imposta R&S art. 1 c. 200 L. 160/2019 fino 25% ricerca fondamentale + applicata (statistica matematica + ML); Patent Box opzione regime fiscale agevolato L. 178/2020 c. 10-13 50% reddito IP brevetti + software + know-how; PNRR Missione 4 Componente 2 ricerca 6,9 mld € centri nazionali AI (CN1 HPC Big Data Quantum Cineca + CN5 Sustainable Mobility) + FAIR Future AI Research partenariato esteso; Industria 4.0 Transizione 5.0 art. 38 DL 39/2024 credito imposta fino 35% beni materiali + immateriali ricerca; Iperammortamento 250% beni 5.0 sostenibili; Decreto MUR borse di dottorato PNRR 25.000 borse PhD Innovazione + Pubblica Amministrazione + Patrimonio Culturale; SISSA Trieste + ICTP Trieste 50 fellowship anno data science; Bocconi Milano BIDSA + Master Data Science + AI 12.000 €/anno borse merito 50%. Politecnico Milano DataLab Statistica + ML + Reti Neurali + Bocconi Lab Algoritmica + Mediobanca + Generali Trieste 1831 attuariato + Reale Mutua Torino 1828 (compagnia assicurativa più antica).

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cos è il test di Kolmogorov-Smirnov?

Test statistico non parametrico formulato Andrey Kolmogorov 1933 G. Ist. Ital. Attuari Roma + Nikolai Smirnov 1948 Annals Math Statist per confrontare distribuzioni: D = sup_x |F_n(x) - G_m(x)|. One-sample empirica vs teorica, two-sample due empiriche. Distribution-free, sensibile forma scala. Usato ISTAT redditi, INFN Atlas/CMS Higgs, ML drift, trading.

Formula KS statistica D e p-value?

D = sup_x |F_n(x) - G_m(x)| massima differenza CDF empiriche. Statistica scalata: d_eff = D·√(n·m/(n+m)) ~ Kolmogorov asint. P-value: p ≈ 2·Σ (-1)^(k-1)·exp(-2·k²·d²) serie alternata k=1..100. Soglia critica α=5%: D_crit ≈ 1,358·√((n+m)/(n·m)) two-sample. One-sample n grande: D_crit ≈ 1,358/√n. Massey 1951 JASA formule esatte tabelle.

Esempio KS two-sample n=m=50 D=0,20?

Two-sample classico n=m=50 D=0,20 ISTAT redditi pre/post Covid: d_eff = 0,20·√(2500/100) = 0,20·5 = 1,000. p-value = 2·Σ(-1)^(k-1)exp(-2k²·1) ≈ 2·(0,1353-0,000335+...) ≈ 0,270. D_crit = 1,358·√(100/2500) = 0,2716. Decisione α=5%: 0,20<0,2716 NON rifiuto H0 distribuzioni compatibili. Esempio tipico ISTAT Indagine Multiscopo redditi famiglie.

Quando rifiutare H0 nel test KS?

Rifiuto H0 quando D > D_crit α=5% (= 1,358·√((n+m)/(n·m)) two-sample). Esempi: D=0,20 n=m=50 → D_crit=0,272 NON rifiuto p≈0,27; D=0,30 → rifiuto α=5% p≈0,022; D=0,40 → rifiuto fortissimo p≈0,0007 evidenza schiacciante. p<0,05 rifiuto convenzionale, p<0,01 forte, p<0,001 fortissimo. Massey 1951 + Marsaglia 2003 algoritmo C esatto.

KS validazione ML drift detection?

ML drift KS test train vs test set (covariate shift) o produzione vs storico (concept drift): n=10k m=10k feature numerica, calcola D = sup|F_n-G_m|, D_crit α=5% = 1,358·√(2/10000) = 0,019. D<0,019 no drift modello stabile. MLOps standard scikit-learn scipy.stats.ks_2samp + Evidently AI + Alibi Detect. FAIR PNRR + IIT Genova + Bocconi BIDSA Lab Algoritmica.

Test KS Atlas/CMS INFN Higgs?

INFN Atlas/CMS LHC particle ID 2012-2024 KS test data vs MC GEANT4 PYTHIA8: confronto distribuzioni invariant mass, missing transverse energy, b-tagging score. Higgs 125 GeV scoperta 2012 H→γγ + H→ZZ. p-value KS validazione tuning generatore. INFN-CNAF Bologna Tier-1 + Cineca Leonardo 250 PFlops. Carlo Rubbia 1984 Nobel W/Z UA1 antesignano LHC.

KS rendimenti finanziari Normalità?

Test KS Normalità log-rendimenti FTSE MIB Borsa Italiana 2.500 giorni 10 anni: D≈0,07 osservata. d_eff=0,07·√(2500/2)=2,48. p≈1,7e-5 RIFIUTO Normalità. Conferma fat-tails Pareto-Levy α≈3 Mandelbrot 1963 stable distribution. Implicazione VaR 95% Gaussian sottostima rischio coda. Banca d Italia + Consob 1974 + Mediobanca risk management Basel III/IV.

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