Wie berechnet man das SIR-Modell von Kermack-McKendrick: Differentialgleichungen Kompartiment-Modell Epidemie. dS/dt = -βSI/N, dI/dt = βSI/N - γI, dR/dt = γI. R₀ = β/γ. Herdenimmunität = 1 - 1/R₀. Kermack McKendrick UK Edinburgh 1927 Royal Society A 115:700-721. COVID-19 R₀=3 Herde 67%, Masern 12-18 Herde 92-95%. Deutschland: Forschung Epidemiologie RKI Robert Koch-Institut Berlin 1891 gegründet, PEI Paul-Ehrlich-Institut Langen 1894, BfArM Bundesinstitut für Arzneimittel und Medizinprodukte Bonn. Deutschland 84 Mio Bevölkerung. Deutschland COVID-19 Patient 1: 27. Januar 2020 Webasto München Bayern.

SIR-Modell Formel

ODE-System: dS/dt = -βSI/N, dI/dt = βSI/N - γI, dR/dt = γI.

R₀ Basisreproduktionszahl: R₀ = β/γ. Schwelle R₀>1 Epidemie.

Herdenimmunität: H = 1 - 1/R₀.

Endgröße: ε = exp(-R₀(1 - ε)).

Peak Infizierte: S/N = 1/R₀.

Geschichte und Kontext

William Kermack (UK 1898-1970) Edinburgh Chemiker erblindet 1924 Laborexplosion Alter 26 Jahre, Anderson McKendrick (UK 1876-1943) Edinburgh Militärarzt Indien 1900-1922, Edinburgh Director Statistical Research 1922-1933. 1927 paper Royal Society A 115:700-721 SIR-Modell Kompartmental ODE deterministisch foundational. Daniel Bernoulli Schweiz 1760 Basel preventive analysis smallpox vaccination Académie Royale Sciences Paris. Sir Ronald Ross Liverpool Tropical Medicine Nobel 1902 mosquito-malaria. George MacDonald Liverpool 1957 R0-Konzept. Roy Anderson Robert May Oxford-Princeton 1991 'Infectious Diseases Humans' Standardlehrbuch. Deutschland Forschung Epidemiologie: RKI Robert Koch-Institut Berlin 1891 gegründet Robert Koch Begründer Bakteriologie 1843-1910 Nobel Medizin 1905 Tuberkulose Cholera, 1500 Mitarbeiter national reference center; PEI Paul-Ehrlich-Institut Langen Hessen 1894 gegründet Paul Ehrlich 1854-1915 Nobel Medizin 1908 chemotherapy, 700 Mitarbeiter national reference center vaccines biomedicines; BfArM Bundesinstitut für Arzneimittel und Medizinprodukte Bonn 1994 gegründet 1500 Mitarbeiter pharmaceutical regulator EMA national reference; Charité Berlin Universitätsklinikum 1710 gegründet 14000 Mitarbeiter Christian Drosten 2020 COVID-19 PCR test development; Helmholtz HZI Helmholtz-Zentrum für Infektionsforschung Braunschweig 1965 gegründet 800 Mitarbeiter;

Max-Planck-Institut für Infektionsbiologie MPIIB Berlin 1996 gegründet 200 Mitarbeiter Stefan Kaufmann TB. Deutschland COVID-19 Geschichte: Patient 1 27. Januar 2020 Webasto München Bayern Mitarbeiter zurück Wuhan Chinesisch Geschäftsbesuch; nationaler Lockdown 22. März 2020 Beschluss Merkel; Impfstoff COVID-19 V-Day 27. Dezember 2020 Halberstadt Sachsen-Anhalt 101-jährige Edith Kwoizalla erste Dosis BioNTech-Pfizer Mainz Comirnaty; Immunität 80%+ erreicht Januar 2022 Omicron-Variante Peak. Deutschland Impfkalender empfohlen STIKO Ständige Impfkommission RKI Berlin: Tetanus, Diphtherie, Pertussis, Polio, Hib, Hepatitis B, Pneumokokken, Rotaviren, Meningokokken, MMR Masern-Mumps-Röteln, Varicellen, HPV, Influenza, COVID-19. mRNA-Impfstoff BioNTech-Pfizer Mainz Ugur Sahin Özlem Türeci Türkische Wissenschaftler Mainz Universität, Pfizer Cambridge MA USA collaboration COVID-19 vaccine December 2020 EMA approval. USA CDC Atlanta 1946; NIH Bethesda; FDA Silver Spring 1906. ECDC Stockholm 2005. WHO Geneva 1948 fondato. Universitäten Deutschland Epidemiologie: Charité Berlin Mediznische Fakultät; LMU München; Universität Heidelberg; Hannover Medizinische Hochschule MHH; Hamburg-Eppendorf UKE; TU Dresden Medizinische Fakultät.

Tabelle R₀ Herdenimmunität

• COVID-19 Original: R₀=2,5-3,5, Herde 60-71%
• Masern: R₀=12-18, Herde 92-94%
• Pocken: R₀=5-7, Herde 80-86%
• Influenza saisonal: R₀=1,3, Herde 23%
• Deutschland 84 Mio: Bevölkerung
• Deutschland Patient 1: 27. Januar 2020 Webasto München
• Deutschland V-Day: 27. Dezember 2020 Halberstadt

Detaillierte numerische Beispiele

Beispiel 1 - COVID-19 R₀=3. Deutschland N=84 Mio, β=0,3, γ=0,1. R₀=3 Herde 67%.

Beispiel 2 - Masern R₀=15. β=1,5, γ=0,1. R₀=15 Herde 93%.

Beispiel 3 - Grippe R₀=1,3. β=0,13, γ=0,1. R₀=1,3 Herde 23%.

Beispiel 4 - Sub-Schwelle R₀=0,5. β=0,05, γ=0,1. R₀=0,5 ausgestorben.

Beispiel 5 - Pocken R₀=5. β=0,5, γ=0,1. WHO Ausrottung 1980.

Grenzen und Überlegungen

1. Deterministisch ignoriert stochastisch.
2. Massenwirkung homogen.
3. Konstante Population.
4. Permanente Immunität.
5. R₀ kontextabhängig.
6. Einzelner Stamm.
7. Räumlich homogen.
8. Altersstruktur.
9. Asymptomatisch.
10. Numerisch Runge-Kutta.

Häufige Fehler

1. R₀ vs Reff.
2. Zeit-Einheit.
3. Herde 100%.
4. R₀ vs R(t) Notation.
5. Impfstoff-Wirksamkeit.
6. SIR Vorhersage.
7. Inkubation SEIR.
8. Math.log natürlich.
9. Stochastisch klein.
10. Attack rate vs Peak.

Nummerierte Anwendungen

1. RKI Deutschland: Robert Koch-Institut Berlin 1891 1500 Mitarbeiter national reference Robert Koch Tuberkulose 1843-1910 Nobel 1905.
2. PEI Langen: Paul-Ehrlich-Institut Hessen 1894 700 Mitarbeiter Impfstoffe Paul Ehrlich 1854-1915 Nobel 1908.
3. BfArM Bonn: Bundesinstitut für Arzneimittel Medizinprodukte 1994 1500 Mitarbeiter pharmaceutical regulator.
4. Charité Berlin: Universitätsklinikum 1710 14000 Mitarbeiter Christian Drosten COVID-19 PCR-Test.
5. BioNTech-Pfizer mRNA: Mainz Ugur Sahin Özlem Türeci türkische Wissenschaftler Mainz Universität, COVID-19 Comirnaty.
6. Deutschland COVID-19: Patient 1 27. Januar 2020 Webasto München, V-Day 27. Dezember 2020 Halberstadt Edith Kwoizalla 101 Jahre.
7. STIKO Impfkalender: Ständige Impfkommission RKI Berlin Tetanus Diphtherie Pertussis Polio Hib Hepatitis B MMR Pneumokokken HPV.
8. Universitäten Deutschland: Charité Berlin, LMU München, Heidelberg, MHH Hannover, UKE Hamburg, TU Dresden.
9. USA CDC NIH FDA: CDC Atlanta 1946, NIH Bethesda 1887, FDA Silver Spring 1906.
10. WHO ECDC: WHO Geneva 1948, ECDC Stockholm 2005.

Für Support

Für technische Fragen: info@calcoi.com. Bildungswerkzeug mathematische Epidemiologie. Referenzen Kermack McKendrick 1927.

Aktualisiert im Juli 2026