Calcolatore Distribuzione Gamma (k, theta) e Erlang

Calcolatore distribuzione Gamma(k, theta): PDF, CDF, sopravvivenza, momenti, distribuzione Erlang per processi di Poisson, gamma incompleto regolarizzato.

Parametri di calcolo
Questo calcolatore ti è stato utile?

Distribuzione Gamma: definizione

La distribuzione Gamma e una distribuzione di probabilità continua a due parametri (forma k > 0 e scala theta > 0) molto utilizzata in statistica, reliability, queueing theory e bayesian analysis. Generalizza la esponenziale (caso k = 1) e la chi-quadrato (caso k = nu/2, theta = 2). Per x >= 0:

PDF: f(x; k, theta) = x^(k-1) exp(-x/theta) / (theta^k Gamma(k))

CDF: F(x) = P(k, x/theta), gamma incompleto regolarizzato.

Sopravvivenza: S(x) = 1 - F(x) = Q(k, x/theta).

Notazione alternativa con rate beta = 1/theta: f(x) = beta^k x^(k-1) exp(-beta x) / Gamma(k). Le due notazioni si scambiano via theta = 1/beta.

Esempio numerico

Distribuzione Gamma(k = 2, theta = 1): media = 2, varianza = 2, SD = sqrt(2).

  • P(X <= 1) = P(2, 1) = 0.2642 = 26.42 %.
  • P(X <= 2) = P(2, 2) = 0.5940 = 59.40 % (sopra mediana, asimmetrica).
  • Mediana ~ 1.678 (Wilson-Hilferty: theta(k - 1/3 + 1/(9k)) = 1.704).
  • Moda = (k-1)theta = 1.0 per k = 2.

Parametri e forma

k (forma, shape, alpha in alcune notazioni):

  • k < 1: PDF decrescente con singolarità a zero (peso vicino origine).
  • k = 1: distribuzione esponenziale, decrescente.
  • k > 1: PDF a campana sbilanciata, picco a (k-1)theta.
  • k -> infinito: tende a normale (TCL applicato a somma di esponenziali).

theta (scala, scale): dilata orizzontalmente la distribuzione. Cambiare theta cambia scala temporale ma non forma. Inverso theta = beta (rate parameter).

Momenti

  • Media: E[X] = k theta.
  • Varianza: Var[X] = k theta^2.
  • Deviazione standard: theta sqrt(k).
  • Mediana: nessuna forma chiusa. Approssimazione Wilson-Hilferty: theta (k - 1/3 + 1/(9k)).
  • Moda: (k - 1) theta per k >= 1, altrimenti 0.
  • Skewness: 2/sqrt(k). Decresce con k (tende a normale).
  • Kurtosis (eccesso): 6/k.
  • MGF: M(t) = (1 - theta t)^(-k) per t < 1/theta.

Casi particolari importanti

  • Esponenziale Exp(lambda) = Gamma(1, 1/lambda): caso più semplice.
  • Erlang(k, lambda): Gamma con k intero >= 1, theta = 1/lambda. Tempo per il k-esimo arrivo in processo di Poisson omogeneo. Forma chiusa per CDF: P(T_k <= x) = 1 - sum_{j=0}^{k-1} exp(-lambda x)(lambda x)^j / j!.
  • Chi-quadrato chi^2(nu) = Gamma(nu/2, 2): per nu = gradi di libertà. Connessione con statistica inferenziale.
  • Distribuzione di Maxwell-Boltzmann: gamma con k = 3/2.

Erlang e processo di Poisson

Se eventi accadono secondo Poisson(lambda) (tasso lambda eventi/unita tempo), il tempo T_k per osservare il k-esimo evento (k intero) segue Erlang(k, lambda) = Gamma(k, 1/lambda). E la somma di k tempi di interarrivo esponenziali i.i.d. Exp(lambda):

T_k = X_1 + X_2 + ... + X_k, X_i ~ Exp(lambda) i.i.d.

Per la teoria delle code (queueing): tempi di servizio Erlang sono importanti in M/Erlang/1, M/Erlang/c per modellare servizi multifase. Probabilità esplicita: P(T_k > x) = sum_{j=0}^{k-1} exp(-lambda x)(lambda x)^j / j! (forma chiusa).

Stima dei parametri

Method of Moments: dato campione x_1, ..., x_n con media x_bar e varianza s^2:

theta_MoM = s^2 / x_bar (rapporto varianza / media)

k_MoM = x_bar / theta_MoM = x_bar^2 / s^2

Maximum Likelihood: equazione implicita per k (richiede digamma function). Algoritmo iterativo:

theta_MLE = x_bar / k_MLE, k_MLE soddisfa ln k - psi(k) = ln(x_bar) - mean(ln x_i)

dove psi e la funzione digamma. MLE asintoticamente più efficiente di MoM, specialmente per k piccolo.

Connessione con altre distribuzioni

  • Somma: X_i indipendenti Gamma(k_i, theta) -> sum X_i ~ Gamma(sum k_i, theta).
  • Scalatura: c X ~ Gamma(k, c theta) per costante c > 0.
  • Inverso: 1/X ~ Inverse-Gamma(k, 1/theta).
  • Beta: X/(X+Y) ~ Beta(k1, k2) se X ~ Gamma(k1, theta), Y ~ Gamma(k2, theta).
  • F-distribuzione: rapporto di chi-quadrati indipendenti / gradi.
  • Normale (limite): per k grande, Gamma(k, theta) -> N(k theta, k theta^2).

Funzione gamma incompleto regolarizzata

La CDF e P(k, x/theta) con P(s, y) = gamma_inc(s, y) / Gamma(s). Calcolo:

  • Per y < s + 1: serie di potenze convergente. Numerical Recipes algorithm.
  • Per y >= s + 1: continued fraction per Q(s, y) = 1 - P(s, y).

Per k intero: P(k, y) = 1 - exp(-y) sum_{j=0}^{k-1} y^j / j! (Poisson sum). Per k = 1/2 e multipli: connessione con erf.

Applicazioni

  • Reliability: tempi di guasto componenti con più modalita.
  • Queueing theory: tempi di servizio Erlang in M/E/1, M/E/c.
  • Bayesian analysis: prior coniugata per parametro lambda di Poisson.
  • Statistica: chi-quadrato come caso speciale, test di bonta adattamento.
  • Idrologia: precipitazioni cumulative, portate fluviali.
  • Insurance: tempi di sinistri, magnitudo perdite.
  • Reliability biomedica: distribuzioni vita, fasi di malattia.
  • Telecom: tempi di transito multi-hop in reti.

Bayesian: prior coniugata di Poisson

Se osservazioni sono Poisson(lambda) con prior Gamma(alpha, beta) su lambda, la posterior dopo n osservazioni con totale s = sum y_i e:

lambda | data ~ Gamma(alpha + s, beta + n)

Coniugazione: prior e posterior sono entrambe Gamma. Permette analisi bayesian analitica per conteggi (incidenti, malattie, calls). Stima posterior media: (alpha + s)/(beta + n).

Storia

Pearson (1893-1900): introduce distribuzione gamma come parte del sistema di Pearson di curve di frequenza. Erlang (1909): applica caso k intero alla teoria del traffico telefonico (Erlang-B, Erlang-C formule). Helmert (1875): introduce chi-quadrato come somma di quadrati di normali (caso particolare). Pearson (1900): chi-quadrato come test statistico. Wilson, Hilferty (1931): approssimazione (chi^2/n)^(1/3) ~ normale, usata per percentili Gamma. Kullback-Leibler (1951): utilizzo in teoria dell informazione.

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: PDF, CDF (probabilità cumulativa via gamma incompleto regolarizzato), sopravvivenza, momenti riassuntivi, Erlang per processi di Poisson con k intero. Algoritmo numerico per gamma incompleto: serie + continued fraction (Numerical Recipes 6.2).

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cos'e la distribuzione gamma?

E una distribuzione continua a due parametri, forma k > 0 e scala theta > 0, definita per x >= 0. La sua densita e f(x) = x^(k-1) e^(-x/theta) / (theta^k Gamma(k)). Generalizza l'esponenziale (k=1), la chi-quadro (k=nu/2, theta=2) e la distribuzione di Erlang (k intero), ed e usata per grandezze positive asimmetriche.

Cosa rappresentano i parametri k e theta?

k e il parametro di forma: controlla l'aspetto della curva (k1 unimodale asimmetrica). theta e il parametro di scala e dilata l'asse orizzontale. In alternativa si usa il tasso beta = 1/theta. La media vale k theta e la varianza k theta^2.

Qual e la relazione con l'esponenziale?

L'esponenziale e il caso particolare di gamma con k = 1: descrive il tempo fino al primo evento in un processo di Poisson. La gamma con k intero descrive il tempo fino al k-esimo evento, cioe la somma di k tempi esponenziali indipendenti. Per questo la gamma con k intero si chiama distribuzione di Erlang.

Cos'e la distribuzione di Erlang?

E il caso della gamma con parametro di forma k intero. Rappresenta il tempo di attesa per il k-esimo arrivo in un processo di Poisson a tasso lambda = 1/theta. Fu derivata da Agner Erlang nel 1909 per modellare il traffico telefonico e fondo la teoria delle code, usata oggi per reti, call center e server.

Come si calcolano media, varianza e moda?

La media e k theta, la varianza k theta^2 e la deviazione standard theta radice di k. La moda, per k >= 1, vale (k-1) theta, mentre per k < 1 e a zero. L'asimmetria (skewness) e 2/radice di k e la curtosi in eccesso 6/k: entrambe diminuiscono al crescere di k.

Come si calcola la funzione di ripartizione?

La CDF e F(x) = P(k, x/theta), la funzione gamma incompleta inferiore regolarizzata. Non ha forma elementare e si calcola numericamente con una serie per valori piccoli e una frazione continua per valori grandi. Per k intero equivale a una somma di termini di Poisson.

Perche la gamma tende a una normale?

Perche una gamma con grande k intero e la somma di molte esponenziali indipendenti, e per il teorema centrale del limite tale somma tende a una distribuzione normale. Al crescere di k l'asimmetria 2/radice di k svanisce e la curva diventa quasi simmetrica. La trasformazione di Wilson-Hilferty sfrutta questa convergenza.

Dove si usa la distribuzione gamma?

Nei tempi di attesa dei processi di Poisson e nella teoria delle code, nell'affidabilita di sistemi che richiedono piu eventi, nella modellazione di totali di pioggia, importi di sinistri assicurativi e durate di servizio, in statistica bayesiana come prior coniugato, e come base della chi-quadro nei test statistici.

Formula

PDF f(x) = x^(k-1) e^(-x/theta) / (theta^k Gamma(k)). Mean k theta, variance k theta^2. CDF F(x) = P(k, x/theta) regularized incomplete gamma. Erlang = Gamma with integer k.

Commenti (0)

Ancora nessun commento. Sii il primo!