Calculateur Nombres Complexes : arithmétique, polaire, De Moivre

Arithmétique nombres complexes a+bi, conversion forme polaire r·e^(iθ), puissances de De Moivre et racines n-ièmes. Quatre modes de mathématiques complexes.

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Nombres complexes : extension des réels

Un nombre complexe est un couple ordonné de réels écrit z = a + bi, où a = Re(z) est la partie réelle, b = Im(z) la partie imaginaire, et i l'unité imaginaire avec i² = −1. ℂ étend les réels ℝ permettant de résoudre toute équation polynomiale (théorème fondamental de l'algèbre, Gauss 1799). Chaque z ∈ ℂ se représente comme point (a, b) dans le plan d'Argand-Gauss.

Arithmétique complexe

Somme : (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. Produit : (a+bi)·(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i. Division (par conjugué) : (a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²). Conjugué : z̄=a−bi ; z·z̄=|z|². Module : |z|=√(a²+b²). Argument : arg(z)=atan2(b,a) ∈ (−π, π].

Forme polaire et exponentielle

z = r·(cos θ + i·sin θ) = r·e^(iθ). Formule d'Euler e^(iπ)+1=0. Multiplication : z₁·z₂=r₁·r₂·e^(i(θ₁+θ₂)) ; division : z₁/z₂=(r₁/r₂)·e^(i(θ₁−θ₂)).

Théorème de De Moivre

z^n = r^n·e^(inθ) = r^n·(cos nθ + i·sin nθ). Puissant pour puissances élevées. (1+i)^10 : r=√2, θ=π/4 → z^10=(√2)^10·e^(i·10π/4)=32·e^(iπ/2)=32i.

Racines n-ièmes

z=r·e^(iθ) a n racines : w_k=r^(1/n)·e^(i(θ+2πk)/n), k=0..n−1. Équidistantes sur cercle de rayon r^(1/n), sommets d'un n-gone régulier. Racines cubiques de 1 : 1, −1/2+(√3/2)i, −1/2−(√3/2)i. Racines n-ièmes de l'unité e^(2πik/n) forment groupe cyclique.

Applications

Électrotechnique (impédance Z=R+iωL−i/(ωC)) ; physique quantique (fonction d'onde) ; traitement du signal (Fourier) ; ingénierie de contrôle (Nyquist, Bode) ; aérodynamique (Joukowski) ; géométrie (transformations de Möbius) ; fractales (Mandelbrot, Julia) ; cryptographie (courbes elliptiques).

Utilisation

Mode : Arithmétique (z₁, z₂), Polaire (a+bi ↔ r, θ), De Moivre (z, n), Racines (z, n). Valeurs décimales.

Exemple numérique

z = 3 + 4i : |z| = √(9+16) = 5, arg(z) = atan2(4,3) ≈ 53,13° (0,9273 rad). Forme polaire : z = 5·e^(i·0,9273). Conjugué z̄ = 3−4i, z·z̄ = 25. Carré : z² = (3+4i)² = 9 + 24i + 16i² = −7 + 24i. Inverse : 1/z = (3−4i)/25 = 0,12 − 0,16i. Racine carrée : √5·e^(i·0,4636) ≈ 2 + i.

Brève histoire : de Cardan à Euler et Gauss

Les nombres complexes sont nés dans l'Italie du XVIe siècle : Jérôme Cardan les rencontra en 1545 en résolvant les équations cubiques dans son Ars Magna, et Rafael Bombelli donna en 1572 les premières règles de calcul cohérentes. Ce n'est qu'avec Euler, qui introduisit le symbole i en 1777, et avec Gauss, qui leur donna une interprétation géométrique sur le plan qui porte aujourd'hui son nom, qu'ils devinrent citoyens à part entière des mathématiques. La relation d'Euler e^(iθ) = cosθ + i·sinθ produit, pour θ = π, l'identité e^(iπ) + 1 = 0.

Applications : des circuits à la quantique

En électrotechnique, l'impédance d'un circuit en courant alternatif est un nombre complexe Z = R + iX qui unifie résistance et réactance. En traitement du signal, la transformée de Fourier décompose tout signal en exponentielles complexes et fonde MP3, JPEG et les télécommunications. En mécanique quantique, les amplitudes de probabilité sont intrinsèquement complexes : le module au carré |ψ|² donne la probabilité observable.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Comment multiplie-t-on deux nombres complexes ?

Sous forme algébrique (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i, en se rappelant que i² = −1. Sous forme polaire c'est encore plus simple : on multiplie les modules et on additionne les arguments. Par exemple (1+i)(2+3i) = 2+3i+2i+3i² = −1+5i. Le calculateur fournit les deux représentations du résultat.

Comment divise-t-on par un nombre complexe ?

En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²). La division est définie pour tout dénominateur non nul ; si c²+d² = 0, le calculateur signale que l'opération n'est pas définie au lieu de donner un résultat faux.

Que sont le module et l'argument d'un nombre complexe ?

Le module |z| = √(a²+b²) est la distance à l'origine dans le plan complexe ; l'argument θ = atan2(b,a) est l'angle par rapport à l'axe réel positif, dans l'intervalle (−π, π]. Ensemble ils donnent la forme polaire z = r(cosθ + i·sinθ) = r·e^(iθ), affichée par le calculateur en mode polaire.

À quoi sert la formule de De Moivre ?

Elle calcule les puissances sans développer les produits : zⁿ = rⁿ(cos nθ + i·sin nθ). Élever (1+i) à la puissance dix ne demande que r = √2, d'où r¹⁰ = 32, et θ = 45°, d'où 450° : le résultat est 32i. La formule vaut aussi pour les exposants négatifs, que le calculateur accepte.

Combien de racines n-ièmes possède un nombre complexe ?

Exactement n, toutes de même module r^(1/n) et d'arguments (θ+2πk)/n pour k = 0…n−1 : dans le plan complexe elles forment les sommets d'un polygone régulier à n côtés centré à l'origine. Le calculateur les énumère toutes, jusqu'à n = 32, dans le mode racines n-ièmes.

Qu'est-ce que le conjugué et à quoi sert-il ?

Le conjugué de z = a+bi est z̄ = a−bi, le symétrique par rapport à l'axe réel. Il sert à rationaliser les divisions et vérifie z·z̄ = |z|², propriété utilisée partout : des amplitudes de probabilité en mécanique quantique aux filtres du traitement numérique du signal.

Où utilise-t-on les nombres complexes en pratique ?

En électrotechnique pour les impédances en courant alternatif (Z = R + iX), en traitement du signal via la transformée de Fourier, en mécanique quantique où les fonctions d'onde sont complexes, et en dynamique des fluides. Les fractales comme l'ensemble de Mandelbrot naissent d'itérations complexes z → z² + c.

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