Exponentialverteilung-Rechner (PDF, CDF, Quantil)

Exponentialverteilung-Rechner: PDF f(x) = lambda e^(-lambda x), CDF, Überleben, Quantile, Momente. Wartezeiten, Zerfall, Zuverlässigkeit MTTF Analyse.

Berechnungsparameter
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Exponentialverteilung: Formeln

Stetige Verteilung für Zeiten zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess. Parameter lambda > 0 (Rate).

  • PDF: f(x) = lambda e^(-lambda x) für x >= 0.
  • CDF: F(x) = 1 - e^(-lambda x).
  • Überleben: S(x) = e^(-lambda x).
  • Quantil: x_p = -ln(1-p)/lambda.
  • Ausfallrate: h(x) = lambda konstant (gedächtnislos).

Numerisches Beispiel

Glühbirne lambda = 0.001 hr^(-1): P(Ausfall 500 hr) = 39.35 %. P(überlebt 2000 hr) = 13.53 %. Median = 693 hr.

Momente

  • Erwartungswert: 1/lambda.
  • Varianz: 1/lambda^2.
  • Standardabweichung: 1/lambda.
  • Median: ln(2)/lambda.
  • Schiefe: 2.
  • Wölbung (Exzess): 6.

Gedächtnislosigkeit

P(X > s+t | X > s) = P(X > t). Kein Altern. Einzige stetige Verteilung gedächtnislos.

Poisson-Verbindung

  • Zeit bis erstes Ereignis Exp(lambda).
  • Zwischenankunftszeiten i.i.d. Exp(lambda).
  • Anzahl in [0, t] ist Poisson(lambda t).

MLE

lambda_MLE = n/(sum x_i) = 1/Mittelwert. CI Chi-Quadrat mit 2n Freiheitsgraden.

Verallgemeinerungen

  • Gamma(k, lambda) Summe k Exponentialer.
  • Erlang(k, lambda) Gamma ganzzahlig k.
  • Weibull nicht-konstante Ausfallrate.
  • Laplace doppelt-exponentiell.
  • Verschobene Exponentialverteilung.

Zuverlässigkeit

MTTF = 1/lambda. Serie n: lambda_System = sum lambda_i. Badewannenkurve: Exponential nur Nutzungsphase.

Verteilungsprüfung

  • Q-Q-Plot.
  • Kolmogorov-Smirnov-Test.
  • Anderson-Darling-Test.
  • CV-Verhältnis = 1.

Anwendungen

  • Zuverlässigkeit Komponenten.
  • Warteschlangen M/M/1.
  • Radioaktiver Zerfall.
  • Telekom Anrufe.
  • Finanz Trading.
  • Klinisches Überleben.
  • Sport Tore.
  • Seismologie (begrenzt).

Geschichte

Erlang (1909) Telefonverkehr. Khinchin (1932) Warteschlangen. Epstein-Sobel (1953) moderne Zuverlässigkeit.

Rechnermodi

Fünf: PDF, CDF, Überleben, inverse Quantile, Momente.

Die Exponentialverteilung in der Warteschlangentheorie

Die Exponentialverteilung ist das Ruckgrat der Warteschlangentheorie, der Disziplin, die Wartezeiten in Schlangen untersucht. Das einfachste und verbreitetste Warteschlangenmodell, M/M/1 genannt, nimmt an, dass sowohl die Zeiten zwischen einer Ankunft und der nachsten als auch die Bedienzeiten Exponentialverteilungen folgen. Diese Wahl ist nicht willkurlich: die Gedachtnislosigkeit macht die Mathematik handhabbar und erfasst viele reale Systeme gut, von Bankschaltern bis zu Computerservern.

Dank dieser Annahmen erhalt man elegante Formeln fur praktische Grossen: die mittlere Kundenzahl in der Schlange, die mittlere Wartezeit, die Wahrscheinlichkeit, dass das System leer ist. Das Littlesche Gesetz, das die mittlere Zahl der Elemente in einem System mit der Ankunftsrate und der Verweilzeit verbindet, gilt unmittelbar. Die auf der Exponentialverteilung beruhende Warteschlangentheorie leitet die Dimensionierung von Telekommunikationsnetzen, Callcentern, Produktionssystemen und Recheninfrastrukturen, uberall dort, wo Kapazitat und Wartezeiten auszugleichen sind.

Vom radioaktiven Zerfall zur Zuverlassigkeit

Die Exponentialverteilung modelliert alle Prozesse, in denen das momentane Risiko eines Ereignisses uber die Zeit konstant bleibt. Der radioaktive Zerfall ist das archetypische Beispiel: ein instabiles Atom hat in jedem Augenblick dieselbe Zerfallswahrscheinlichkeit, unabhangig davon, wie viel Zeit bereits verstrichen ist, weshalb die Halbwertszeit uber die Beziehung mit dem Logarithmus von zwei an die Rate Lambda gebunden ist. Dasselbe gilt fur die Zeit zwischen Ausfallen elektronischer Bauteile in ihrer Nutzungsphase.

In der Zuverlassigkeit entspricht die konstante Ausfallrate dem flachen Abschnitt der beruhmten Badewannenkurve, dem mittleren zwischen der anfanglichen Fruhausfallphase und dem finalen Verschleiss. Genau hier liegt die Grenze des Modells: viele reale Systeme altern, das heisst ihr Ausfallrisiko steigt mit der Zeit und verletzt die Gedachtnislosigkeit. In diesen Fallen greift man auf flexiblere Verteilungen wie die Weibull-Verteilung zuruck, die die Exponentialverteilung durch eine steigende oder fallende Ausfallrate verallgemeinert. Die Exponentialverteilung bleibt dennoch das Referenzmodell fur Wartezeiten und die Grundlage, von der ausgefeiltere Analysen ausgehen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Exponentialverteilung?

Es ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wartezeit bis zum Eintreten eines Ereignisses in einem Prozess mit konstanter Rate beschreibt. Sie hat einen einzigen Parameter, die Rate Lambda, und die Dichte f(x) = lambda e^(-lambda x) fur x >= 0. Sie modelliert Zeiten zwischen unabhangigen Zufallsereignissen.

Was stellt der Parameter Lambda dar?

Es ist die mittlere Rate, mit der Ereignisse pro Zeiteinheit auftreten. Ein hohes Lambda bedeutet haufige Ereignisse und kurze Wartezeiten, ein niedriges seltene Ereignisse und lange Wartezeiten. Die mittlere Wartezeit ist der Kehrwert 1/lambda, und die Standardabweichung betragt ebenfalls 1/lambda.

Was ist die Gedachtnislosigkeit?

Es ist das kennzeichnende Merkmal der Exponentialverteilung: die Wahrscheinlichkeit, eine zusatzliche Zeit t zu warten, hangt nicht davon ab, wie lange man bereits gewartet hat. In Formeln P(X > s+t | X > s) = P(X > t). Sie ist die einzige stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft und beschreibt Prozesse, die nicht altern.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses innerhalb einer Zeit?

Mit der Verteilungsfunktion F(x) = 1 - e^(-lambda x), die die Wahrscheinlichkeit gibt, dass das Ereignis innerhalb der Zeit x eintritt. Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass das Ereignis noch nicht eingetreten ist, ist die Uberlebensfunktion S(x) = e^(-lambda x).

Welchen Bezug hat sie zum Poisson-Prozess?

Sie sind zwei Seiten desselben Phanomens: treten Ereignisse gemass einem Poisson-Prozess mit Rate lambda auf, so folgen die Zeiten zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen einer Exponentialverteilung mit demselben lambda. Die Zahl der Ereignisse in einem Intervall ist Poisson, die Wartezeit ist exponentiell.

Wo wird die Exponentialverteilung verwendet?

Im radioaktiven Zerfall, in der Zuverlassigkeit fur Zeiten zwischen Ausfallen, in der Warteschlangentheorie fur Warte- und Bedienzeiten, in der Telekommunikation, bei der Modellierung seltener Ereignisse und in der Uberlebensanalyse. Uberall, wo eine annahernd konstante Auftrittsrate herrscht.

Warum unterscheidet sich der Median vom Mittelwert?

Weil die Verteilung schief ist, mit einer langen rechten Flanke. Der Mittelwert betragt 1/lambda, doch der Median ist ln(2)/lambda, also etwa 69% des Mittelwerts. Das spiegelt wider, dass einige sehr lange Wartezeiten den Mittelwert uber den typischen zentralen Wert hinaus ziehen.

Was ist die Grenze des Exponentialmodells?

Die Gedachtnislosigkeit: es nimmt an, dass sich das Risiko im Lauf der Zeit nicht andert. Doch viele reale Systeme altern, mit steigendem Ausfallrisiko, oder haben Fruhausfalle. In diesen Fallen verwendet man die Weibull-Verteilung, die die Exponentialverteilung mit einer variablen Ausfallrate verallgemeinert.

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