Jarque-Bera-Normalitätstest-Rechner Definition Formel

Der Jarque-Bera (JB) Normalitätstest-Rechner bestimmt, ob eine statistische Stichprobe einer Gaußschen Normalverteilung folgt, durch Kombination von Schiefe (Skewness) und Wölbung (Kurtosis) der Stichprobe, gemäß der Formulierung Carlos Jarque & Anil Bera 1980 Australian National University Canberra publiziert in Economics Letters Bd. 6 Nr. 3 S. 255-259 "Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals". Die geschlossene Formel: JB = (n/6) · [S² + (1/4) · (K - 3)²], wobei n = Stichprobengröße (Anzahl Beobachtungen), S = Stichprobenschiefe (drittes standardisiertes Moment m₃/m₂^1.5), K = Stichprobenkurtosis (m₄/m₂² mit K=3 für Gaußsche Normale, K-3 = Exzesskurtosis), m_k = k-tes zentrales Moment (1/n)·Σ(xᵢ-x̄)^k. Die JB-Statistik unter Nullhypothese H0 Normalität folgt asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden χ²(2) (Bowman-Shenton 1975 Biometrika 62 Momentenherleitung). Die kritischen χ²(2)-Schwellen: α=10% → 4,605; α=5% → 5,991 (Standardinferenz); α=1% → 9,210; α=0,1% → 13,816.

Der P-Wert Chi-Quadrat 2 dof exakte Formel: p = exp(-JB/2) (χ²(2) Dichte Upper-Tail-Integral). Entscheidung: wenn JB > Schwelle → Ablehnung H0 (nicht normal, schwere Tails oder signifikante Asymmetrie); wenn JB ≤ Schwelle → keine Ablehnung. Die 4 JB-Anwendungskategorien:

• GARCH/ARMA-ökonometrische Modellresiduen-Validierung (Bollerslev 1986 fundamental für Volatilitätsclustering finanzieller Renditen)
• Italienische Finanzrenditen-Test BTP FTSE MIB (Aktienrenditen sind leptokurtisch K>3 mit Fat Tails → JB lehnt Normalität stark ab, motiviert Student-t oder GED)
• OLS-lineare-Regression-Annahmenvalidierung (Residuen ε~N(0,σ²) Gauß-Markov-Hypothese, JB auf OLS-Residuen)
• ISTAT-Einkommensverteilung-Test (typischerweise lognormal mit rechtem Pareto-Tail). Die Test-Physik: unter H0 normal S→0 und K→3 in Wahrscheinlichkeit (Gesetz großer Zahlen auf Momenten), also JB→0; unter Abweichungen von Normalität (Asymmetrie S≠0 oder schwere Tails K>3 leptokurtisch oder dünne Tails K<3 platykurtisch) explodieren die zwei quadratischen Terme im JB linear mit n, was Test-Konsistenz garantiert (Power→1 für n→∞). Die italienischen Anwendungen:

• Banca d'Italia 1893 Wirtschaftsforschung Via Nazionale Rom Normalitätstest auf 10J BTP-Renditen, BTP-Bund-Spread, HICP-Eurostat-Inflation
• ISTAT Rom 1926 Nationalstatistik Haushaltseinkommensverteilungen EU-SILC, Bevölkerungszählungen, Demografie
• Bocconi-Universität Mailand 1902 Statistik-Department Mario Forni Ökonometrie + quantitative Finanzwissenschaft FTSE MIB
• Bruno de Finetti Triest 1931 subjektive Wahrscheinlichkeit Grundlagen italienischer Bayes-Inferenz
• Universität Bologna 1088 älteste Cataldo Agostinelli mathematische Statistik
• SISSA Triest 1978 + ICTP 1964
• Politecnico Mailand 1863 + Politecnico Turin 1859 statistische Ingenieurwissenschaft Qualitätskontrolle SPC
• Katholische Universität Heiliges Herz Mailand 1921
• INFN AI Atlas/CMS Higgs 2012-2024 Carlo Rubbia 1984 Nobel
• ICRA Sapienza Rom 1303 + INDAM Mathematik
• Cineca Marconi100/Leonardo HPC Bootstrap-Monte-Carlo-Simulationen JB
• Consob 1974 IVASS 2012 Solvency II Renditenregulierung VaR-Backtesting
• Eutekne Besteuerung + italienisches Asset Management INPS-Rentenfonds. PNRR Mission 4 Komponente 2 6,9 Mrd. € KI/Datenwissenschaftsforschung

Jarque-Bera italienische Anwendungstabelle BTP FTSE MIB ISTAT

(Quelle: Jarque & Bera 1980 Economics Letters 6(3) S. 255-259 + Bowman-Shenton 1975 Biometrika 62 + Banca d'Italia 1893 + ISTAT 1926).

Italienische Jarque-Bera-Berechnungsbeispiele

• Perfekte Normalverteilung (Kontrolle): n=100, S=0, K=3 (exakte Gaußsche). JB = (100/6) · [0² + (1/4)·(3-3)²] = (100/6) · [0 + 0] = 0. P-Wert = exp(-0/2) = 1,000. Entscheidung: keine Ablehnung H0 (perfekt normale Stichprobe)
• Mäßig nicht-normale Verteilung: n=100, S=0,5, K=4. JB = (100/6) · [0,5² + (1/4)·(4-3)²] = 16,667 · [0,25 + 0,25] = 16,667 · 0,5 = 8,33. P-Wert = exp(-8,33/2) = 0,0155. JB > 5,991 (α=5%) → Ablehnung H0 bei 5% aber nicht bei 1%
• FTSE MIB Tagesrenditen 5 Jahre Borsa Italiana 1808: n=1.250, S=-0,40, K=6,5. JB = (1.250/6) · [0,16 + (1/4)·12,25] = 208,33 · 3,2225 = 675,0. P-Wert ≈ 0. Starke Ablehnung H0 Normalität → motiviert GARCH(1,1) Bollerslev 1986 für VaR/Solvency II IVASS
• BTP 10J Dezennalrenditen Banca d'Italia 1893: n=1.250, S=0,30, K=5,20. JB = 208,33 · 1,30 = 270,8
• IT HICP Monatsinflation ISTAT-Eurostat 240 Monate: n=240, S=0,20, K=3,30. JB = 40 · 0,0625 = 2,5. P-Wert = 0,287. Keine Ablehnung H0
• ISTAT EU-SILC Haushaltseinkommen 20.000 Beob.: n=20.000, S=1,80, K=8,5. JB = 3.333,3 · 10,8025 = 36.008. Ablehnung H0 auf allen Stufen
• GARCH FTSE Residuen Bocconi Mario Forni: n=1.250, S=0,05, K=3,40. JB = 208,33 · 0,0425 = 8,85 → Ablehnung bei 5%
• Higgs Monte Carlo INFN Atlas/CMS: n=10.000, S=0,02, K=2,98. JB = 0,83. Keine Ablehnung (MC gut kalibriert)

Italienische Statistik-Ökonometrie-Forschung Jarque-Bera

Die italienische Statistik- und Ökonometrieforschung:

• Universität Bologna 1088 älteste, Cataldo Agostinelli mathematische Statistik + Cesare Marchetti Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Bocconi-Universität Mailand 1902 Statistik-Department Mario Forni Ökonometrie + Carlo Favero quantitative Finanzwissenschaft BAFFI Carefin + Igor Pruenster Bayes nichtparametrisch
• Bruno de Finetti Triest 1931 subjektive Wahrscheinlichkeit Gründer italienische Bayes-Schule, "La prévision" 1937 Annales Poincaré
• ISTAT Rom 1926 Corrado Gini Konzentrationskoeffizient 1912 + Luigi Bodio Nationalstatistik + dezennale Bevölkerungszählungen + EU-SILC + RCFL vierteljährlich
• Banca d'Italia 1893 Wirtschaftsforschung Via Nazionale Rom 91 Generaldirektion Studien Wirtschaft Statistik Sergio Nicoletti Altimari + Filippo Altissimo Stefano Siviero Italien Makroanalyse Arbeitslosigkeit BIP HICP-Deflator BTP-Renditen
• Katholische Universität Heiliges Herz Mailand 1921 Statistische Wissenschaften Mario Faliva Maria Grazia Zoia Makroökonometrie
• SISSA Triest 1978 + ICTP Abdus Salam 1964 Statistical Methods Higher Studies Bayes-Inferenz + maschinelles Lernen
• Politecnico Mailand 1863 + Politecnico Turin 1859 statistische Ingenieurwissenschaft Qualitätskontrolle SPC EWMA CUSUM Shewhart
• Sapienza Rom 1303 Fakultät Statistik Demografie Maurizio Vichi Cluster + ICRA Remo Ruffini Astrostatistik
• Universität Padua 1222 Adriano Paggiaro Biostatistik
• Universität Florenz 1321 de Finetti Schule
• INDAM Rom Mathematik 1939 Francesco Severi GNAMPA
• Cineca Casalecchio Bologna 1969 Marconi100 30 PFlops + Leonardo pre-exascale 250 PFlops 2023 5. TOP500 weltweit Monte-Carlo-Bootstrap JB-Power-Analyse 10⁹ Stichproben
• INFN AI Atlas/CMS Higgs 2012-2024 Carlo Rubbia 1984 Nobel CERN W- und Z-Bosonen-Entdeckung 1983 + INFN Monte-Carlo-Verteilungstests 5σ Higgs 125 GeV
• Consob 1974 Renditenregulierung VaR-Backtesting + IVASS 2012 Solvency II Versicherung RCA 2026 €420 + Covip 1993 Rentenfonds
• Eutekne Besteuerung italienisches Asset Management Anima Mediolanum Generali Fondsrenditen-Backtesting. Italienische F&E-Steuerboni 2025: F&E-Steuerguthaben Art. 1 Abs. 200 L. 160/2019 bis 25%; Patent Box L. 178/2020 50%; PNRR Mission 4 Komponente 2 KI/Datenwissenschaft 6,9 Mrd. €; Decreto Sostegni-bis L. 106/2021 und Haushaltsgesetz 2026 = L. 199/2025 verlängert

Aktualisiert im Juli 2026