Calculadora Distribución Gamma (k, theta, Erlang, PDF, CDF)

Calculadora distribución Gamma(k, theta): PDF, CDF, supervivencia, momentos, distribución Erlang para procesos Poisson, gamma incompleto regularizado.

Parámetros de cálculo
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Distribución Gamma: definición

Continua dos parámetros (k forma, theta escala) para variables no negativas. Generaliza exponencial (k=1), chi-cuadrado (k=nu/2, theta=2), Erlang (k entero).

PDF: f(x) = x^(k-1) exp(-x/theta) / (theta^k Gamma(k)).

CDF: F(x) = P(k, x/theta) gamma incompleto regularizado.

Supervivencia: S(x) = Q(k, x/theta).

Ejemplo numérico

Gamma(2, 1): media=2, var=2. P(X<=1) = 26.42 %. P(X<=2) = 59.40 %. Mediana ~ 1.678.

Forma y escala

  • k < 1: PDF decreciente singularidad en 0.
  • k = 1: exponencial.
  • k > 1: campana asimetrica.
  • k grande: tiende a normal.

Momentos

  • Media: k theta.
  • Varianza: k theta^2.
  • SD: theta sqrt(k).
  • Moda: (k-1)theta para k >= 1.
  • Asimetria: 2/sqrt(k).
  • Curtosis exceso: 6/k.

Casos especiales

  • Exp(lambda) = Gamma(1, 1/lambda).
  • Erlang(k entero, lambda).
  • Chi^2(nu) = Gamma(nu/2, 2).
  • Maxwell-Boltzmann: k = 3/2.

Erlang y Poisson

Erlang(k, lambda) = tiempo k-esimo evento en Poisson(lambda). Suma k exponenciales iid. Cerrada: P(T_k > x) = sum e^(-lambda x)(lambda x)^j/j!. Usado en colas M/E/1.

Estimación

MoM: theta = var/media, k = media^2/var. MLE: ecuación implicita digamma, numericamente.

Conexiones

  • Suma Gamma(k_i, theta) -> Gamma(sum k_i, theta).
  • Escalado c X ~ Gamma(k, c theta).
  • Inverso 1/X ~ Inverse-Gamma.
  • Beta X/(X+Y) ~ Beta(k1, k2).
  • F: razón chi-cuadrados.
  • Normal limite k grande.

Gamma incompleto

P(s, y) = gamma_inc(s, y)/Gamma(s). Series para y = s+1. s entero: forma cerrada Poisson sum.

Aplicaciones

  • Fiabilidad multi-modo.
  • Colas Erlang.
  • Bayesian Poisson conjugada.
  • Chi-cuadrado tests.
  • Hidrologia.
  • Seguros.
  • Biomedica vida.
  • Telecom multi-hop.

Bayesian conjugada

Y ~ Poisson(lambda), prior Gamma(alpha, beta) -> posterior Gamma(alpha+sum y, beta+n). Media posterior (alpha+s)/(beta+n).

Historia

Pearson (1893-1900) sistema curvas. Erlang (1909) trafico telefonico. Helmert (1875) chi-cuadrado. Pearson (1900) test. Wilson-Hilferty (1931) raiz cubica.

Modos calculadora

Cinco: PDF, CDF, supervivencia, momentos, Erlang Poisson. Algoritmo numérico Numerical Recipes.

Tiempos de espera, el proceso de Poisson y la teoria de colas

La distribucion gamma tiene una interpretacion vivida siempre que los eventos ocurren al azar a una tasa media constante, la situacion descrita por el proceso de Poisson. Si los eventos individuales estan separados por intervalos exponenciales independientes, entonces el tiempo hasta el k-esimo evento es la suma de k de esos intervalos, y esa suma sigue una distribucion gamma con forma entera k, el caso especial llamado distribucion de Erlang. El parametro de escala es el espaciado medio entre eventos, asi que el tiempo de espera esperado para k llegadas es simplemente k veces ese espaciado.

No es una curiosidad abstracta: es el origen de la fama ingenieril de la distribucion. Agner Krarup Erlang dedujo el caso entero en 1909 para modelar el trafico telefonico en la central de Copenhague, preguntando cuanto esperan los llamantes y cuantas lineas necesita una centralita. Su trabajo fundo la teoria de colas, y la misma matematica dimensiona hoy centros de llamadas, redes de computadoras, urgencias hospitalarias y granjas de servidores. Dondequiera que un sistema deba completar varios pasos aleatorios, o acumular varias llegadas aleatorias, la distribucion gamma da la probabilidad de que el tiempo total quede dentro de un presupuesto, que es exactamente lo que reporta el modo Erlang de la calculadora.

Por que la gamma es tan versatil: forma, escala y comportamiento limite

Dos parametros dan a la distribucion gamma una flexibilidad notable para modelar datos positivos y sesgados a la derecha. El parametro de escala theta simplemente estira el eje horizontal, mientras que el parametro de forma k cambia por completo el caracter de la curva. Para k menor que uno la densidad diverge en cero y decae rapidamente, semejando una fuerte concentracion cerca del origen. En k igual a uno se convierte en la exponencial sin memoria. Para k mayor que uno es unimodal y sesgada, con un pico en (k-1) por theta, y a medida que k crece el sesgo, que es dos sobre la raiz cuadrada de k, se reduce de forma constante.

Ese ultimo hecho apunta a una propiedad profunda: a medida que el parametro de forma crece, la distribucion gamma se aproxima a una normal. Es el teorema central del limite en accion, ya que una gamma con k entero grande es una suma de muchas exponenciales independientes. La transformacion de Wilson-Hilferty explota precisamente esto, mapeando una gamma a una normal aproximada mediante un cambio de variable de raiz cubica. Entre el pico agudo de k pequeno y la campana casi simetrica de k grande hay un continuo que ajusta totales de lluvia, tamanos de reclamaciones de seguros, duraciones de servicio y la variabilidad de medidas biologicas, por lo que la gamma es un caballo de batalla de la estadistica aplicada.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es la distribucion gamma?

Es una distribucion continua de dos parametros, forma k > 0 y escala theta > 0, definida para x >= 0. Su densidad es f(x) = x^(k-1) e^(-x/theta) / (theta^k Gamma(k)). Generaliza la exponencial (k=1), la chi-cuadrado (k=nu/2, theta=2) y la distribucion de Erlang (k entero), y se usa para magnitudes positivas y sesgadas.

Que representan los parametros k y theta?

k es el parametro de forma: controla el aspecto de la curva (k1 unimodal sesgada). theta es el parametro de escala y estira el eje horizontal. Alternativamente se usa la tasa beta = 1/theta. La media vale k theta y la varianza k theta^2.

Cual es la relacion con la exponencial?

La exponencial es el caso especial de gamma con k = 1: describe el tiempo hasta el primer evento en un proceso de Poisson. La gamma con k entero describe el tiempo hasta el k-esimo evento, es decir la suma de k tiempos exponenciales independientes. Por eso la gamma con k entero se llama distribucion de Erlang.

Que es la distribucion de Erlang?

Es el caso de la gamma con parametro de forma k entero. Representa el tiempo de espera del k-esimo arribo en un proceso de Poisson a tasa lambda = 1/theta. Fue deducida por Agner Erlang en 1909 para modelar el trafico telefonico y fundo la teoria de colas, usada hoy para redes, centros de llamadas y servidores.

Como se calculan la media, varianza y moda?

La media es k theta, la varianza k theta^2 y la desviacion estandar theta por la raiz cuadrada de k. La moda, para k >= 1, es (k-1) theta, mientras que para k < 1 esta en cero. El sesgo es 2 sobre la raiz cuadrada de k y la curtosis en exceso 6/k: ambos disminuyen al crecer k.

Como se calcula la funcion de distribucion?

La CDF es F(x) = P(k, x/theta), la funcion gamma incompleta inferior regularizada. No tiene forma elemental y se calcula numericamente con una serie para valores pequenos y una fraccion continua para los grandes. Para k entero equivale a una suma de terminos de Poisson.

Por que la gamma tiende a una normal?

Porque una gamma con k entero grande es la suma de muchas exponenciales independientes, y por el teorema central del limite tal suma tiende a una distribucion normal. Al crecer k el sesgo 2 sobre raiz de k se desvanece y la curva se vuelve casi simetrica. La transformacion de Wilson-Hilferty aprovecha esta convergencia.

Donde se usa la distribucion gamma?

En los tiempos de espera de procesos de Poisson y la teoria de colas, en la fiabilidad de sistemas que requieren varios eventos, en la modelacion de totales de lluvia, importes de reclamaciones de seguros y duraciones de servicio, en estadistica bayesiana como prior conjugado, y como base de la chi-cuadrado en los test estadisticos.

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