Kreuzprodukt Rechner: A×B, Parallelogrammfläche, Volumen

Berechne das 3D Kreuzprodukt A × B mit Betrag |A||B|sin(θ), Parallelogrammfläche und Parallelepiped-Volumen über Spatprodukt. Vier nützliche Rechenmodi.

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Das Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) zweier Vektoren A und B in ℝ³ ist ein dritter Vektor A × B, der senkrecht zu beiden A und B steht, mit Richtung nach der Rechte-Hand-Regel und Betrag |A × B| = |A| · |B| · sin(θ), wobei θ der Winkel zwischen A und B ist. Im Gegensatz zum Skalarprodukt (Zahl) liefert das Kreuzprodukt einen Vektor. Nur in 3D definiert (und Sonderfall in 7D); Verallgemeinerungen benötigen das äußere Produkt (Dachprodukt).

Komponentenformel

Für A = (a_x, a_y, a_z) und B = (b_x, b_y, b_z): A × B = (a_y·b_z − a_z·b_y, a_z·b_x − a_x·b_z, a_x·b_y − a_y·b_x). Merkregel: formale 3×3-Determinante mit Basis ijk in der ersten Zeile. Beispiel: A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6) → A × B = (2·6 − 3·5, 3·4 − 1·6, 1·5 − 2·4) = (−3, 6, −3). Prüfung: senkrecht zu A und B (Skalarprodukt = 0). ✓

Geometrische Deutung

Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Parallelogrammfläche, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird: |A × B| = |A|·|B|·sin(θ). Parallele Vektoren (θ = 0° oder 180°) haben Kreuzprodukt null (Fläche null). Orthogonale Vektoren (θ = 90°) liefern den maximalen Betrag |A|·|B|. Die Richtung steht senkrecht auf der (A, B)-Ebene, die Orientierung folgt der Rechte-Hand-Regel: Zeigefinger entlang A, Mittelfinger entlang B, Daumen zeigt entlang A × B.

Algebraische Eigenschaften

  • Antikommutativ: A × B = −B × A (Reihenfolge tauschen → Richtung umkehren).
  • Distributiv: A × (B + C) = A × B + A × C.
  • Nicht assoziativ: (A × B) × C ≠ A × (B × C) im Allgemeinen.
  • Jacobi-Identität: A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0.
  • BAC-CAB-Regel: A × (B × C) = B(A·C) − C(A·B).
  • A × A = 0 für jedes A.

Spatprodukt und Volumen

Das Spatprodukt (oder dreifaches Skalarprodukt) A · (B × C) ist ein Skalar, der gleich der Determinante der 3×3-Matrix mit A, B, C als Zeilen ist. Sein Absolutwert ist das Volumen des Parallelepipeds, das die drei Vektoren aufspannen: V = |A · (B × C)|. Ist das Spatprodukt null, sind die drei Vektoren komplanar (linear abhängig). Das Vorzeichen zeigt die Orientierung (rechtshändig bei positiv). Zyklisch: A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B).

Physikalische Anwendungen

Das Kreuzprodukt beschreibt viele physikalische Größen mit senkrechter Richtung: Drehimpuls L = r × p; Drehmoment τ = r × F; Lorentzkraft F = q·v × B (geladenes Teilchen im Magnetfeld); Poynting-Vektor S = E × H (EM-Energiefluss); Drehgeschwindigkeit v = ω × r; Corioliskraft a_C = −2·ω × v. Die Rechte-Hand-Regel ist allgegenwärtig im Elektromagnetismus und in der Rotationsmechanik.

Grafik und Ingenieurwesen

In der 3D-Computergrafik: Berechnung von Oberflächennormalen (N = (V₂−V₁) × (V₃−V₁) für ein Dreieck), Grundlage für Beleuchtung und Backface-Culling; Aufbau lokaler Koordinatensysteme (Tangente-Bitangente-Normale für Normal-Mapping). In der Robotik: Berechnung von Gelenken artikulierter Roboter (inverse Kinematik). In der Navigation: Normalen zu Orbitalebenen. In CAD: Flächen von Polygon-Flächen, Tetraedervolumen (ein Sechstel des Spatprodukts).

2D- und 7D-Varianten

In 2D reduziert sich das Kreuzprodukt auf einen Skalar, der die z-Komponente des 3D-Vektors darstellt, wenn die 2D-Vektoren in die xy-Ebene eingebettet sind: A × B = a_x·b_y − a_y·b_x. Nützlich für Dreiecksflächen, Polygon-Orientierung und Links-Rechts-Tests. In 7D existiert ein weiteres Vektorprodukt über Oktonionen. In anderen Dimensionen als 3 und 7 gibt es kein bilineares Kreuzprodukt; stattdessen das äußere Produkt, das einen Bivektor liefert.

Bedienung

Vier Modi: Kreuzprodukt (A, B 3D → A×B, |A×B|, Winkel, Parallelogrammfläche); Spatprodukt (A, B, C → A·(B×C), Parallelepiped-Volumen); Parallelogrammfläche (A, B → Fläche, Diagonalen); Tetraedervolumen (A, B, C → V = |A·(B×C)|/6). Vektoren als kommagetrennte Listen mit 3 Komponenten eingeben. Der Rechner markiert parallele Vektoren (Kreuzprodukt null) oder komplanare Vektoren (Spatprodukt null).

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Kreuzprodukt?

Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) A × B zweier dreidimensionaler Vektoren ist ein dritter, zu beiden senkrechter Vektor. Anders als das Skalarprodukt, das eine Zahl liefert, ist das Ergebnis ein Vektor. Sein Betrag ist |A||B|sin θ und seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel.

Wie berechnet man das Kreuzprodukt?

Komponentenweise: A × B = (a_y·b_z − a_z·b_y, a_z·b_x − a_x·b_z, a_x·b_y − a_y·b_x). Zum Beispiel (1,0,0) × (0,1,0) = (0,0,1). Jede Komponente des Ergebnisses stammt aus einer 2×2-Determinante der beiden anderen Koordinaten, gemäß dem zyklischen Schema x→y→z.

Was bedeutet der Betrag des Kreuzprodukts?

Der Betrag |A × B| = |A||B|sin θ ist genau die Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Die Hälfte davon, |A × B|/2, ist die Fläche des entsprechenden Dreiecks. Damit ist das Kreuzprodukt ein direktes Werkzeug zur Flächenberechnung in der dreidimensionalen Geometrie.

Wie bestimmt man die Richtung mit der Rechte-Hand-Regel?

Man richtet die Finger der rechten Hand in Richtung des ersten Vektors A und krümmt sie zum zweiten B: der Daumen zeigt die Richtung von A × B. Das Ergebnis steht stets senkrecht auf der Ebene, die A und B enthält. Bei Vertauschung der Reihenfolge (B × A) kehrt sich die Richtung um.

Was ist der Unterschied zum Skalarprodukt?

Das Skalarprodukt A·B liefert eine Zahl und misst die Ausrichtung (cos θ); das Kreuzprodukt A × B liefert einen senkrechten Vektor und misst die Fläche (sin θ). Das Skalarprodukt existiert in jeder Dimension, das Kreuzprodukt nur in 3D. Eines ist maximal bei parallelen, das andere bei senkrechten Vektoren.

Was ist das Spatprodukt?

Das Spatprodukt A·(B × C) ist ein Skalar, der das Volumen des aus den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds angibt. Ein Sechstel dieses Volumens ist das des Tetraeders. Ist das Spatprodukt null, sind die drei Vektoren komplanar. Das Vorzeichen gibt die Orientierung (rechts- oder linkshändig) des Tripels an.

Wofür wird das Kreuzprodukt verwendet?

Es dient in der Physik für das Drehmoment (τ = r × F), den Drehimpuls (L = r × p) und die Lorentzkraft (F = qv × B); in der Geometrie für Flächen und Volumina; in der Computergrafik zur Berechnung von Oberflächennormalen, die für die 3D-Beleuchtung wesentlich sind.

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