Loi binomiale

La loi binomiale B(n, p) modélise le nombre X de succès dans n épreuves indépendantes avec probabilité p de succès. P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1−p)^(n−k).

Schéma de Bernoulli

Chaque épreuve : deux issues (succès/échec). Hypothèses : n fixe, épreuves indépendantes, p constante.

Probabilité cumulée

F(k) = P(X ≤ k) = Σ C(n, i)·p^i·q^(n−i). Ex. pièce 10 fois p = 0,5 : P(X = 5) = 24,6% ; P(X ≥ 7) ≈ 17,2%.

Moyenne et variance

μ = n·p ; σ² = n·p·q ; σ = √(npq). Mode : ⌊(n+1)p⌋.

Approximation normale

Pour n ≥ 30 avec np ≥ 5 et nq ≥ 5 : B ≈ N(np, npq). Correction de continuité. Si p petit : approximation de Poisson (λ = np).

Applications

Contrôle qualité, sondages, génétique, tests diagnostiques, fiabilité, finance (défauts), A/B testing.

Cas limites

• n = 1 : Bernoulli.
• p = 0,5 : symétrique.
• X + Y ~ B(n₁+n₂, p).
• Asymétrie : (1 − 2p)/√(npq).

Applications pratiques

La loi binomiale décrit : contrôle qualité (probabilité de k pièces défectueuses dans un lot de n), sondages (proportions estimées à partir d'échantillons), génétique (individus avec un allèle donné), sport (victoires en n parties), tests diagnostiques (vrais positifs en n tests), fiabilité (composants fonctionnant), finance (défauts dans un portefeuille). En A/B testing, base du test Z de proportions : Z = (p̂ − p₀)/√(p(1−p)/n).

Utilisation

Quatre modes : probabilité exacte (n, k, p → P(X = k)) ; cumulative (n, k, p → P(X ≤ k), P(X ≥ k), P(X > k), P(X < k)) ; intervalle (n, a, b, p → P(a ≤ X ≤ b)) ; moyenne et variance (n, p → μ, σ², σ, mode). Calcul direct en précision IEEE-754 pour n ≤ 1000 ; pour n plus grand, approximation normale avec correction de continuité.

Cas limites

• n = 1 : Bernoulli.
• p = 0,5 : distribution symétrique autour de n/2.
• Somme : X + Y ~ B(n₁+n₂, p) indépendants.
• Asymétrie : (1 − 2p)/√(npq).

De Bernoulli aux applications modernes

La loi binomiale naît avec Jacob Bernoulli, mathématicien suisse de la célèbre famille, qui dans l'Ars Conjectandi de 1713 étudia systématiquement les suites d'épreuves indépendantes à deux issues, aujourd'hui appelées épreuves de Bernoulli. Dans le même traité, il énonça la loi des grands nombres, selon laquelle la fréquence des succès tend vers la probabilité théorique quand les épreuves augmentent. Elle est omniprésente : contrôle qualité, essais cliniques, taux de conversion en marketing numérique, fiabilité des systèmes et sondages électoraux.

Approximations normale et de Poisson

Quand n est grand, le calcul direct de la binomiale devient lourd, d’où le recours à deux approximations. Si np et n(1−p) valent tous deux au moins 5, la binomiale est bien approchée par une normale de moyenne np et de variance np(1−p), avec correction de continuité. Si en revanche p est très petit et n grand, avec np modéré, on utilise l’approximation de Poisson de paramètre λ = np, mieux adaptée aux événements rares comme les pannes ou les arrivées.

Mis à jour en juillet 2026