Comment calculer la moyenne harmonique

Calculez la moyenne harmonique H = n/Σ(1/xᵢ) : vitesses moyennes, P/E, résistances parallèles, F1-score. Comparaison avec moyenne arithmétique et géométrique, exemples vérifiés.

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Comment calculer la moyenne harmonique vous permet de trouver la moyenne appropriée quand les données représentent des taux, des vitesses, des fréquences ou des rapports. La formule est H = n / Σ(1/xᵢ) : le nombre d'éléments divisé par la somme des inverses. La moyenne harmonique est toujours ≤ la moyenne géométrique, qui est ≤ la moyenne arithmétique (inégalité HM-GM-AM, Cauchy 1821). Elle est utilisée pour les vitesses à distance égale, les ratios P/E agrégés, les résistances en parallèle, le F1-score en machine learning, selon les standards du CNRS, du CEA et de l'INSEE.

Formule et définition

Pour n observations positives x₁, x₂, ..., xₙ, la moyenne harmonique est : H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ). Pour deux valeurs : H = 2x₁x₂ / (x₁ + x₂). Pour la version pondérée : H = Σwᵢ / Σ(wᵢ/xᵢ), où wᵢ sont les poids.

L'inégalité HM ≤ GM ≤ AM tient toujours, avec égalité seulement si toutes les valeurs sont identiques. Pour 40 et 60 : H = 48, G = 48,99, A = 50. L'écart HM-AM croît avec la dispersion. Dérivation issue de la théorie des moyennes généralisées de Hardy-Littlewood-Pólya (1934), référence fondamentale en statistique mathématique du CNRS.

Histoire et contexte mathématique

La moyenne harmonique a été étudiée par les Pythagoriciens (VIe siècle av. J.-C.) dans le contexte des proportions musicales : le rapport 1:1/2:1/3 correspond aux fréquences d'intervalles consonants. Archytas de Tarente (430-360 av. J.-C.) l'a définie comme la "troisième moyenne". Cauchy (Cours d'Analyse, 1821) a démontré rigoureusement l'inégalité HM ≤ GM ≤ AM.

En applications modernes, l'INSEE l'utilise pour les indicateurs sociaux composites. Le CNRS et le CEA l'appliquent en physique statistique. Le F1-score en machine learning est une moyenne harmonique de précision et recall. Météo-France utilise des moyennes harmoniques pour agréger taux de variations climatiques, et l'INRIA en cryptographie pour analyses de complexité.

Tableau comparaison moyennes

ValeursArithmétiqueGéométriqueHarmoniqueÉcart AM-HM
10, 1010,0010,0010,000%
40, 6050,0048,9948,004%
1, 10050,5010,001,9896%
2, 4, 84,674,003,4327%
5, 10, 15, 2012,5010,619,0727%
30, 50, 70, 9060,0056,1252,0313%

5 exemples numériques vérifiés

  1. Vitesse moyenne à distance égale : aller 60 km/h et retour 100 km/h sur le même trajet. Vitesse moyenne = H(60, 100) = 75 km/h, PAS 80 (erreur courante avec AM).
  2. Résistances en parallèle : trois résistances 10Ω, 20Ω, 30Ω. R_eq = 1/(1/10+1/20+1/30) = 5,455Ω. Norme NF EN 60063.
  3. P/E agrégé de portefeuille : 3 titres avec P/E 15, 25, 50. Moyenne harmonique = 22,06 ; arithmétique = 30,00. L'harmonique reflète mieux le earnings yield agrégé.
  4. F1-score machine learning : précision 0,80 et recall 0,60. F1 = 0,686. Pénalise plus que l'arithmétique (0,70) la faible valeur de recall.
  5. Temps moyen de tâches : 4 machines complètent en 3, 4, 5, 6 heures. Temps moyen harmonique = 4,11 heures.

Limites du modèle

  • Ne fonctionne pas avec valeurs zéro ou négatives : la division 1/0 est indéfinie. Pour données mixtes utilisez la moyenne arithmétique.
  • Sensibilité aux outliers petits : une valeur proche de zéro domine la moyenne.
  • Interprétation contextuelle : utilisez HM uniquement pour des taux ou des rapports avec dénominateur constant.

Erreurs courantes

  • Utiliser AM pour les vitesses : à distances égales mais temps différents, la vitesse moyenne est harmonique.
  • F1-score avec AM : F1 doit être harmonique pour pénaliser les classifieurs déséquilibrés.
  • P/E moyen d'indices : indices CAC 40, EUROSTOXX 50 utilisent P/E agrégé harmonique pondéré.
  • Vitesse réseau : bandwidth en série est harmonique ; en parallèle est somme.
  • Densités moyennes : pour mélanges à volume égal AM ; à masse égale HM.
  • Indices de productivité : temps moyen par unité est harmonique si unités égales.

Applications pratiques numérotées

  1. Vitesse moyenne aller/retour : 100 km à 80 km/h et 100 km à 50 km/h. H = 61,5 km/h.
  2. Résistances parallèles électronique : diviseur avec 100Ω, 220Ω, 470Ω : R_eq = 56,5Ω.
  3. F1-score modèles ML : précision 0,75 et recall 0,90 : F1 = 0,818. Standard scikit-learn.
  4. P/E ratio fonds indiciels : ETF avec P/E 12, 18, 25, 40 : P/E harmonique = 19,1.
  5. Densité d'alliage : alliages à masse égale, densité moyenne = HM des ρ individuels.
  6. Condensateurs en série : 3 condensateurs 10μF, 22μF, 47μF : C_eq = 5,82μF.
  7. Conductivité thermique composée : mur perpendiculaire au flux → HM. NF EN ISO 6946.

Pour le support technique : info@calcoi.com.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre moyenne arithmétique et harmonique ?

L'arithmétique somme les valeurs et divise par n : AM = Σx/n. L'harmonique utilise les inverses : HM = n/Σ(1/x). Pour 40 et 60 : AM = 50, HM = 48. L'harmonique est toujours plus petite que l'arithmétique pour des données positives non identiques (inégalité Cauchy 1821). HM s'utilise pour des taux et rapports avec dénominateur constant.

Quand utiliser la moyenne harmonique ?

Utilisez HM quand les données sont des taux (km/h, ms/opération, fréquences Hz) et la quantité au dénominateur est constante. Exemples : vitesse moyenne à distance égale, P/E agrégé de portefeuilles, résistances en parallèle, F1-score en ML, temps moyens de tâches. Pour quantités additives (€, kg, personnes) utilisez l'arithmétique.

Comment calculer la moyenne harmonique de deux nombres ?

Pour deux valeurs a et b : HM = 2ab / (a + b). Exemple : HM(40, 60) = 2·40·60 / (40+60) = 48. Cette formule fermée évite le calcul des inverses et est utile pour des problèmes de vitesse aller/retour ou résistances parallèles à deux éléments selon les normes NF EN 60063.

Pourquoi la vitesse moyenne est harmonique ?

Pour des trajets à distance égale, le temps total est t1 + t2 = d/v1 + d/v2. Vitesse moyenne = 2d / (d/v1 + d/v2) = 2 / (1/v1 + 1/v2) = HM(v1, v2). Exemple : 60 km/h aller et 100 km/h retour → 75 km/h, pas 80 (AM). À 60+100=160 km/h totaux, AM nécessite des temps égaux, pas des distances égales.

Le F1-score est-il vraiment une moyenne harmonique ?

Oui : F1 = 2·P·R / (P+R) = HM(P, R). Pénalise les classifieurs déséquilibrés : avec précision 1,0 et recall 0,1, AM donne 0,55 optimiste, alors que F1 = 0,182 reflète la vraie performance médiocre. Standard sklearn.metrics.f1_score, benchmarks ML ImageNet/COCO. La variante F-beta pondère β² au recall.

Que se passe-t-il si une valeur est zéro ?

La moyenne harmonique devient indéfinie (1/0 n'existe pas). En pratique les logiciels retournent erreur ou NaN. Pour éviter : filtrez les zéros ou remplacez par de petites valeurs. Interprétation physique : dans un circuit parallèle, si une résistance est zéro (court-circuit), la résistance équivalente est zéro, cohérent avec la limite HM→0.

Pourquoi HM ≤ GM ≤ AM ?

Inégalité démontrée par Cauchy (1821) et généralisée par Hardy-Littlewood-Pólya (1934). Pour deux valeurs a, b : AM = (a+b)/2, GM = √(ab), HM = 2ab/(a+b). Vaut (a-b)² ≥ 0 → a²+b² ≥ 2ab → AM ≥ GM. Analogue GM² = ab ≥ HM·AM ≥ HM². Égalité seulement si a=b. Implication : HM récompense l'uniformité, résultat fondamental.

Formule

H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{1/x_i}}

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