Komplexe-Zahlen-Rechner: Arithmetik, Polar, De Moivre

Komplexe Zahlen-Arithmetik a+bi, Polarform r·e^(iθ), De-Moivre-Potenzen und n-te Wurzeln. Vier Modi für komplexe Mathematik mit Beispielen und Anwendungen.

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Komplexe Zahlen: Erweiterung der reellen Zahlen

Eine komplexe Zahl ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen, geschrieben z = a + bi, wobei a = Re(z) der Realteil, b = Im(z) der Imaginärteil und i die imaginäre Einheit mit i² = −1 ist. Die Menge ℂ erweitert die reellen Zahlen ℝ, sodass jede Polynomgleichung lösbar ist (Fundamentalsatz der Algebra, Gauß 1799). Jedes z ∈ ℂ kann als Punkt (a, b) in der Argand-Gauß-Ebene dargestellt werden; reelle Zahlen liegen auf der horizontalen Achse, rein imaginäre auf der vertikalen.

Komplexe Arithmetik

Summe: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. Produkt: (a+bi)·(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. Division (durch Konjugieren): (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²). Konjugierte: z̄ = a − bi; Eigenschaft: z·z̄ = a² + b² = |z|². Betrag: |z| = √(a² + b²). Argument: arg(z) = atan2(b, a) ∈ (−π, π].

Polar- und Exponentialform

Jede komplexe Zahl ungleich null kann als z = r·(cos θ + i·sin θ) = r·e^(iθ) geschrieben werden, wobei r = |z| und θ = arg(z). Eulers berühmte Formel e^(iπ) + 1 = 0 verbindet fünf fundamentale Konstanten. Die Polarform vereinfacht Multiplikationen und Potenzen: z₁·z₂ = r₁·r₂·e^(i(θ₁+θ₂)) (Beträge multiplizieren, Argumente addieren); z₁/z₂ = (r₁/r₂)·e^(i(θ₁−θ₂)).

Satz von De Moivre

Für jede ganze Zahl n: z^n = r^n·e^(inθ) = r^n·(cos nθ + i·sin nθ). Mächtiges Werkzeug zur Berechnung hoher Potenzen ohne Ausmultiplizieren. Beispiel: (1 + i)^10 = ? r = √2, θ = π/4. z^10 = (√2)^10·e^(i·10π/4) = 32·e^(i·5π/2) = 32·e^(i·π/2) = 32·i. Überprüfbar: ((1+i)²)^5 = (2i)^5 = 32·i^5 = 32i. ✓

n-te Wurzeln

Eine komplexe Zahl z = r·e^(iθ) ≠ 0 hat genau n verschiedene n-te Wurzeln: w_k = r^(1/n)·e^(i(θ + 2πk)/n), für k = 0, 1, ..., n−1. Sie liegen auf einem Kreis mit Radius r^(1/n) an den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks. Beispiel: die 3 kubischen Wurzeln von 1: w_0 = 1, w_1 = −1/2 + (√3/2)i, w_2 = −1/2 − (√3/2)i. Die n-ten Einheitswurzeln w_k = e^(2πik/n) bilden eine zyklische Gruppe, fundamental in Gruppentheorie und diskreten Fourier-Transformationen.

Anwendungen

Elektrotechnik (Impedanzen Z = R + iωL − i/(ωC) in Wechselstrom, RLC-Schaltungsanalyse); Quantenphysik (Wellenfunktion ψ ∈ ℂ, hermitesche Operatoren, Pauli-Matrizen); Signalverarbeitung (Fourier-Transformation: komplexes Spektrum); Signaltheorie (Phasoren, AM/FM-Modulation); Regelungstechnik (Wurzelortskurve, Nyquist-, Bode-Diagramme); Aerodynamik (konforme Potentialfunktion, Joukowski); Geometrie (Möbius-Transformationen, hyperbolische Geometrie); Fraktale (Mandelbrot z_{n+1} = z_n² + c, Julia-Mengen); Kryptographie (Algorithmen über elliptischen Kurven auf komplexen endlichen Körpern).

Anwendung

Modus wählen: Arithmetik (z₁, z₂ → Summe, Differenz, Produkt, Quotient), Polar (a+bi → r, θ in Grad und Radianten, umgekehrt), De Moivre (z, n → z^n), Wurzeln (z, n → n n-te Wurzeln). Real- und Imaginärteile als Dezimalzahlen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Wie multipliziert man zwei komplexe Zahlen?

In algebraischer Form (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i, wobei i² = −1 gilt. In Polarform ist es noch einfacher: Man multipliziert die Beträge und addiert die Argumente. Zum Beispiel (1+i)(2+3i) = 2+3i+2i+3i² = −1+5i. Der Rechner liefert beide Darstellungen des Ergebnisses.

Wie dividiert man durch eine komplexe Zahl?

Indem man Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners multipliziert: (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²). Die Division ist für jeden Nenner ungleich null definiert; bei c²+d² = 0 meldet der Rechner, dass die Operation nicht definiert ist, statt ein falsches Ergebnis zu liefern.

Was sind Betrag und Argument einer komplexen Zahl?

Der Betrag |z| = √(a²+b²) ist der Abstand vom Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene; das Argument θ = atan2(b,a) ist der Winkel zur positiven reellen Achse im Intervall (−π, π]. Zusammen ergeben sie die Polarform z = r(cosθ + i·sinθ) = r·e^(iθ), die der Rechner im Polarmodus anzeigt.

Wozu dient die Formel von De Moivre?

Sie berechnet Potenzen ohne Ausmultiplizieren: zⁿ = rⁿ(cos nθ + i·sin nθ). Für (1+i) hoch zehn braucht man nur r = √2, also r¹⁰ = 32, und θ = 45°, also 450°: Das Ergebnis ist 32i. Die Formel gilt auch für negative Exponenten, die der Rechner akzeptiert.

Wie viele n-te Wurzeln hat eine komplexe Zahl?

Genau n, alle mit demselben Betrag r^(1/n) und den Argumenten (θ+2πk)/n für k = 0…n−1: In der komplexen Ebene bilden sie die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks mit Zentrum im Ursprung. Der Rechner listet sie alle auf, bis n = 32, im Modus n-te Wurzeln.

Was ist die Konjugierte und wozu dient sie?

Die Konjugierte von z = a+bi ist z̄ = a−bi, das Spiegelbild an der reellen Achse. Sie rationalisiert Divisionen und erfüllt z·z̄ = |z|² — eine Eigenschaft, die überall genutzt wird: von Wahrscheinlichkeitsamplituden der Quantenmechanik bis zu Filtern der digitalen Signalverarbeitung.

Wo werden komplexe Zahlen praktisch eingesetzt?

In der Elektrotechnik für Wechselstrom-Impedanzen (Z = R + iX), in der Signalverarbeitung über die Fourier-Transformation, in der Quantenmechanik, wo Wellenfunktionen komplex sind, und in der Strömungsdynamik. Auch Fraktale wie die Mandelbrot-Menge entstehen aus komplexen Iterationen z → z² + c.

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