Ellipsen-Rechner: Fläche, Umfang, Exzentrizität, Brennpunkte

Berechne die Fläche A = π·a·b, den Umfang (Ramanujan), die Exzentrizität, Brennweite und kleine Halbachse einer Ellipse. Vier Rechenmodi mit exakten Formeln.

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Die Ellipse in der analytischen Geometrie

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten (den Brennpunkten F₁, F₂) konstant und gleich 2a ist (Länge der Hauptachse). Kanonische Form mit Zentrum im Ursprung: (x/a)² + (y/b)² = 1, mit a der großen Halbachse und b der kleinen Halbachse (a ≥ b > 0). Bei a = b entartet die Ellipse zum Kreis vom Radius a. Die Ellipse ist einer der drei nicht entarteten Kegelschnitte, entsteht beim Schnitt eines Kegels mit einer nicht zur Achse parallelen Ebene.

Fläche

Die Fläche ist durch die exakte Formel A = π · a · b gegeben. Dies verallgemeinert die Kreisfläche (A = π · r² für a = b = r). Eleganter Beweis per Variablensubstitution: x' = x/a, y' = y/b bildet die Ellipse auf den Einheitskreis (Fläche π) ab; die inverse Jacobi-Determinante ist a·b. Beispiel: a = 5, b = 3 → A ≈ 47,12.

Umfang

Im Gegensatz zur Fläche gibt es keinen geschlossenen elementaren Ausdruck für den Umfang. Er wird durch das vollständige elliptische Integral zweiter Art ausgedrückt: P = 4a · E(e). In der Praxis verwendet man Näherungen. Ramanujans zweite Näherung: P ≈ π · (a + b) · [1 + 3h/(10 + √(4 − 3h))], mit h = ((a − b)/(a + b))². Fehler unter 0,0002% für a/b ≤ 10.

Exzentrizität

Die Exzentrizität misst, wie sehr die Ellipse vom Kreis abweicht: e = √(1 − b²/a²) = c/a, mit 0 ≤ e < 1. e = 0 Kreis; e → 1 stark gestreckt. Erdbahn ≈ 0,0167 (fast kreisförmig); Merkur 0,2056; Halleyscher Komet ≈ 0,967.

Brennpunkte und Brennpunktseigenschaft

Die Brennpunkte F₁, F₂ liegen auf der Hauptachse, symmetrisch zum Zentrum, im Abstand c = a · e = √(a² − b²). Bifokale Eigenschaft: für jeden Punkt P der Ellipse gilt |PF₁| + |PF₂| = 2a. Ein Lichtstrahl aus einem Brennpunkt wird an der Ellipse zum anderen Brennpunkt reflektiert — Grundlage von Flüstergewölben und der Stoßwellen-Lithotripsie.

Weitere Parameter

  • Halbparameter ℓ = b²/a, im Zusammenhang mit dem Drehimpuls in Kepler-Bahnen.
  • Leitlinie im Abstand a/e vom Zentrum; Verhältnis (Abstand Brennpunkt / Abstand Leitlinie) = e.
  • Sektorfläche: ½·a·b·θ bei Parametrisierung x = a·cos θ, y = b·sin θ.

Anwendungen

Planetenbahnen (erstes Keplersches Gesetz), elliptische Spiegel, Flüstergalerien, Petersplatz (≈240 × 196 m), unrund Zahnräder, Schiffsrümpfe.

Bedienung

Modi: aus Halbachsen a, b; aus Fläche und einer Halbachse; aus a und Exzentrizität; aus a, b und c. Ergebnisse: Fläche (exakt), Umfang (Ramanujan), Exzentrizität, c, Halbparameter.

Grenzfälle

a = b: Kreis. b → 0: Strecke der Länge 2a (Fläche 0, Umfang 4a, e = 1).

Der Ellipsenumfang und die Ramanujan-Formel

Während die Fläche einer Ellipse die elementare Formel A = πab besitzt, hat der Umfang keine geschlossene Form in elementaren Funktionen: sein exakter Wert ist 4a·E(e), wobei E das vollständige elliptische Integral zweiter Art ist — von diesen Integralen haben die Ellipsen ihren Namen. Daher verwendet man Näherungen. Die berühmteste ist die zweite Formel von Srinivasa Ramanujan (1914): P ≈ π(a+b)·(1 + 3h/(10 + √(4−3h))), mit h = ((a−b)/(a+b))². Ihre Genauigkeit ist bemerkenswert: der relative Fehler bleibt selbst für stark gestreckte Ellipsen unter 10⁻⁵, und sie ist die in diesem Rechner implementierte Formel. Ramanujan, ein autodidaktischer indischer Mathematiker, schuf Tausende solcher Ergebnisse.

Brennpunkte, Exzentrizität und Keplers Bahnen

Eine Ellipse ist der geometrische Ort der Punkte, deren Abstandssumme zu zwei Brennpunkten konstant und gleich 2a ist. Die Brennpunkte liegen bei c = √(a²−b²) vom Zentrum, und die Exzentrizität e = c/a misst die Abplattung: sie ist 0 für einen Kreis (a = b) und strebt gegen 1 für eine immer länglichere Ellipse. Der Latus rectum 2b²/a ist die Sehne durch einen Brennpunkt senkrecht zur Hauptachse. Ellipsen bestimmen den Kosmos: Keplers erstes Gesetz (1609) besagt, dass Planeten auf Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt umlaufen — die Erdbahn hat die Exzentrizität 0,0167, fast kreisförmig, die des Merkur 0,206. In der Akustik reflektieren elliptische "Flüstergalerien" den Schall von einem Brennpunkt zum anderen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man die Fläche einer Ellipse?

Die Fläche ist A = π·a·b, wobei a und b die beiden Halbachsen sind (Hälfte der großen und kleinen Achse). Sie erweitert die Kreisformel: für a = b = r ergibt sich πr². Beispiel: eine Ellipse mit Halbachsen 5 und 3 hat die Fläche π·5·3 ≈ 47,12 Quadrateinheiten.

Warum ist der Ellipsenumfang schwer zu berechnen?

Weil es keine elementare geschlossene Form gibt: der exakte Wert erfordert ein vollständiges elliptisches Integral zweiter Art, 4a·E(e). Daher nutzt man Näherungen. Ramanujans zweite Formel (1914) ist so genau, dass ihr Fehler selbst für stark gestreckte Ellipsen unter 10⁻⁵ bleibt.

Was ist die Exzentrizität einer Ellipse?

Die Exzentrizität e = c/a = √(1 − b²/a²) misst, wie abgeplattet die Ellipse ist. Sie ist 0 für einen perfekten Kreis (a = b) und nähert sich 1 für immer länglichere Ellipsen. Die Erdbahn hat e ≈ 0,0167 (fast kreisförmig), die des Merkur 0,206, Kometen sogar über 0,9.

Was sind die Brennpunkte einer Ellipse?

Die Brennpunkte sind zwei Punkte auf der Hauptachse, im Abstand c = √(a²−b²) vom Zentrum, mit der Eigenschaft, dass die Summe der Abstände von jedem Ellipsenpunkt konstant und gleich 2a ist. Das ist die Definition der Ellipse und das Prinzip der Gärtnermethode mit einer Schnur.

Wie hängen Ellipsen mit Planetenbahnen zusammen?

Keplers erstes Gesetz (1609) besagt, dass jeder Planet eine Ellipse mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte beschreibt. Die Bahnform wird von der Exzentrizität bestimmt: fast alle Planeten haben wenig exzentrische Bahnen, während Kometen und einige Asteroiden sehr längliche Ellipsen verfolgen.

Was ist der Latus rectum?

Der Latus rectum ist die Sehne durch einen Brennpunkt senkrecht zur Hauptachse; seine Länge ist 2b²/a. Der Semi-Latus-rectum b²/a erscheint in der Polargleichung der Bahn und ist ein Schlüsselparameter der Himmelsmechanik zur Beschreibung von Kegelschnitten beliebiger Exzentrizität.

Was ist der Unterschied zwischen Kreis und Ellipse?

Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse, bei dem die beiden Halbachsen gleich sind (a = b), die Exzentrizität 0 ist und die beiden Brennpunkte im Zentrum zusammenfallen. Die allgemeine Ellipse hat verschiedene Halbachsen, zwei getrennte Brennpunkte und eine Exzentrizität zwischen 0 und 1: sie ist einer der vier Kegelschnitte.

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