Calculateur Trigonométrie : sin, cos, tan, loi des sinus, cosinus

Calculez sin, cos, tan et inverses ; appliquez la loi des sinus et des cosinus à tout triangle. Degrés ou radians, identité de Pythagore. Quatre modes.

Paramètres de calcul
Ce calculateur vous a-t-il été utile ?

Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques relient angles et longueurs dans un triangle rectangle : sin θ = opposé/hypoténuse, cos θ = adjacent/hypoténuse, tan θ = sin θ/cos θ. Sur le cercle unité, (x, y) à l'angle θ vérifie x = cos θ, y = sin θ, étendant sin et cos à tous les réels.

Degrés et radians

Tour complet : 360° = 2π rad. Conversion : θ_rad = θ_deg · π/180. Angles remarquables : 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.

Identités

Pythagoricienne : sin²θ + cos²θ = 1. Conséquences : 1 + tan²θ = sec²θ. Somme : sin(a±b) = sin a·cos b ± cos a·sin b. Duplication : sin 2θ = 2sin θ·cos θ ; cos 2θ = 1 − 2sin²θ.

Fonctions inverses

arcsin : [−1,1] → [−π/2, π/2] ; arccos : [−1,1] → [0, π] ; arctan : ℝ → (−π/2, π/2). atan2(y, x) renvoie (−π, π] en utilisant le signe des deux arguments.

Loi des sinus

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Résout ASA, AAS, SSA (cas ambigu : 0, 1 ou 2 solutions).

Loi des cosinus

c² = a² + b² − 2ab·cos C. Généralise Pythagore. Résout SSS et SAS.

Aire

Deux côtés et angle : A = ½·a·b·sin C. Trois côtés (Héron) : A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) avec s demi-périmètre.

Autres relations

  • Rayon inscrit r = A/s ; circonscrit R = abc/(4A).
  • Médiane m_a = ½√(2b² + 2c² − a²).
  • Bissectrice t_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c).

Utilisation

Modes : fonctions de base, fonction inverse, loi des sinus, loi des cosinus. Degrés ou radians.

Applications

Oscillations (ondes mécaniques et électromagnétiques, son), rotations et graphisme 3D, navigation GPS et astronomie, génie civil (forces dans les treillis et câbles), topographie, analyse de Fourier des signaux, théorie musicale (intervalles harmoniques), architecture (arcs et coupoles), biologie (rythmes circadiens) et économie (cycles saisonniers). La trigonométrie fait le lien entre géométrie, analyse et algèbre.

Angles remarquables et valeurs exactes

Certaines valeurs se mémorisent : sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1. Les cos correspondants sont complémentaires : cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0. Et tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 30° = 1/√3. Maîtriser ces valeurs permet de simplifier les expressions sans calculatrice et de vérifier rapidement les résultats.

Histoire de la trigonométrie et le cercle unité

La trigonométrie est née de l'astronomie : Hipparque de Nicée (vers 150 av. J.-C.) compila la première table de cordes, ancêtre du sinus, pour calculer les positions célestes. Ptolémée la perfectionna dans l'Almageste, tandis que les mathématiciens indiens introduisirent la fonction jya (d'où, par l'arabe, le mot « sinus ») et des savants arabes comme al-Battani développèrent sinus, cosinus et tangente tels que nous les connaissons. La définition moderne repose sur le cercle unité : pour un angle θ, le cosinus est l'abscisse et le sinus l'ordonnée du point correspondant sur un cercle de rayon 1. D'où l'identité pythagoricienne sin²θ + cos²θ = 1. Les angles se mesurent en degrés (tour = 360°) ou en radians (tour = 2π) : 1 radian ≈ 57,3°.

Identités fondamentales et applications pratiques

Les six fonctions trigonométriques sont liées par des relations fondamentales : tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = 1/tan θ, sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ. Pour résoudre des triangles quelconques on utilise la loi des sinus (a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, avec R le rayon du cercle circonscrit) et la loi des cosinus (c² = a² + b² − 2ab·cos C), qui généralise Pythagore aux angles non droits. Les applications sont partout : la triangulation en topographie et GPS, le calcul des distances stellaires par parallaxe, la description des ondes et courants alternatifs en physique, l'analyse des structures en ingénierie. Tout phénomène périodique se décrit par des sinus et cosinus via l'analyse de Fourier.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Que sont le sinus, le cosinus et la tangente ?

Ce sont les fonctions trigonométriques fondamentales. Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, le cosinus de l'adjacent à l'hypoténuse, la tangente de l'opposé à l'adjacent (tan = sin/cos). Sur le cercle unité, cosinus et sinus sont les coordonnées x et y du point.

Qu'est-ce que le cercle unité ?

C'est un cercle de rayon 1 centré à l'origine, utilisé pour définir les fonctions trigonométriques pour tout angle. Le point à l'angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ). De cette définition découlent la périodicité et l'identité sin²θ + cos²θ = 1, qui est le théorème de Pythagore.

Quelle différence entre degrés et radians ?

Ce sont deux unités pour mesurer les angles. Un tour complet vaut 360 degrés ou 2π radians, donc 180° = π radians et 1 radian ≈ 57,3°. Les radians sont l'unité naturelle en analyse car ils simplifient dérivées et séries : la dérivée de sin(x) est cos(x) seulement si x est en radians.

Qu'est-ce que la loi des sinus ?

Elle affirme que dans tout triangle le rapport de chaque côté au sinus de l'angle opposé est constant : a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, où R est le rayon du cercle circonscrit. Elle résout les triangles quand on connaît deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non compris.

Qu'est-ce que la loi des cosinus ?

C'est la généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques : c² = a² + b² − 2ab·cos C. Quand C = 90° le cosinus est nul et elle se réduit à c² = a² + b². Elle trouve le troisième côté connaissant deux côtés et l'angle compris (SAS) ou les angles connaissant les trois côtés (SSS).

Qu'est-ce que l'identité pythagoricienne ?

C'est la relation sin²θ + cos²θ = 1, valable pour tout angle θ. Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué au cercle unité, où sinus et cosinus sont les côtés et le rayon 1 l'hypoténuse. C'est l'identité trigonométrique la plus importante, dont beaucoup d'autres dérivent.

À quoi sert la trigonométrie en pratique ?

Elle sert en topographie et GPS pour la triangulation, en astronomie pour mesurer les distances stellaires par parallaxe, en physique pour décrire ondes, oscillations et courants alternatifs, en ingénierie pour analyser forces et structures, et en informatique pour la 3D et le traitement du signal.

Commentaires (0)

Pas encore de commentaire. Soyez le premier !