Trigonometrie Rechner: sin, cos, tan, Sinus- und Kosinussatz

Berechne sin, cos, tan und deren Umkehrfunktionen; wende Sinus- und Kosinussatz auf beliebige Dreiecke an. Grad oder Radiant, Pythagoras-Identität. Vier Modi.

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Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen verknüpfen Winkel mit Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck: sin θ = Gegenkathete/Hypotenuse, cos θ = Ankathete/Hypotenuse, tan θ = sin θ/cos θ. Auf dem Einheitskreis erfüllt der Punkt (x, y) bei Winkel θ: x = cos θ, y = sin θ. Damit sind sin und cos für alle reellen Zahlen definiert, nicht nur für spitze Winkel.

Grad und Radiant

Volle Umdrehung: 360° = 2π rad. Umrechnung: θ_rad = θ_deg · π/180. Besondere Winkel: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2. In Mathematik und Physik bevorzugt man Radiant, weil die Ableitungen einfacher sind (d/dθ sin θ = cos θ gilt nur im Bogenmaß).

Grundidentitäten

Wichtigste ist die Pythagoras-Identität sin²θ + cos²θ = 1. Daraus folgen 1 + tan²θ = sec²θ und 1 + cot²θ = csc²θ. Additionstheoreme: sin(a±b) = sin a·cos b ± cos a·sin b; cos(a±b) = cos a·cos b ∓ sin a·sin b. Doppelwinkel: sin 2θ = 2sin θ·cos θ; cos 2θ = 1 − 2sin²θ; tan 2θ = 2tan θ/(1 − tan²θ).

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen (Arkussinus, -kosinus, -tangens) liefern den Winkel aus dem Funktionswert. Bereiche: arcsin [−π/2, π/2]; arccos [0, π]; arctan (−π/2, π/2). Die Funktion atan2(y, x) gibt den Winkel in (−π, π] zurück und berücksichtigt die Vorzeichen beider Argumente — numerisch robuster als arctan(y/x).

Sinussatz

In jedem Dreieck: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, wobei R der Umkreisradius ist. Löst ASA-, AAS- und SSA-Fälle (SSA ist mehrdeutig: 0, 1 oder 2 Lösungen). Beispiel: A = 30°, B = 70°, a = 10 → C = 80°, b ≈ 18,79, c ≈ 19,70.

Kosinussatz

Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Bei C = 90° ist cos C = 0 und es gilt Pythagoras. Löst SSS- und SAS-Fälle.

Dreiecksfläche

Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel: A = ½·a·b·sin C. Drei Seiten (Heron): A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) mit s = (a+b+c)/2. Umkreis: A = abc/(4R).

Weitere Beziehungen

  • Inkreisradius r = A/s; Umkreisradius R = abc/(4A).
  • Seitenhalbierende: m_a = ½√(2b² + 2c² − a²).
  • Winkelhalbierende: t_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c).
  • Mollweide-Formel: (a+b)/c = cos((A−B)/2)/sin(C/2).

Bedienung

Vier Modi: Grundfunktionen (Winkel in Grad oder Radiant → sin, cos, tan, cot, sec, csc); Umkehrfunktion; Sinussatz; Kosinussatz (SAS oder SSS → fehlende Seiten/Winkel und Fläche).

Anwendungen

Schwingungen (mechanische, elektromagnetische, Schallwellen), Rotationen, 3D-Grafik und Robotik, Navigation, Bauingenieurwesen, Geodäsie, Signalanalyse (Fourier), Musiktheorie, Architektur, Astronomie (Parallaxe).

Geschichte der Trigonometrie und der Einheitskreis

Die Trigonometrie entstand aus der Astronomie: Hipparchos von Nikaia (um 150 v. Chr.) erstellte die erste Sehnentafel, den Vorläufer des Sinus, um Himmelspositionen zu berechnen. Ptolemäus verfeinerte sie im Almagest, während indische Mathematiker die Funktion jya einführten (woraus über das Arabische das Wort „Sinus" entstand) und arabische Gelehrte wie al-Battani Sinus, Kosinus und Tangens in heutiger Form entwickelten. Die moderne Definition beruht auf dem Einheitskreis: für einen Winkel θ ist der Kosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate des zugehörigen Punktes auf einem Kreis mit Radius 1. Daraus folgt die pythagoreische Identität sin²θ + cos²θ = 1. Winkel werden in Grad (Vollkreis = 360°) oder Radiant (Vollkreis = 2π) gemessen: 1 Radiant ≈ 57,3°.

Grundlegende Identitäten und praktische Anwendungen

Die sechs trigonometrischen Funktionen sind durch grundlegende Beziehungen verbunden: tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = 1/tan θ, sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ. Zum Lösen beliebiger Dreiecke nutzt man den Sinussatz (a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, mit R dem Umkreisradius) und den Kosinussatz (c² = a² + b² − 2ab·cos C), der Pythagoras auf nicht rechte Winkel verallgemeinert. Anwendungen gibt es überall: die Triangulation in Vermessung und GPS, die Berechnung von Sterndistanzen durch Parallaxe, die Beschreibung von Wellen und Wechselströmen in der Physik, die Analyse von Strukturen im Ingenieurwesen. Jedes periodische Phänomen wird über die Fourier-Analyse durch Sinus und Kosinus beschrieben.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was sind Sinus, Kosinus und Tangens?

Es sind die grundlegenden trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, der Kosinus von Ankathete zu Hypotenuse, der Tangens von Gegen- zu Ankathete (tan = sin/cos). Am Einheitskreis sind Kosinus und Sinus die x- und y-Koordinate des Punktes.

Was ist der Einheitskreis?

Es ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung, mit dem die trigonometrischen Funktionen für jeden Winkel definiert werden. Der Punkt beim Winkel θ hat die Koordinaten (cos θ, sin θ). Daraus folgen die Periodizität und die Identität sin²θ + cos²θ = 1, die der Satz des Pythagoras ist.

Was ist der Unterschied zwischen Grad und Radiant?

Es sind zwei Einheiten zur Winkelmessung. Ein Vollkreis ist 360 Grad oder 2π Radiant, also 180° = π Radiant und 1 Radiant ≈ 57,3°. Radiant ist die natürliche Einheit der Analysis, weil sie Ableitungen und Reihen vereinfacht: die Ableitung von sin(x) ist nur dann cos(x), wenn x in Radiant ist.

Was ist der Sinussatz?

Er besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis jeder Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels konstant ist: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, wobei R der Umkreisradius ist. Er löst Dreiecke, wenn man zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennt.

Was ist der Kosinussatz?

Er ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dreiecke: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Bei C = 90° ist der Kosinus null und er reduziert sich auf c² = a² + b². Er findet die dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SAS) oder die Winkel aus den drei Seiten (SSS).

Was ist die pythagoreische Identität?

Es ist die Beziehung sin²θ + cos²θ = 1, gültig für jeden Winkel θ. Sie folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras am Einheitskreis, wo Sinus und Kosinus die Katheten und der Radius 1 die Hypotenuse sind. Sie ist die wichtigste trigonometrische Identität, aus der viele weitere folgen.

Wofür wird Trigonometrie in der Praxis verwendet?

Sie wird in Vermessung und GPS für die Triangulation genutzt, in der Astronomie zur Messung von Sterndistanzen durch Parallaxe, in der Physik zur Beschreibung von Wellen, Schwingungen und Wechselströmen, im Ingenieurwesen zur Analyse von Kräften und Strukturen und in der Informatik für 3D-Grafik und Signalverarbeitung.

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