Calculatrice Distribution Gamma (k, theta, Erlang, PDF, CDF)

Calculatrice distribution Gamma(k, theta): PDF, CDF, survie, moments, distribution Erlang pour processus Poisson, gamma incomplete regularise normalise.

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Distribution Gamma: définition

Continue deux paramètres (k forme, theta échelle) pour variables non negatives. Generalise exponentielle (k=1), chi-deux (k=nu/2, theta=2), Erlang (k entier).

PDF: f(x) = x^(k-1) exp(-x/theta) / (theta^k Gamma(k)).

CDF: F(x) = P(k, x/theta) gamma incomplet regularise.

Survie: S(x) = Q(k, x/theta).

Exemple numérique

Gamma(2, 1): moyenne=2, var=2. P(X<=1) = 26.42 %. P(X<=2) = 59.40 %. Mediane ~ 1.678.

Forme et échelle

  • k < 1: PDF decroissante singularite a 0.
  • k = 1: exponentielle.
  • k > 1: cloche asymetrique.
  • k grand: tend vers normale.

Moments

  • Moyenne: k theta.
  • Variance: k theta^2.
  • Ecart-type: theta sqrt(k).
  • Mode: (k-1)theta pour k >= 1.
  • Asymetrie: 2/sqrt(k).
  • Kurtosis (exces): 6/k.

Cas particuliers

  • Exp(lambda) = Gamma(1, 1/lambda).
  • Erlang(k entier, lambda).
  • Chi^2(nu) = Gamma(nu/2, 2).
  • Maxwell-Boltzmann: k = 3/2.

Erlang et Poisson

Erlang(k, lambda) = temps k-ieme événement Poisson(lambda). Somme k exponentielles iid. P(T_k > x) = sum e^(-lambda x)(lambda x)^j/j!. Files M/E/1.

Estimation

MdM: theta = var/moy, k = moy^2/var. MLE: équation implicite digamma.

Connexions

  • Somme Gamma(k_i, theta) -> Gamma(sum k_i, theta).
  • Échelle c X ~ Gamma(k, c theta).
  • Inverse 1/X ~ Inverse-Gamma.
  • Beta X/(X+Y) ~ Beta(k1, k2).
  • F: rapport chi-deux.
  • Normale limite k grand.

Gamma incomplete

P(s, y) = gamma_inc(s, y)/Gamma(s). Series pour y = s+1. s entier: forme fermee Poisson somme.

Applications

  • Fiabilite multi-mode.
  • Files Erlang.
  • Bayesien Poisson conjuguee.
  • Chi-deux tests.
  • Hydrologie.
  • Assurance.
  • Biomedicale vie.
  • Telecom multi-saut.

Bayesien conjuguee

Y ~ Poisson(lambda), prior Gamma(alpha, beta) -> posterior Gamma(alpha+sum y, beta+n). Moyenne posterior (alpha+s)/(beta+n).

Histoire

Pearson (1893-1900) système courbes. Erlang (1909) trafic telephonique. Helmert (1875) chi-deux. Pearson (1900) test. Wilson-Hilferty (1931) racine cubique.

Modes calculatrice

Cinq: PDF, CDF, survie, moments, Erlang Poisson. Algorithme Numerical Recipes.

Temps d'attente, le processus de Poisson et la theorie des files

La distribution gamma a une interpretation vivante des que des evenements surviennent au hasard a un taux moyen constant, la situation decrite par le processus de Poisson. Si les evenements individuels sont espaces par des intervalles exponentiels independants, alors le temps jusqu'au k-ieme evenement est la somme de k de ces intervalles, et cette somme suit une distribution gamma de forme entiere k, le cas special appele distribution d'Erlang. Le parametre d'echelle est l'espacement moyen entre evenements, donc le temps d'attente attendu pour k arrivees est simplement k fois cet espacement.

Ce n'est pas une curiosite abstraite : c'est l'origine de la renommee technique de la distribution. Agner Krarup Erlang deduisit le cas entier en 1909 pour modeliser le trafic telephonique au central de Copenhague, en demandant combien de temps attendent les appelants et combien de lignes un standard necessite. Son travail fonda la theorie des files, et la meme mathematique dimensionne aujourd'hui les centres d'appels, les reseaux informatiques, les urgences hospitalieres et les fermes de serveurs. Partout ou un systeme doit accomplir plusieurs etapes aleatoires, ou accumuler plusieurs arrivees aleatoires, la distribution gamma donne la probabilite que le temps total reste dans un budget, ce qui est exactement ce que rapporte le mode Erlang de la calculatrice.

Pourquoi la gamma est si polyvalente : forme, echelle et comportement limite

Deux parametres donnent a la distribution gamma une flexibilite remarquable pour modeliser des donnees positives et asymetriques a droite. Le parametre d'echelle theta etire simplement l'axe horizontal, tandis que le parametre de forme k change entierement le caractere de la courbe. Pour k inferieur a un la densite diverge en zero et decroit vite, evoquant une forte concentration pres de l'origine. A k egal a un elle devient l'exponentielle sans memoire. Pour k superieur a un elle est unimodale et asymetrique, avec un pic en (k-1) fois theta, et a mesure que k croit l'asymetrie, qui vaut deux sur la racine carree de k, decroit regulierement.

Ce dernier fait pointe vers une propriete profonde : a mesure que le parametre de forme devient grand, la distribution gamma approche une normale. C'est le theoreme central limite a l'oeuvre, car une gamma de grand k entier est une somme de nombreuses exponentielles independantes. La transformation de Wilson-Hilferty exploite exactement cela, envoyant une gamma vers une normale approchee par un changement de variable en racine cubique. Entre le pic aigu des petits k et la cloche presque symetrique des grands k s'etend un continuum qui ajuste des cumuls de pluie, des montants de sinistres d'assurance, des durees de service et la variabilite de mesures biologiques, ce qui fait de la gamma un cheval de bataille de la statistique appliquee.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la distribution gamma ?

C'est une distribution continue a deux parametres, forme k > 0 et echelle theta > 0, definie pour x >= 0. Sa densite est f(x) = x^(k-1) e^(-x/theta) / (theta^k Gamma(k)). Elle generalise l'exponentielle (k=1), la khi-deux (k=nu/2, theta=2) et la distribution d'Erlang (k entier), et sert aux grandeurs positives asymetriques.

Que representent les parametres k et theta ?

k est le parametre de forme : il controle l'aspect de la courbe (k1 unimodale asymetrique). theta est le parametre d'echelle et etire l'axe horizontal. On utilise aussi le taux beta = 1/theta. La moyenne vaut k theta et la variance k theta^2.

Quelle est la relation avec l'exponentielle ?

L'exponentielle est le cas special de gamma avec k = 1 : elle decrit le temps jusqu'au premier evenement dans un processus de Poisson. La gamma de k entier decrit le temps jusqu'au k-ieme evenement, soit la somme de k temps exponentiels independants. C'est pourquoi la gamma de k entier s'appelle distribution d'Erlang.

Qu'est-ce que la distribution d'Erlang ?

C'est le cas de la gamma a parametre de forme k entier. Elle represente le temps d'attente du k-ieme arrivee dans un processus de Poisson au taux lambda = 1/theta. Elle fut deduite par Agner Erlang en 1909 pour modeliser le trafic telephonique et fonda la theorie des files, utilisee aujourd'hui pour reseaux, centres d'appels et serveurs.

Comment calcule-t-on la moyenne, la variance et le mode ?

La moyenne est k theta, la variance k theta^2 et l'ecart-type theta fois la racine carree de k. Le mode, pour k >= 1, est (k-1) theta, tandis que pour k < 1 il est a zero. L'asymetrie est 2 sur la racine carree de k et l'exces de kurtosis 6/k : les deux diminuent quand k croit.

Comment calcule-t-on la fonction de repartition ?

La CDF est F(x) = P(k, x/theta), la fonction gamma incomplete inferieure regularisee. Elle n'a pas de forme elementaire et se calcule numeriquement avec une serie pour les petites valeurs et une fraction continue pour les grandes. Pour k entier elle egale une somme de termes de Poisson.

Pourquoi la gamma tend-elle vers une normale ?

Parce qu'une gamma de grand k entier est la somme de nombreuses exponentielles independantes, et par le theoreme central limite une telle somme tend vers une normale. Quand k croit l'asymetrie 2 sur racine de k s'evanouit et la courbe devient presque symetrique. La transformation de Wilson-Hilferty exploite cette convergence.

Ou utilise-t-on la distribution gamma ?

Dans les temps d'attente des processus de Poisson et la theorie des files, dans la fiabilite de systemes exigeant plusieurs evenements, dans la modelisation de cumuls de pluie, montants de sinistres et durees de service, en statistique bayesienne comme prior conjugue, et comme base de la khi-deux dans les tests statistiques.

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