Zahlensysteme: Dezimal, Binär, Oktal, Hexadezimal

Jedes positionsbasierte System stellt eine Zahl als Summe von Potenzen der Basis dar: n = Σᵢ dᵢ·b^i, wobei dᵢ die i-te Ziffer (0 ≤ dᵢ < b) und b die Basis ist. Die gebräuchlichsten in der Informatik sind: Basis 10 (dezimal, Ziffern 0-9); Basis 2 (binär, Ziffern 0-1, fundamental für elektronische Schaltungen); Basis 8 (oktal, Ziffern 0-7, historisch in PDP-11 Unix); Basis 16 (hexadezimal, Ziffern 0-9, A-F). Hexadezimal wird zur Darstellung von Bytes bevorzugt (1 Byte = 2 Hex-Ziffern) in Speicheradressen, RGB-Farben, MAC-Adressen, Hashes.

Umrechnungsmethoden

Von Basis b zu dezimal: dᵢ·b^i summieren. Beispiel: hex A3 = 10·16 + 3·1 = 163. Von dezimal zu Basis b: aufeinanderfolgende Divisionen durch b, Reste rückwärts lesen. Beispiel: 163 / 16 = 10 Rest 3, 10 / 16 = 0 Rest 10 (A) → A3 hex. Von binär zu hex: Bits in Nibbles (4 Bit) von rechts gruppieren: 10110010₂ = 1011 0010 = B2₁₆. Umgekehrt: jede Hex-Ziffer → 4 Bit.

Binärarithmetik

Addition: Regeln 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (Übertrag). Beispiel: 1011 + 0110 = 10001 (11+6=17). Subtraktion: wie im Dezimalen mit Entlehnen oder Addition des Zweierkomplements des Subtrahenden. Binäre Multiplikation: shift-and-add. Division: shift-and-subtract. Moderne CPUs implementieren diese Operationen in Hardware mit 1 Taktzyklus pro 64-Bit (x86-64, ARM64).

Bitweise Operationen

AND (&): 1 genau dann, wenn beide Bits 1 sind. Für Maskierung: x & 0x0F isoliert die unteren 4 Bits. OR (|): 1 wenn mindestens eines 1 ist. Zum Setzen von Bits: x | 0x80 setzt das MSB. XOR (^): 1 wenn unterschiedlich. Zum Flippen und für einfache Verschlüsselung: x ^ key. NOT (~): invertiert alle Bits. Shift links (<<): multipliziert mit 2^n. Shift rechts (>>): dividiert durch 2^n (arithmetisch behält Vorzeichen, logisch füllt mit 0). Beispiel: 0b1010 << 2 = 0b101000 = 40; 0b1010 >> 1 = 0b101 = 5.

Zweierkomplement

Standardrepräsentation negativer ganzer Zahlen in fast allen modernen CPUs. Für N Bits ist der Bereich [−2^(N−1), 2^(N−1) − 1]. Um eine Zahl zu negieren: alle Bits invertieren und 1 addieren. Beispiel 8-Bit: +5 = 00000101; −5 = 11111011 (invertiert 11111010, +1). Das höchstwertige Bit (MSB) ist das Vorzeichenbit. Vorteile: einheitliche Addition und Subtraktion (kein Sonderfall); einzigartige Null (positiv); einfache Vorzeichenerweiterung. Verwendet in int32, int64 aller modernen Sprachen.

Dezimal ↔ Hex-Mapping

0-9: gleiche Ziffern. 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F. Bemerkenswerte Beispiele: 255 = FF (8-Bit-Max), 256 = 100, 4095 = FFF (12-Bit), 65535 = FFFF (16-Bit), 16777215 = FFFFFF (24-Bit-Farbe RGB), 2147483647 = 7FFFFFFF (INT32_MAX), 4294967295 = FFFFFFFF (UINT32_MAX). Webfarben: #FF0000 rot, #00FF00 grün, #0000FF blau, #FFFFFF weiß, #000000 schwarz.

Praktische Anwendungen

Low-Level-Programmierung (Mikrocontroller, Embedded-Systeme, Treiber); Manipulation von CPU-Registern und I/O-Peripheriegeräten; Kryptographie (XOR-Chiffre, AES-S-Box); Encoding/Decoding (Base64, UTF-8); Grafik (Hex-Farben #RRGGBB, GPU-Shader); Netzwerk (Hex-IP-Adressen, Subnetzmasken); Betriebssysteme (virtueller Speicher, Seitentabelle); Debugging (Speicherdumps, Hex-Editor); Zertifizierungsprüfungen (CCNA, LPIC, OCP); Wettbewerbsprogrammierung (Bitmask-DP, XOR-Tricks, Gray-Code).

Anwendung

Modus wählen: Umrechnung (Zahl + Quell-Basis + Ziel-Basis → Wert), Arithmetik (zwei binäre/hex Zahlen → Summe, Differenz, Produkt), Bitwise (zwei Zahlen → AND, OR, XOR, NOT, Shift), Zweierkomplement (vorzeichenbehaftete ganze Zahl + Bitbreite → Hex/Binär-Darstellung). Unterstützte Basen: 2, 8, 10, 16.

Stellenwertsysteme und warum Hexadezimal in der Informatik

Jedes Stellenwertsystem stellt eine Zahl als Summe von Ziffern mal Potenzen der Basis dar: n = Σ dᵢ·bⁱ. Das Dezimalsystem (Basis 10) ist das menschliche, aber Computer nutzen das Binärsystem (Basis 2), weil Transistoren nur zwei stabile Zustände haben, an und aus, darstellbar als 0 und 1. Binär ist jedoch weitschweifig: die Zahl 255 braucht acht Ziffern, 11111111. Hier kommt das Hexadezimalsystem (Basis 16, Ziffern 0-9 und A-F) ins Spiel: da 16 = 2⁴, entspricht jede Hexadezimalziffer genau 4 Bit (einem Nibble) und zwei Ziffern einem Byte. So wird 11111111 zum kompakten FF. Deshalb werden Speicheradressen, Web-Farbcodes (#RRGGBB) und Datendumps hexadezimal geschrieben. Das Oktalsystem (Basis 8) war in frühen Rechnern weit verbreitet und überlebt in den Unix-Berechtigungen (chmod 755).

Zweierkomplement und Bitoperationen

Negative Zahlen werden in Computern mit dem Zweierkomplement dargestellt: zum Negieren invertiert man alle Bits und addiert 1. Mit n Bit deckt man die Werte von −2ⁿ⁻¹ bis 2ⁿ⁻¹−1 ab: bei 8 Bit ist der Bereich [−128, 127], und das höchstwertige Bit (MSB) dient als Vorzeichen. Dieses universell übernommene Schema hat zwei entscheidende Vorteile: es gibt nur eine Null (vermeidet die "−0" der Betrag-Vorzeichen-Darstellung) und die Addition funktioniert einheitlich für positive und negative Zahlen, was Rechenschaltungen enorm vereinfacht. Bitoperationen manipulieren einzelne Bits: AND extrahiert Masken, OR setzt Bits, XOR schaltet sie um oder vergleicht sie, NOT invertiert sie, und Verschiebungen multiplizieren oder dividieren durch Zweierpotenzen. Sie sind die Grundlage von Flags, Berechtigungsmasken, Kryptografie und Low-Level-Optimierungen.

Aktualisiert im Juli 2026