Trapezregel zur numerischen Integration

Die Trapezregel ist die einfachste Methode zur Approximation bestimmter Integrale. Basiert auf Approximation von f mit Geradensegmenten zwischen aufeinanderfolgenden Punkten, formt Trapeze deren Gesamtfläche das Integral schätzt.

Grundformel

integral_{a}^{b} f(x) dx ~ (b-a)/2 * [f(a) + f(b)]. Exakt für Lineare. Fehler: -(b-a)^3/12 * f''(xi).

Zusammengesetzte Trapezregel

[a,b] in n Teilintervalle h = (b-a)/n teilen. Formel: h [f(x_0)/2 + f(x_1) + ... + f(x_{n-1}) + f(x_n)/2]. Globaler Fehler O(h^2): Ordnung 2.

Richardson-Extrapolation

Wenn T_h Trapezannäherung mit Schritt h, wahrer Wert I = T_h - C h^2 - C2 h^4 - ... Kombiniert T_h und T_{h/2}: I ~ (4 T_{h/2} - T_h)/3 (= Simpson 1/3).

Romberg-Tabelle

R[k][0] = Trapez mit 2^k Intervallen. R[k][j] = R[k][j-1] + (R[k][j-1] - R[k-1][j-1]) / (4^j - 1). R[k][k] Ordnung 2(k+1). Für k=4 Ordnung 10. Exponentielle Konvergenz.

Numerische Beispiele

integral sin(x) auf [0, pi] (exakt = 2):

• Trapez n=10: 1.9835 (Fehler 1.6e-2)
• Trapez n=20: 1.9959 (Fehler 4.1e-3)
• Trapez n=40: 1.9990 (Fehler 1.0e-3)
• Romberg 4 Stufen: 1.99999992 (Fehler 8e-8)

Vorteile

• Sehr einfache Implementierung.
• Kosten 1 Auswertung pro Punkt.
• Exakt für Lineare.
• Numerisch stabil.
• Basis für anspruchsvollere Verfahren.

Nachteile

• Langsame Konvergenz Ordnung 2.
• Ineffizient für extreme Genauigkeit.
• Überschätzt konvexe Funktionen.
• Unterschätzt konkave Funktionen.

Trapezregel vs Simpson

Trapez Ordnung 2, Simpson Ordnung 4. Gleiche Kosten aber Simpson 100-1000x genauer für glatte Funktionen.

Adaptive Quadratur

[a,b] in Teilintervalle teilen bis Fehler < Toleranz. Fehlerschätzung über T_h - T_{h/2}.

Geschichte

Bekannt bei Antiken (Babylonier, Archimedes). Newton-Cotes 1 einfachster Fall. Cotes 1722 systematisiert. Romberg 1955 führt Richardson-Extrapolation systematisch ein. Heute Basis von scipy.integrate.romb, MATLAB trapz, numpy.trapz.

Der Trapezfehler und die Euler-Maclaurin-Formel

Der Fehler der Trapezregel hat eine genaue Form: fur ein einzelnes Intervall betragt er -(b-a)^3/12 f''(xi) fur einen inneren Punkt xi, und in der zusammengesetzten Version wird er zu -(b-a) h^2/12 f''(xi), daher die Ordnung zwei. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt die Richtung des Fehlers: fur konvexe Funktionen (f'' > 0) uberschatzen die Trapeze das Integral systematisch, weil die Sehne uber der Kurve liegt; fur konkave Funktionen unterschatzen sie es.

Die Euler-Maclaurin-Formel liefert die vollstandige Entwicklung des Fehlers in geraden Potenzen von h, mit Koeffizienten aus den Bernoulli-Zahlen und den Werten der Ableitungen an den Intervallgrenzen. Diese Struktur mit nur geraden Termen macht die Richardson-Extrapolation so wirksam: durch Elimination eines Terms nach dem anderen entsteht die Romberg-Tabelle, die aus den Trapezen rasch Naherungen immer hoherer Ordnung ableitet.

Die Uberraschung: spektrale Konvergenz bei periodischen Funktionen

Die Trapezregel hat eine uberraschende Eigenschaft: auf eine glatte periodische Funktion angewandt und uber eine volle Periode integriert, konvergiert sie exponentiell statt wie h^2. Der Grund ergibt sich aus der Euler-Maclaurin-Formel: fur einen periodischen Integranden stimmen die Werte der Ableitungen an beiden Grenzen uberein, und alle Korrekturterme heben sich paarweise auf, wodurch ein Fehler bleibt, der schneller als jede Potenz von h abnimmt.

Diese spektrale Konvergenz erklart, warum die Trapezregel, scheinbar das grobste Verfahren, in Wirklichkeit das optimale Werkzeug fur die Fourier-Analyse und die diskrete Transformation (DFT) ist, wo Signale bauartbedingt periodisch sind. Dieselbe Idee macht die Trapezregel zur bevorzugten Methode fur Konturintegrale in der komplexen Ebene, wo der geschlossene Weg von Natur aus periodisch ist. Ein elegantes Beispiel dafur, wie ein elementares Verfahren im richtigen Kontext hervorragen kann.

Aktualisiert im Juli 2026