Calculateur Hex-Binaire : conversions, bitwise, complément 2

Convertissez nombres entre bases 2, 8, 10, 16, effectuez arithmétique binaire et opérations bitwise AND/OR/XOR/NOT, shifts et complément à deux. Quatre modes.

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Systèmes numériques : décimal, binaire, octal, hexadécimal

Chaque système positionnel : n = Σᵢ dᵢ·b^i, dᵢ est le i-ième chiffre, b la base. Les plus utilisés en informatique : base 10 (décimal) ; base 2 (binaire, circuits électroniques) ; base 8 (octal) ; base 16 (hex, chiffres 0-9 et A-F). Hex préféré pour les octets (1 octet = 2 chiffres hex) dans les adresses mémoire, couleurs RGB, MAC, hashes.

Méthodes de conversion

Base b → décimal : sommer dᵢ·b^i. Hex A3 = 10·16 + 3 = 163. Décimal → base b : divisions successives par b, lire restes à l'envers. 163 / 16 = 10 reste 3 ; 10 / 16 = 0 reste A → A3. Binaire ↔ hex : grouper en nibbles de 4 bits.

Arithmétique binaire

Addition : 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (retenue). Soustraction : avec emprunt ou complément à deux. Multiplication : shift-and-add. Division : shift-and-subtract. CPU modernes en hardware 1 cycle par 64-bit.

Opérations bitwise

AND (&) : 1 si les deux 1 — masque. OR (|) : 1 si au moins un — set bit. XOR (^) : 1 si différents — flip, chiffrement. NOT (~) : inverser tout. Shift gauche << : multiplie par 2^n. Shift droit >> : divise par 2^n (arithmétique conserve signe, logique remplit par 0).

Complément à deux

Représentation standard des entiers négatifs. Plage [−2^(N−1), 2^(N−1)−1]. Pour négater : inverser bits et ajouter 1. 8-bit : +5=00000101, −5=11111011. MSB = bit de signe. Avantages : addition/soustraction unifiées ; zéro unique ; extension de signe simple.

Mapping décimal ↔ hex

0-9 identiques. 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F. Notables : 255=FF, 65535=FFFF, 16777215=FFFFFF (24-bit RGB), 4294967295=FFFFFFFF (UINT32). Couleurs web : #FF0000 rouge, #00FF00 vert, #0000FF bleu.

Applications

Programmation bas niveau (microcontrôleurs, drivers) ; manipulation registres CPU ; cryptographie (XOR cipher, AES) ; encoding (Base64, UTF-8) ; graphismes (#RRGGBB) ; réseau (IP en hex, masques) ; OS (mémoire virtuelle) ; debugging (hex editors) ; certifications (CCNA, LPIC) ; programmation compétitive (bitmask DP, XOR tricks, Gray code).

Utilisation

Mode : Conversion (nombre + base source + cible), Arithmétique (somme/soustraction/produit), Bitwise (AND/OR/XOR/NOT/shift), Complément 2 (entier signé + bit width). Bases : 2, 8, 10, 16.

Systèmes positionnels et pourquoi l'hexadécimal en informatique

Tout système de numération positionnel représente un nombre comme somme de chiffres multipliés par des puissances de la base : n = Σ dᵢ·bⁱ. Le système décimal (base 10) est humain, mais les ordinateurs utilisent le binaire (base 2) car les transistors n'ont que deux états stables, allumé et éteint, représentables par 0 et 1. Le binaire est toutefois verbeux : le nombre 255 nécessite huit chiffres, 11111111. C'est là qu'intervient l'hexadécimal (base 16, chiffres 0-9 et A-F) : comme 16 = 2⁴, chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits (un nibble) et deux chiffres à un octet. Ainsi 11111111 devient le compact FF. C'est pourquoi les adresses mémoire, les codes couleur web (#RRGGBB) et les vidages de données s'écrivent en hexadécimal. Le système octal (base 8) fut très répandu dans les premiers ordinateurs et survit dans les permissions Unix (chmod 755).

Complément à deux et opérations bit à bit

Les nombres négatifs dans les ordinateurs sont représentés par le complément à deux : pour changer le signe, on inverse tous les bits et on ajoute 1. Avec n bits on couvre les valeurs de −2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹−1 : sur 8 bits l'intervalle est [−128, 127], et le bit de poids fort (MSB) sert de signe. Ce schéma, universellement adopté, a deux avantages décisifs : il existe un seul zéro (évitant le "−0" de la représentation signe-valeur absolue) et l'addition fonctionne uniformément pour les nombres positifs et négatifs, simplifiant énormément les circuits arithmétiques. Les opérations bit à bit manipulent les bits individuels : AND extrait des masques, OR fixe des bits, XOR les commute ou les compare, NOT les inverse, et les décalages multiplient ou divisent par des puissances de 2. Elles sont à la base des drapeaux, masques de permissions, cryptographie et optimisations bas niveau.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le système hexadécimal ?

L'hexadécimal est un système de numération en base 16 utilisant les chiffres 0-9 et les lettres A-F (où A=10, B=11, ..., F=15). Il est utilisé en informatique car chaque chiffre représente exactement 4 bits, rendant compacte l'écriture des nombres binaires : l'octet 11111111 devient FF.

Comment convertir du binaire en hexadécimal ?

On groupe les bits par quatre en partant de la droite et on traduit chaque groupe en un chiffre hexadécimal. Par exemple 1011 0110 devient B6, car 1011 = B (11) et 0110 = 6. La méthode fonctionne car 16 = 2⁴, donc chaque nibble de 4 bits correspond à un chiffre hex.

Pourquoi les ordinateurs utilisent-ils le binaire ?

Parce que les circuits électroniques reposent sur des transistors à deux états stables seulement : allumé et éteint, tension haute et basse. Ces deux états se représentent naturellement par 0 et 1, les chiffres du système binaire. Toute l'information — nombres, texte, images — est codée en séquences de bits.

Qu'est-ce que le complément à deux ?

C'est la méthode standard pour représenter les entiers négatifs dans les ordinateurs. Pour négation, on inverse tous les bits et on ajoute 1. Avec n bits on représente les valeurs de −2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹−1 : sur 8 bits de −128 à 127. Le bit de poids fort indique le signe.

Pourquoi utiliser le complément à deux plutôt que signe-valeur absolue ?

Parce qu'il a deux avantages : il existe une seule représentation du zéro (en signe-valeur absolue il y a +0 et −0) et l'addition fonctionne à l'identique pour les nombres positifs et négatifs, sans circuits de soustraction spéciaux. Cela simplifie énormément le matériel arithmétique des processeurs.

À quoi servent les opérations bit à bit ?

Les opérations bit à bit manipulent les bits individuels d'un nombre : AND applique des masques (isole des bits), OR fixe des bits à 1, XOR les commute ou compare, NOT les inverse, les décalages multiplient ou divisent par des puissances de 2. Elles servent aux drapeaux, permissions, graphismes, cryptographie et optimisations bas niveau.

Qu'est-ce qu'un nibble et qu'est-ce qu'un octet ?

Un nibble est un groupe de 4 bits, représentable par un seul chiffre hexadécimal (de 0 à F). Un octet est composé de 8 bits, soit deux nibbles, et s'écrit avec deux chiffres hex (de 00 à FF). Un octet peut prendre 256 valeurs distinctes et est l'unité de base de la mémoire des ordinateurs.

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