Cómo calcular la media armónica

Calcula la media armónica H = n/Σ(1/xᵢ): velocidades medias, P/E, resistencias paralelas, F1-score. Comparación con media aritmética y geométrica con ejemplos verificados.

Parámetros de cálculo
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Cómo calcular la media armónica te permite encontrar el valor medio apropiado cuando los datos representan tasas, velocidades, frecuencias o razones. La fórmula es H = n / Σ(1/xᵢ): el número de elementos dividido por la suma de los recíprocos. La media armónica es siempre ≤ la media geométrica, que a su vez es ≤ la media aritmética (desigualdad HM-GM-AM, Cauchy 1821). Se usa para velocidades a igual distancia, ratios P/E agregados, resistencias en paralelo, F1-score en machine learning y promedio de tasas, según las guías del CSIC y el Instituto Nacional de Estadística (INE) español.

Fórmula y definición

Dadas n observaciones positivas x₁, x₂, ..., xₙ, la media armónica es: H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ). Para dos valores se simplifica en H = 2x₁x₂ / (x₁ + x₂). Para la versión ponderada: H = Σwᵢ / Σ(wᵢ/xᵢ), donde wᵢ son los pesos.

Vale siempre la desigualdad HM ≤ GM ≤ AM, con igualdad solo si todos los valores son idénticos. Para dos valores 40 y 60: H = 48, G = √(40·60) = 48,99, A = 50. La diferencia HM-AM crece con la dispersión; para datos idénticos todas las medias coinciden. La derivación sigue de la teoría de medias generalizadas de Hardy-Littlewood-Pólya (1934), referencia fundamental en estadística matemática del CSIC.

Historia y contexto matemático

La media armónica fue estudiada por los Pitagóricos (siglo VI a.C.) en el contexto de las proporciones musicales: la razón 1:1/2:1/3 corresponde a las frecuencias de intervalos consonantes. Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) la definió como la "tercera media". Cauchy (Cours d'Analyse, 1821) y Schwarz demostraron rigurosamente la desigualdad HM ≤ GM ≤ AM.

En aplicaciones modernas, el INE español la usa para indicadores sociales compuestos. La AEMET aplica medias armónicas para promediar tasas de cambio meteorológico. El F1-score en machine learning es una media armónica de precisión y recall. CSIC y CNIO la utilizan en bioestadística para tasas de diagnóstico, mientras AEMPS la aplica para promediar tasas de eficacia farmacológica.

Tabla comparación medias aritmética/geométrica/armónica

ValoresAritméticaGeométricaArmónicaDiferencia AM-HM
10, 1010,0010,0010,000%
40, 6050,0048,9948,004%
1, 10050,5010,001,9896%
2, 4, 84,674,003,4327%
5, 10, 15, 2012,5010,619,0727%
30, 50, 70, 9060,0056,1252,0313%

5 ejemplos numéricos verificados

  1. Velocidad media a igual distancia: ida 60 km/h y vuelta 100 km/h en la misma ruta. Velocidad media = H(60, 100) = 75 km/h, NO 80 (error común con AM).
  2. Resistencias en paralelo: tres resistencias 10Ω, 20Ω, 30Ω. R_eq = 1/(1/10+1/20+1/30) = 5,455Ω. Norma UNE-EN 60063.
  3. P/E agregado de cartera: 3 valores con P/E 15, 25, 50. Media armónica = 22,06; aritmética = 30,00. La armónica refleja mejor el earnings yield agregado.
  4. F1-score machine learning: precisión 0,80 y recall 0,60. F1 = 0,686. Penaliza más que la aritmética (0,70) el valor bajo de recall.
  5. Tiempo medio de tareas: 4 máquinas completan en 3, 4, 5, 6 horas. Tiempo medio armónico = 4,11 horas.

Límites del modelo

  • No funciona con valores cero o negativos: la división 1/0 es indefinida. Para datos mixtos usa la media aritmética.
  • Sensibilidad a outliers pequeños: un valor cercano a cero domina la media. Ejemplo: H(1, 100, 100) = 2,97 vs A = 67.
  • Interpretación contextual: usa HM solo cuando los datos son tasas o razones con denominador constante. Para cantidades aditivas usa AM.

Errores comunes

  • Usar AM para velocidades: a distancias iguales pero tiempos diferentes, la velocidad media es armónica.
  • F1-score con AM: F1 debe ser armónica para penalizar clasificadores desequilibrados.
  • P/E medio de índices: índices IBEX 35, BME usan P/E agregado armónico ponderado.
  • Velocidad de red: bandwidth en serie es armónica; en paralelo es suma.
  • Densidades medias: para mezclas a igual volumen AM; a igual masa HM.
  • Índices de productividad: tiempo medio por unidad es armónico si las unidades son iguales.

Aplicaciones prácticas numeradas

  1. Velocidad media viaje ida/vuelta: 100 km a 80 km/h y 100 km a 50 km/h. H = 61,5 km/h.
  2. Resistencias en paralelo electrónica: divisor con 100Ω, 220Ω, 470Ω: R_eq = 56,5Ω.
  3. F1-score modelos ML: precisión 0,75 y recall 0,90: F1 = 0,818. Estándar scikit-learn.
  4. P/E ratio fondos indexados: ETF con P/E 12, 18, 25, 40: P/E armónico = 19,1.
  5. Densidad de aleación: aleaciones a igual masa, densidad media = HM de los ρ individuales.
  6. Capacitores en serie: 3 capacitores 10μF, 22μF, 47μF: C_eq = 5,82μF.
  7. Conductividad térmica compuesta: muro perpendicular al flujo → HM. UNE-EN ISO 6946.

Para soporte técnico: info@calcoi.com.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre media aritmética y armónica?

La aritmética suma los valores y divide por n: AM = Σx/n. La armónica usa los recíprocos: HM = n/Σ(1/x). Para valores 40 y 60: AM = 50, HM = 48. La armónica es siempre menor que la aritmética para datos positivos no idénticos (desigualdad Cauchy 1821). HM se usa para tasas y razones con denominador constante (velocidades, frecuencias).

¿Cuándo usar la media armónica?

Usa HM cuando los datos son tasas (km/h, ms/operación, frecuencias Hz) y la cantidad en el denominador es constante. Ejemplos: velocidad media a igual distancia, P/E agregado de carteras, resistencias en paralelo, F1-score en ML, tiempos medios de tareas. Para cantidades aditivas (€, kg, personas) usa la aritmética.

¿Cómo se calcula la media armónica de dos números?

Para dos valores a y b: HM = 2ab / (a + b). Ejemplo: HM(40, 60) = 2·40·60 / (40+60) = 4800/100 = 48. Esta fórmula cerrada evita el cálculo de los recíprocos y es útil para problemas de velocidad ida/vuelta o resistencias paralelas a dos elementos según norma UNE.

¿Por qué la velocidad media es armónica?

Para recorridos a igual distancia, el tiempo total es t1 + t2 = d/v1 + d/v2. Velocidad media = 2d / (d/v1 + d/v2) = 2 / (1/v1 + 1/v2) = HM(v1, v2). Ejemplo: 60 km/h ida y 100 km/h vuelta → 75 km/h, no 80 (AM). A 60+100=160 km/h totales, AM requiere tiempos iguales, no distancias iguales.

¿F1-score es realmente una media armónica?

Sí: F1 = 2·P·R / (P+R) = HM(P, R). Penaliza clasificadores desequilibrados: con precisión 1,0 y recall 0,1, AM da 0,55 optimista, mientras F1 = 0,182 refleja el verdadero rendimiento pobre. Estándar sklearn.metrics.f1_score, ML benchmarks ImageNet/COCO. La variante F-beta pesa β² al recall.

¿Qué pasa si uno de los valores es cero?

La media armónica se vuelve indefinida (1/0 no existe). En la práctica los softwares devuelven error o NaN. Para evitar: filtra ceros o sustitúyelos con valores pequeños. Interpretación física: en un circuito paralelo, si una resistencia es cero (cortocircuito), la resistencia equivalente es cero, coherente con el límite HM→0 cuando un valor tiende a cero.

¿Por qué HM ≤ GM ≤ AM?

Desigualdad demostrada por Cauchy (1821) y generalizada por Hardy-Littlewood-Pólya (1934). Para dos valores a, b: AM = (a+b)/2, GM = √(ab), HM = 2ab/(a+b). Vale (a-b)² ≥ 0 → a²+b² ≥ 2ab → AM ≥ GM. Análogamente GM² = ab ≥ HM·AM ≥ HM². Igualdad solo si a=b. Implicación: HM premia uniformidad, resultado fundamental.

Fórmula

H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{1/x_i}}

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