L'ellisse nella geometria analitica

L'ellisse è il luogo dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi (F₁, F₂), è costante e pari a 2a (lunghezza dell'asse maggiore). In forma canonica con centro nell'origine e assi paralleli agli assi coordinati: (x/a)² + (y/b)² = 1, dove a è il semiasse maggiore e b il semiasse minore (a ≥ b > 0). Quando a = b l'ellisse degenera in una circonferenza di raggio a = b. L'ellisse è una delle tre coniche non degeneri assieme a parabola e iperbole, ottenuta intersecando un cono con un piano non parallelo al suo asse.

Area

L'area racchiusa da un'ellisse si calcola con la formula esatta A = π · a · b. È una generalizzazione della formula dell'area del cerchio (A = π·r² corrisponde al caso a = b = r). La dimostrazione più elegante usa un cambio di coordinate: l'applicazione x' = x/a, y' = y/b trasforma l'ellisse in una circonferenza unitaria, di area π; poiché lo jacobiano della trasformazione inversa è a·b, l'area dell'ellisse è π · a · b. Esempio: ellisse con a = 5 e b = 3 ha area A = π · 5 · 3 ≈ 47,12 unità².

Perimetro (circonferenza)

Il perimetro dell'ellisse, a differenza dell'area, non ha una formula chiusa in termini di funzioni elementari. Si esprime tramite l'integrale ellittico completo del secondo tipo: P = 4a · E(e), dove E(e) è l'integrale ellittico di modulo e (eccentricità). In pratica si usano approssimazioni. La più semplice è P ≈ π · (a + b). Molto più accurata è la seconda approssimazione di Ramanujan: P ≈ π · (a + b) · [1 + 3h / (10 + √(4 − 3h))], con h = ((a − b)/(a + b))². L'errore è inferiore allo 0,0002% per a/b ≤ 10 e inferiore allo 0,02% per a/b ≤ 100.

Eccentricità

L'eccentricità misura quanto l'ellisse si discosta da una circonferenza ed è data da e = √(1 − b²/a²) = c/a, dove c è la distanza dal centro a ciascun fuoco. Vale 0 ≤ e < 1: e = 0 corrisponde a una circonferenza, e → 1 a un'ellisse sempre più allungata (nel limite degenera in un segmento). L'eccentricità terrestre intorno al Sole vale circa 0,0167 (quasi circolare), Mercurio 0,2056, la cometa di Halley circa 0,967 (molto allungata).

Fuochi e proprietà focali

I fuochi F₁ e F₂ sono due punti sull'asse maggiore, simmetrici rispetto al centro, a distanza c = a · e = √(a² − b²). La proprietà bifocale è: per ogni punto P dell'ellisse, |PF₁| + |PF₂| = 2a. Un raggio luminoso uscente da un fuoco viene riflesso dall'ellisse verso l'altro fuoco (proprietà sfruttata in acustica con le gallerie sussurranti e in terapia a onde d'urto, litotripsia). Il latus rectum (corda focale perpendicolare all'asse maggiore) ha lunghezza 2b²/a.

Altri parametri

• Semilato retto ℓ = b²/a, legato al momento angolare nelle orbite kepleriane.
• Distanza direttrice: ciascuna direttrice è una retta a distanza a/e dal centro; per ogni punto dell'ellisse il rapporto fra distanza da un fuoco e distanza dalla direttrice corrispondente è costante e vale e.
• Area settoriale: se x = a·cos(θ), y = b·sin(θ), l'area spazzata dal raggio vettore dal tempo 0 all'angolo θ vale ½·a·b·θ (seconda legge di Keplero modificata).

Esempi applicativi

Le ellissi compaiono in molti contesti: orbite planetarie (prima legge di Keplero: i pianeti si muovono su ellissi con il Sole in un fuoco); ottica (specchi ellissoidali); acustica (gallerie sussurranti del Campidoglio di Washington o del Teatro Olimpico di Vicenza); architettura (Piazza San Pietro a Roma è un'ellisse con Obelisco al centro, 240 m × 196 m); ingegneria (giunti cardanici, ingranaggi non circolari); design (carene di barche a vela).

Come usare il calcolatore

Scegli la modalità in base ai dati disponibili: da semiassi a, b (più comune); da area e un semiasse; da semiasse maggiore ed eccentricità; da semiassi e distanza focale c. Il calcolatore restituisce: area (esatta), perimetro (Ramanujan, ± 0,0002%), eccentricità, distanza focale c, latus rectum e semilato retto. Tutti i valori sono calcolati in unità coerenti (lineari e quadrate). Accetta valori positivi in virgola mobile IEEE-754.

Casi limite

Se a = b l'ellisse è una circonferenza: area π·a², perimetro 2π·a, eccentricità 0, fuochi coincidenti con il centro. Se b → 0 l'ellisse degenera in un segmento lungo 2a (area zero, perimetro 4a), con eccentricità 1. Nel caso fisico limite di ellisse molto allungata (e ≈ 1) le formule restano valide ma l'approssimazione di Ramanujan ha errore minimo a favore di integrali ellittici numerici per massima precisione.

Il perimetro dell'ellisse e la formula di Ramanujan

Mentre l'area di un'ellisse ha la formula elementare A = πab, il perimetro non ammette alcuna espressione chiusa in termini di funzioni elementari: il suo valore esatto è 4a·E(e), dove E è l'integrale ellittico completo di seconda specie — proprio da questi integrali le ellissi prendono il nome. Per questo si usano approssimazioni. La più celebre è la seconda formula di Srinivasa Ramanujan (1914): P ≈ π(a+b)·(1 + 3h/(10 + √(4−3h))), con h = ((a−b)/(a+b))². La sua accuratezza è straordinaria: l'errore relativo resta sotto 10⁻⁵ anche per ellissi molto allungate, ed è la formula implementata in questo calcolatore. Ramanujan, matematico indiano autodidatta, produsse migliaia di risultati di questo tipo, molti dimostrati rigorosamente solo decenni dopo.

Fuochi, eccentricità e le orbite di Keplero

Un'ellisse è il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due fuochi è costante e pari a 2a. I fuochi distano c = √(a²−b²) dal centro, e l'eccentricità e = c/a misura lo schiacciamento: vale 0 per un cerchio (a = b) e tende a 1 per un'ellisse sempre più allungata. Il latus rectum 2b²/a è la corda che passa per un fuoco perpendicolare all'asse maggiore. Le ellissi governano il cosmo: la prima legge di Keplero (1609) afferma che i pianeti orbitano su ellissi con il Sole in un fuoco — l'orbita terrestre ha eccentricità 0,0167, quasi circolare, mentre quella di Mercurio 0,206. Gli studi orbitali dell'INAF usano queste relazioni per pianeti, comete e asteroidi. In acustica, le "gallerie dei sussurri" a pianta ellittica riflettono il suono da un fuoco all'altro.

Aggiornato a luglio 2026