Wie berechnet man das harmonische Mittel

Berechnen Sie das harmonische Mittel H = n/Σ(1/xᵢ): Durchschnittsgeschwindigkeiten, P/E, Parallelwiderstände, F1-Score. Vergleich mit arithmetischem und geometrischem Mittel.

Berechnungsparameter
War dieser Rechner nützlich?

Wie berechnet man das harmonische Mittel ermöglicht es, den passenden Durchschnitt zu finden, wenn Daten Raten, Geschwindigkeiten, Frequenzen oder Verhältnisse darstellen. Die Formel lautet H = n / Σ(1/xᵢ): Anzahl der Elemente geteilt durch die Summe der Kehrwerte. Das harmonische Mittel ist immer ≤ dem geometrischen Mittel, das wiederum ≤ dem arithmetischen Mittel ist (HM-GM-AM-Ungleichung, Cauchy 1821). Verwendet für Geschwindigkeiten bei gleicher Distanz, aggregierte P/E-Verhältnisse, Parallelwiderstände, F1-Scores im maschinellen Lernen, gemäß Standards von Destatis, MPG, Fraunhofer und DIBt.

Formel und Definition

Für n positive Beobachtungen x₁, x₂, ..., xₙ ist das harmonische Mittel: H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ). Für zwei Werte: H = 2x₁x₂ / (x₁ + x₂). Gewichtete Version: H = Σwᵢ / Σ(wᵢ/xᵢ), mit wᵢ als Gewichten.

Die Ungleichung HM ≤ GM ≤ AM gilt immer, mit Gleichheit nur wenn alle Werte identisch sind. Für 40 und 60: H = 48, G = 48,99, A = 50. Die Lücke HM-AM wächst mit der Streuung. Ableitung aus der Theorie verallgemeinerter Mittel von Hardy-Littlewood-Pólya (1934), Standardreferenz in mathematischer Statistik des Max-Planck-Instituts und Fraunhofer-Instituts.

Geschichte und mathematischer Kontext

Das harmonische Mittel wurde von den Pythagoräern (6. Jahrhundert v. Chr.) im Kontext musikalischer Proportionen untersucht: das Verhältnis 1:1/2:1/3 entspricht den Frequenzen konsonanter Intervalle. Archytas von Tarent (430-360 v. Chr.) definierte es als das "dritte Mittel". Cauchy (Cours d'Analyse, 1821) bewies rigoros die HM ≤ GM ≤ AM-Ungleichung.

In modernen Anwendungen verwendet Destatis es für zusammengesetzte Sozialindikatoren. Die Max-Planck-Gesellschaft und das Fraunhofer-Institut wenden es in statistischer Physik an. Der F1-Score im maschinellen Lernen ist ein harmonisches Mittel von Precision und Recall. Das DIBt (Deutsches Institut für Bautechnik) verwendet harmonische Mittel für Wärmeleitfähigkeit von Schichtwänden.

Vergleichstabelle Mittel

WerteArithmetischGeometrischHarmonischLücke AM-HM
10, 1010,0010,0010,000%
40, 6050,0048,9948,004%
1, 10050,5010,001,9896%
2, 4, 84,674,003,4327%
5, 10, 15, 2012,5010,619,0727%
30, 50, 70, 9060,0056,1252,0313%

5 verifizierte Zahlenbeispiele

  1. Durchschnittsgeschwindigkeit bei gleicher Distanz: Hin 60 km/h und Rück 100 km/h auf gleicher Strecke. Mittlere Geschwindigkeit = H(60, 100) = 75 km/h, NICHT 80 (häufiger AM-Fehler).
  2. Parallelwiderstände: drei Widerstände 10Ω, 20Ω, 30Ω. R_eq = 1/(1/10+1/20+1/30) = 5,455Ω. Norm DIN EN 60063.
  3. Aggregiertes Portfolio P/E: 3 Aktien mit P/E 15, 25, 50. Harmonisches Mittel = 22,06; arithmetisches = 30,00. Das harmonische spiegelt das aggregierte Earnings Yield besser wider.
  4. F1-Score maschinelles Lernen: Precision 0,80 und Recall 0,60. F1 = 0,686. Bestraft den niedrigen Recall-Wert mehr als AM (0,70). Standard scikit-learn-Bibliothek.
  5. Mittlere Bearbeitungszeit: 4 Maschinen vollenden in 3, 4, 5, 6 Stunden. Harmonisches Mittel = 4,11 Stunden.

Modellgrenzen

  • Funktioniert nicht mit Null oder negativen Werten: 1/0 ist undefiniert. Für gemischte Daten verwende AM.
  • Empfindlichkeit gegenüber kleinen Ausreißern: ein Wert nahe Null dominiert das Mittel.
  • Kontextuelle Interpretation: HM nur bei Raten oder Verhältnissen mit konstantem Nenner verwenden.

Häufige Fehler

  • AM für Geschwindigkeiten verwenden: bei gleichen Distanzen aber unterschiedlichen Zeiten ist die Durchschnittsgeschwindigkeit harmonisch.
  • F1-Score mit AM: F1 muss harmonisch sein, um unausgewogene Klassifikatoren zu bestrafen.
  • Mittleres Index-P/E: Indizes DAX, MSCI World verwenden gewichtetes harmonisches P/E.
  • Netzwerkgeschwindigkeit: Bandbreite in Reihe ist harmonisch; parallel ist Summe.
  • Mittlere Dichten: für Mischungen bei gleichem Volumen AM; bei gleicher Masse HM.
  • Produktivitätsindizes: mittlere Zeit pro Einheit ist harmonisch wenn Einheiten gleich.

Praktische Anwendungen nummeriert

  1. Mittlere Hin-/Rückreisegeschwindigkeit: 100 km bei 80 km/h und 100 km bei 50 km/h. H = 61,5 km/h.
  2. Parallelwiderstände Elektronik: Spannungsteiler mit 100Ω, 220Ω, 470Ω: R_eq = 56,5Ω.
  3. F1-Score ML-Modelle: Precision 0,75 und Recall 0,90: F1 = 0,818. Standard scikit-learn.
  4. P/E-Verhältnis Indexfonds: ETF mit P/E 12, 18, 25, 40: harmonisches P/E = 19,1.
  5. Legierungsdichte: Legierungen bei gleicher Masse, mittlere Dichte = HM der einzelnen ρ.
  6. Reihenkondensatoren: 3 Kondensatoren 10μF, 22μF, 47μF: C_eq = 5,82μF.
  7. Zusammengesetzte Wärmeleitfähigkeit: Schichtwand senkrecht zum Fluss → HM. DIN EN ISO 6946.

Für technischen Support: info@calcoi.com.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen arithmetischem und harmonischem Mittel?

Das arithmetische summiert Werte und teilt durch n: AM = Σx/n. Das harmonische verwendet Kehrwerte: HM = n/Σ(1/x). Für Werte 40 und 60: AM = 50, HM = 48. Das harmonische ist immer kleiner als das arithmetische bei nicht identischen positiven Daten (Cauchy-Ungleichung 1821). HM wird für Raten und Verhältnisse mit konstantem Nenner verwendet (Geschwindigkeiten, Frequenzen).

Wann verwendet man das harmonische Mittel?

Verwende HM, wenn Daten Raten sind (km/h, ms/Operation, Hz-Frequenzen) und der Nenner konstant ist. Beispiele: mittlere Geschwindigkeit bei gleicher Distanz, aggregiertes P/E von Portfolios, Parallelwiderstände, F1-Score in ML, mittlere Bearbeitungszeiten. Für additive Größen (€, kg, Personen) verwende stattdessen das arithmetische Mittel.

Wie berechnet man das harmonische Mittel zweier Zahlen?

Für zwei Werte a und b: HM = 2ab / (a + b). Beispiel: HM(40, 60) = 2·40·60 / (40+60) = 48. Diese geschlossene Formel vermeidet die Berechnung der Kehrwerte und ist nützlich für Probleme wie Hin- und Rückgeschwindigkeit oder zwei parallele Widerstände nach DIN EN 60063.

Warum ist die mittlere Geschwindigkeit harmonisch?

Bei Strecken mit gleicher Distanz ist die Gesamtzeit t1 + t2 = d/v1 + d/v2. Mittlere Geschwindigkeit = 2d / (d/v1 + d/v2) = 2 / (1/v1 + 1/v2) = HM(v1, v2). Beispiel: 60 km/h hin und 100 km/h zurück → 75 km/h, nicht 80 (AM). Bei AM 80 km/h wären gleiche Zeiten erforderlich, nicht gleiche Distanzen.

Ist der F1-Score wirklich ein harmonisches Mittel?

Ja: F1 = 2·P·R / (P+R) = HM(P, R). Bestraft unausgewogene Klassifikatoren: bei Precision 1,0 und Recall 0,1 ergibt AM 0,55 optimistisch, während F1 = 0,182 die wahre schlechte Leistung widerspiegelt. Standard sklearn.metrics.f1_score, ML-Benchmarks ImageNet/COCO. Variante F-beta gewichtet β² den Recall.

Was passiert, wenn ein Wert null ist?

Das harmonische Mittel wird undefiniert (1/0 existiert nicht). Software gibt Fehler oder NaN zurück. Zur Vermeidung: filtere Nullen oder ersetze sie durch kleine Werte. Physikalische Interpretation: in einem Parallelschaltkreis ist bei Widerstand null (Kurzschluss) der Ersatzwiderstand null, konsistent mit Grenzwert HM→0 wenn ein Wert gegen null geht.

Warum HM ≤ GM ≤ AM?

Ungleichung bewiesen von Cauchy (1821) und verallgemeinert durch Hardy-Littlewood-Pólya (1934). Für zwei Werte a, b: AM = (a+b)/2, GM = √(ab), HM = 2ab/(a+b). Es gilt (a-b)² ≥ 0 → a²+b² ≥ 2ab → AM ≥ GM. Analog GM² = ab ≥ HM·AM ≥ HM². Gleichheit nur bei a=b. Implikation: HM belohnt Gleichmäßigkeit, fundamentales Resultat.

Formel

H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{1/x_i}}

Kommentare (0)

Noch keine Kommentare. Sei der Erste!