Elastische Potenzielle Energie Rechner: U = ½kx², Hooke, Federn

Berechne elastische potenzielle Energie U = ½·k·x², Hookesche Kraft F = -k·x und die äquivalente Federkonstante in Serie und Parallel. Vier Modi mit Periode.

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Die elastische potenzielle Energie

Die elastische potenzielle Energie ist die in einem verformbaren Körper gespeicherte Energie, wenn er aus der Gleichgewichtslage gedehnt oder gestaucht wird. Der Modellfall ist die ideale Feder, die dem Hookeschen Gesetz gehorcht: die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung x, F = −k·x, wobei k die Federkonstante in N/m ist. Integration ergibt die potenzielle Energie U = ½ · k · x², gemessen in Joule. Die Formel gilt im linear-elastischen Bereich; darüber hinaus verformen sich Materialien plastisch.

Das Hookesche Gesetz

Robert Hooke formulierte 1660 Ut tensio, sic vis — "die Ausdehnung ist proportional zur Kraft": F = −k · x. Das Minuszeichen zeigt an, dass die Rückstellkraft der Auslenkung entgegengesetzt ist. Typische Federkonstanten: Kugelschreiberfeder ~100 N/m; Auto-Stoßdämpfer ~30 000 N/m; Stahlstab 1 m × 1 cm² ~2·10⁷ N/m (E = 200 GPa); Gummiband 10-100 N/m; einzelner DNA-Doppelstrang ~10⁻⁵ N/m.

Herleitung

Die Arbeit zum Verformen der Feder von 0 bis x: Angriffskraft F_an = +k·x, also W = ∫₀^x k·x' dx' = ½kx². Bei Energieerhaltung wird diese Arbeit zur potenziellen Energie. U ist quadratisch: doppelte Auslenkung ergibt vierfache Energie. Beispiel: Feder k = 200 N/m um 0,1 m komprimiert → U = 1 J, genug um 1 kg auf v = 1,41 m/s zu beschleunigen.

Federkombinationen

Federn in Serie (hintereinander): gleiche Kraft, Auslenkungen addieren sich → 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂ + .... Zwei gleiche Federn: k/2. Federn parallel (nebeneinander): gleiche Auslenkung, Kräfte addieren sich → k_eq = k₁ + k₂ + .... Zwei gleiche: 2k. Die Analogie zu Kondensatoren ist invertiert: Kondensatoren in Serie verhalten sich wie Federn parallel.

Harmonische Schwingung

Eine Masse m an Feder k führt einfache harmonische Schwingung aus: x(t) = A·cos(ωt + φ) mit Kreisfrequenz ω = √(k/m), Periode T = 2π·√(m/k), Frequenz f = (1/2π)·√(k/m). Die Gesamtenergie E = ½kA² bleibt erhalten und pendelt zwischen kinetischer ½mv² und potenzieller ½kx². Beispiel: m = 1 kg, k = 100 N/m → ω = 10 rad/s, T ≈ 0,628 s. Die Periode ist amplitudenunabhängig (Isochronie).

Reale Materialien jenseits Hooke

Hooke gilt nur für kleine Auslenkungen im linear-elastischen Bereich. Reale Materialien zeigen: Elastizitätsgrenze (darüber plastische Verformung); Bruchgrenze; Hysterese (Be- und Entladekurven unterscheiden sich, Energie wird als Wärme dissipiert); Nichtlinearität (Gummibänder J-förmig, Stähle mit Kaltverfestigung). Für biologische Elastika (Sehnen, Haut) werden Exponentialfunktionen verwendet. U = ½kx² bleibt eine gute lokale Näherung nahe der Gleichgewichtslage.

Elastizitätsmodul und Stäbe

Für einen Stab mit Querschnitt A, Länge L und Elastizitätsmodul E (Pa): k = E·A/L. Energiedichte u = ½·E·ε² mit Dehnung ε = x/L. Typische Werte: Stahl 200 GPa, Aluminium 70 GPa, Kupfer 130 GPa, Glas 70 GPa, Knochen 15 GPa, Holz (längs) 10 GPa, Gummi 0,01-0,1 GPa.

Bedienung

Vier Modi: aus k und x (Federkonstante + Auslenkung → U, Hooke-Kraft); aus k und F (→ x, U); Serie (kommagetrennte k-Liste → k_eq); Parallel (→ k_eq). SI-Einheiten.

Anwendungen

Fahrzeug-Stoßdämpfer (Feder + Dämpfer), Bahnfedern, Matratzen, Bogen, Katapulte, Saiteninstrumente, Federwaagen, Tastaturen, mechanische Energiespeicher (Uhrwerke, Schleudern), Biologie (Sehnen als biologische Federn, DNA-Elastizität), MEMS-Kraftsensoren, Atommodelle (interatomare Kräfte als Federn — Grundlage der Phononentheorie).

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man die elastische potenzielle Energie einer Feder?

Mit der Formel U = ½kx², wobei k die Federkonstante in N/m und x die Auslenkung in Metern aus der Ruhelage ist. Eine Feder mit k = 200 N/m, um 10 cm zusammengedrückt, speichert U = ½·200·0,01 = 1 J. Die Energie wächst quadratisch: doppelte Auslenkung bedeutet vierfache Energie.

Was besagt das Hookesche Gesetz und wann gilt es nicht mehr?

Das Hookesche Gesetz, F = −kx, besagt, dass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist. Es gilt nur innerhalb der Elastizitätsgrenze des Materials: Darüber hinaus verformt sich die Feder dauerhaft und der Zusammenhang wird nichtlinear. Hersteller geben diese Grenze als maximalen Federweg an.

Warum steht der Faktor ½ in der Energieformel?

Weil die Kraft während der Verformung nicht konstant ist: Sie wächst linear von 0 auf kx. Die Energie ist das Integral der Kraft über den Weg — die Dreiecksfläche unter der Geraden F = kx, also ½·kx·x = ½kx². Bei konstanter Kraft wäre die Energie einfach das Produkt F·x.

Was unterscheidet Federn in Reihe von Federn parallel?

Parallel addieren sich die Konstanten (keq = k₁+k₂+…), das System wird steifer. In Reihe addieren sich die Kehrwerte (1/keq = 1/k₁+1/k₂+…), das System wird weicher als die schwächste Feder. Der Rechner unterstützt beide Anordnungen mit beliebig vielen Federn.

Wie bestimmt man die Auslenkung aus einer bekannten Kraft?

Über das Hookesche Gesetz: x = F/k. Der Rechner nutzt diese Beziehung im Kraftmodus: Aus F und k ergeben sich die Auslenkung und die gespeicherte Energie U = F²/(2k). Zum Beispiel erzeugen 50 N an einer Feder mit 500 N/m eine Auslenkung von 10 cm und eine Energie von 2,5 J.

Wie hängen elastische Energie und Schwingungen zusammen?

Hängt man eine Masse m an die Feder, schwingt das System mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m), der Periode T = 2π√(m/k) und der Frequenz f = ω/2π. Die Energie wandelt sich dabei ständig zwischen elastischer und kinetischer Form; ohne Reibung bleibt die Summe ½kA² erhalten.

In welchen Einheiten werden k, x und die Energie angegeben?

Im SI-System steht die Federkonstante k in Newton pro Meter (N/m), die Auslenkung x in Metern und die Energie in Joule (1 J = 1 N·m). Vorsicht bei Zentimetern: 5 cm müssen vor der Rechnung in 0,05 m umgerechnet werden, sonst ist die Energie um den Faktor 10 000 falsch, da x quadriert wird.

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