Como calcular el modelo SIR Kermack-McKendrick: ecuaciones diferenciales compartimental epidemia. dS/dt = -βSI/N, dI/dt = βSI/N - γI, dR/dt = γI. R₀ = β/γ basic reproduction number. Herd immunity = 1 - 1/R₀. Kermack McKendrick UK Edinburgh 1927 paper Royal Society A 115:700-721. COVID-19 R₀=3 herd 67%, measles 12-18 herd 92-95%, flu seasonal 1.3 herd 23%. España: investigación epidemiología ISCIII Instituto Salud Carlos III Madrid 1986 fundado, AEMPS Agencia Espanola Medicamentos Productos Sanitarios Madrid, Ministerio Sanidad Madrid. España 47 mln población. España COVID-19 paciente 1: 31 enero 2020 La Gomera Tenerife Canarias.

Formula modelo SIR

Sistema ODE: dS/dt = -βSI/N, dI/dt = βSI/N - γI, dR/dt = γI. N=S+I+R constante.

R₀ basic reproduction: R₀ = β/γ. Threshold: R₀>1 epidemia, R₀<1 die-out.

Herd immunity: H = 1 - 1/R₀. R₀=3 H=67%, R₀=15 measles H=93%, R₀=1.3 flu H=23%.

Final size epidemic: ε = exp(-R₀(1 - ε)). R₀=3 ε≈0.06 (94% infected).

Peak infected: when S/N = 1/R₀, herd immunity reached.

Historia y contexto

William Kermack (UK 1898-1970) Edinburgh chemico ciego 1924 explosión lab eta 26 anos, Anderson McKendrick (UK 1876-1943) Edinburgh medico militare India 1900-1922, Edinburgh Director Statistical Research 1922-1933. 1927 paper Royal Society A 115:700-721 modello SIR compartmentale ODE deterministic foundational. Daniel Bernoulli Switzerland 1760 Basel preventive analysis smallpox vaccination Académie Royale Sciences Paris. Sir Ronald Ross Liverpool Tropical Medicine Nobel 1902 mosquito-malaria. George MacDonald Liverpool 1957 R0 concept. Roy Anderson Robert May Oxford-Princeton 1991 'Infectious Diseases Humans' textbook standard. España investigación epidemiología: ISCIII Instituto Salud Carlos III Madrid Majadahonda fondato 1986 6000 employees Centro Nacional Epidemiologia, Centro Nacional Microbiologia, Escuela Nacional Medicina Trabajo; AEMPS Agencia Espanola Medicamentos Productos Sanitarios Madrid 1997 fondata 1500 employees vaccine pharmaceutical regulator; Ministerio Sanidad Madrid Paseo Prado Ministro; Centro Nacional de Epidemiologia ISCIII surveillance system. España COVID-19 storia: paciente 1 31 enero 2020 La Gomera Tenerife Canarias turista aleman Wolfgang Kuhne; lockdown nacional 14 marzo 2020 Decreto Pedro Sanchez; vaccino COVID-19 V-Day 27 dicembre 2020 Guadalajara Castilla La Mancha Araceli Hidalgo 96 anos primera dosis; immunity 80%+ raggiunta gennaio 2022 Omicron variant peak.

España Calendario Vacunal infantil obbligatorio: poliomielitis, difteria, tetano, hepatitis B, tos ferina, Hib, sarampion, paperas, rubeola, varicela, meningococo, neumococo, virus papiloma humano. USA CDC Centers Disease Control Atlanta GA 1946 100000 employees federale; NIH Bethesda MD 27 institutes Anthony Fauci NIAID 1984-2022; FDA Silver Spring MD 1906 18000 employees. ECDC Stockholm 2005 fondata. WHO Geneva 1948 fondato 194 stati membri. Universidades España epidemiología: UCM Madrid Facultad Medicina; UAB Barcelona; UV Valencia; UGR Granada; ULL La Laguna Tenerife; UPV Pais Vasco Bilbao.

Tabla R₀ herd immunity

• COVID-19 original: R₀=2.5-3.5, herd 60-71%
• COVID-19 Delta: R₀=5-8, herd 80-87%
• COVID-19 Omicron: R₀=8-12, herd 87-92%
• Measles: R₀=12-18, herd 92-94%
• Smallpox: R₀=5-7, herd 80-86%
• Polio: R₀=5-7, herd 80-86%
• Influenza seasonal: R₀=1.3, herd 23%
• SARS 2003: R₀=2-5
• MERS-CoV: R₀=0.4-0.9 sub-threshold
• España: 47 mln población
• España paciente 1 COVID: 31 enero 2020 La Gomera
• España lockdown: 14 marzo 2020
• España V-Day: 27 dicembre 2020 Guadalajara
• WHO smallpox eradication: 8 mayo 1980

Ejemplos numericos detallados

Ejemplo 1 - COVID-19 R₀=3. España N=47 mln, β=0.3, γ=0.1. R₀=3 herd 67%.

Ejemplo 2 - Measles R₀=15. β=1.5, γ=0.1. R₀=15 herd 93%.

Ejemplo 3 - Flu R₀=1.3. β=0.13, γ=0.1. R₀=1.3 herd 23%.

Ejemplo 4 - Sub-threshold R₀=0.5. β=0.05, γ=0.1. R₀=0.5 die-out.

Ejemplo 5 - Smallpox R₀=5. β=0.5, γ=0.1. WHO eradicación 1980.

Limites y consideraciones

1. Deterministic ignora stocastico.
2. Mass action homogeneous mixing.
3. Population costante.
4. Permanent immunity SIRS waning.
5. R₀ context-dependent.
6. Single strain.
7. Spatial homogeneity.
8. Age-structure SEIR.
9. Asymptomatic.
10. Numerical Runge-Kutta.

Errores comunes

1. R₀ vs Reff.
2. Unit time consistency.
3. Herd 100% needed.
4. R₀ vs R(t) notation.
5. Vaccine efficacy.
6. SIR predittivo.
7. Incubation SEIR.
8. Math.log natural.
9. Stochastic small.
10. Attack rate vs peak.

Aplicaciones numeradas

1. ISCIII España: Instituto Salud Carlos III Madrid Majadahonda 1986 6000 employees Centro Nacional Epidemiologia.
2. AEMPS Madrid: Agencia Espanola Medicamentos 1997 1500 employees vaccine regulator.
3. Ministerio Sanidad: Madrid Paseo Prado, Ministro vaccinazione policy.
4. España COVID storia: paciente 1 La Gomera 31 enero 2020, V-Day Guadalajara Araceli Hidalgo 96 anni 27 dicembre 2020.
5. USA CDC NIH FDA: CDC Atlanta 1946 100000 employees, NIH Bethesda 1887 27 institutes, FDA Silver Spring 1906 18000.
6. WHO ECDC: WHO Geneva 1948, ECDC Stockholm 2005.
7. Calendario vacunal España: poliomielitis, difteria, tetano, hepatitis B, tos ferina, Hib, sarampion, paperas, rubeola, varicela, meningococo, neumococo, HPV.
8. Universidades España: UCM Madrid, UAB Barcelona, UV Valencia, UGR Granada, ULL La Laguna.
9. Edward Jenner: 1796 prima vacuna viruela cowpox.
10. WHO smallpox eradication: 8 mayo 1980 World Health Assembly.

Para soporte

Para preguntas tecnicas: info@calcoi.com. Herramienta educativa epidemiología matemática. Referencias Kermack McKendrick 1927, Bernoulli 1760.

Actualizado a julio de 2026