Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores A y B en ℝ³ es un tercer vector A × B perpendicular a ambos, con dirección regla de la mano derecha y módulo |A × B| = |A|·|B|·sin(θ). Devuelve un vector (no escalar). Solo definido en 3D (y caso especial en 7D).

Fórmula

A × B = (a_y·b_z − a_z·b_y, a_z·b_x − a_x·b_z, a_x·b_y − a_y·b_x). Ejemplo: A = (1,2,3), B = (4,5,6) → (−3, 6, −3). Verificación: ⊥ A y ⊥ B (producto escalar = 0).

Interpretación geométrica

|A × B| = área del paralelogramo. Paralelos: producto cero. Ortogonales: módulo máximo |A|·|B|.

Propiedades

• Anticonmutativo: A × B = −B × A.
• Distributivo: A × (B+C) = A×B + A×C.
• No asociativo.
• Jacobi: A×(B×C) + B×(C×A) + C×(A×B) = 0.
• BAC-CAB: A×(B×C) = B(A·C) − C(A·B).
• A × A = 0.

Producto mixto y volumen

A · (B × C) = det matriz [A; B; C]. Volumen paralelepípedo = |A·(B×C)|. Cero → coplanarios. Cíclico: A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B).

Aplicaciones físicas

Momento angular L = r×p, par τ = r×F, fuerza de Lorentz F = qv×B, vector de Poynting S = E×H, velocidad rotacional v = ω×r, Coriolis a = −2ω×v.

Aplicaciones gráficas

3D rendering: normales de superficie, iluminación, backface culling. Robótica: cinemática inversa. CAD: áreas de polígonos, volumen de tetraedros (1/6 del producto mixto).

Variante 2D

A × B = a_x·b_y − a_y·b_x (escalar). Útil para áreas de triángulos, orientación polígonos, test izquierda/derecha.

Cómo usar

Cuatro modos: producto vectorial, producto mixto, área paralelogramo, volumen tetraedro. Vectores 3D separados por coma.

Ejemplo numérico

Con A = (1,2,3) y B = (4,5,6): A × B = (2·6−3·5, 3·4−1·6, 1·5−2·4) = (−3, 6, −3). Módulo = √(9+36+9) ≈ 7,348. Como A·(A×B) = 1·(−3)+2·6+3·(−3) = 0 y B·(A×B) = 0, el vector resultante es ortogonal a ambos. El área del paralelogramo formado por A y B vale 7,348 unidades², mientras que el ángulo entre A y B se obtiene de sin(θ) = |A×B|/(|A||B|) = 7,348/(3,742·8,775) ≈ 0,2236, θ ≈ 12,93°.

Regla de la mano derecha

Orientación destrorsa: pulgar, índice, medio en los ejes x, y, z. El signo del resultado detecta sistemas de coordenadas izquierda/derecha; fundamental en gráficos 3D, física e ingeniería.

Producto vectorial y la regla de la mano derecha

El producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores A y B es un tercer vector, a diferencia del producto escalar que da un número. Su resultado es perpendicular a ambos vectores de partida, y su dirección se determina con la regla de la mano derecha: apuntando los dedos de A hacia B, el pulgar indica el sentido de A × B. El módulo vale |A × B| = |A|·|B|·sin θ, donde θ es el ángulo entre los vectores. De aquí siguen dos propiedades clave: el producto vectorial es nulo cuando los vectores son paralelos (sin 0 = 0) y máximo cuando son perpendiculares. Es además anticonmutativo: A × B = −(B × A), es decir invertir el orden invierte el sentido del resultado. A diferencia del producto escalar, definido en cualquier dimensión, el producto vectorial existe solo en tres dimensiones (y de forma especial en siete).

Significado geométrico y aplicaciones

El módulo del producto vectorial |A × B| es exactamente el área del paralelogramo definido por los dos vectores, y su mitad el área del triángulo correspondiente. El producto mixto A·(B × C) da el volumen del paralelepípedo formado por tres vectores, y su sexta parte el volumen del tetraedro; si vale cero, los tres vectores son coplanares. El producto vectorial es fundamental en física: el momento de torsión es τ = r × F, el momento angular L = r × p, y la fuerza de Lorentz sobre una carga en un campo magnético es F = q·v × B, siempre perpendicular a la velocidad. En gráficos por ordenador se usa para calcular las normales a las superficies, indispensables para la iluminación y el sombreado en 3D. Es una herramienta imprescindible en mecánica, electromagnetismo e ingeniería.

Actualizado a julio de 2026