Regola dei trapezi per integrazione numerica

La regola dei trapezi e il metodo più semplice per approssimare l integrale definito di una funzione. Si basa sull approssimazione di f con segmenti di retta tra punti consecutivi, formando trapezi la cui area totale stima l integrale. Conosciuta dall antichita (Newton-Cotes 1, già in Erone e Archimede).

Formula base

Per intervallo [a,b] con due punti a e b:

integral_{a}^{b} f(x) dx ~ (b-a)/2 * [f(a) + f(b)]

Esatta per funzioni lineari. Errore: -(b-a)^3/12 * f''(xi) per qualche xi in (a,b).

Trapezi composito

Suddivide [a,b] in n sotto-intervalli di larghezza h = (b-a)/n e applica trapezi a ciascuno:

integral ~ h [f(x_0)/2 + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1}) + f(x_n)/2]

dove x_i = a + i h. Errore globale: -(b-a) h^2/12 * max|f''|. Convergenza ordine 2 (errore /4 dimezzando h).

Esattezza per polinomi lineari

Trapezi e ESATTA per f lineare (ax + b). Per quadratica f = x^2 in [0,1] (esatta = 1/3): trapezi n=10 da 0.335 (errore 1.5e-3); n=100 da 0.33335 (errore 1.7e-5). Per polinomi grado >= 2 errore proporzionale a max|f''|.

Estrapolazione di Richardson

Idea: se T_h e l approssimazione trapezi con passo h, allora il vero valore I e dato da T_h - C h^2 - C2 h^4 - ... Combinando T_h e T_{h/2} si elimina C h^2:

I ~ (4 T_{h/2} - T_h) / 3 (= Simpson 1/3 raffinato)

Iterando, si elimina ordine successivo. Risultato: tavola di Romberg.

Tavola di Romberg

Algoritmo di Romberg costruisce matrice R[k][j]:

• R[k][0] = trapezi con 2^k intervalli.
• R[k][j] = R[k][j-1] + (R[k][j-1] - R[k-1][j-1]) / (4^j - 1).

R[k][k] (diagonale) ha ordine 2(k+1). Per k=4 ordine 10! Convergenza esponenziale per funzioni regolari (analitiche).

Esempi numerici

Integrale di sin(x) su [0, pi] (esatto = 2):

• Trapezi n=10: 1.9835 (errore 1.6e-2)
• Trapezi n=20: 1.9959 (errore 4.1e-3, /4 di sopra)
• Trapezi n=40: 1.9990 (errore 1.0e-3, /4)
• Romberg 4 livelli: 1.99999992 (errore 8e-8)
• Romberg 6 livelli: precisione macchina

Vantaggi del trapezio

• Implementazione semplicissima, formula chiusa.
• Costo: 1 valutazione di f per punto (n+1 totali).
• Esatto per lineari (utile per griglia adattiva).
• Stabile numericamente (formula con coefficienti positivi).
• Base per metodi più sofisticati (Romberg, Simpson).

Svantaggi

• Convergenza lenta: ordine 2 (errore /4 dimezzando h).
• Inefficiente per accuratezza estrema: serve n enorme.
• Sovrastima per funzioni convex (curvatura positiva).
• Sottostima per funzioni concav (curvatura negativa).
• Per integrali oscillanti molto: serve campionamento adattivo.

Trapezi vs Simpson

Trapezi (ordine 2) e Simpson (ordine 4) hanno costi simili ma accuratezze molto diverse. Per stesso n:

• Trapezi: errore O(h^2), polinomio approssimante grado 1.
• Simpson 1/3: errore O(h^4), polinomio approssimante grado 2.
• Per funzioni lisce, Simpson e tipicamente 100-1000x più accurato.
• Per funzioni con discontinuita o pochi punti, trapezi può essere preferibile (minor sovraadattamento).

Quadratura adattiva

Strategia: dividere [a,b] in sotto-intervalli e applicare trapezi (o Simpson) finché errore stimato < tolleranza. Stima errore via differenza T_h e T_{h/2}: errore_h ~ T_h - T_{h/2}. Risultato: passi piccoli dove f varia rapidamente, passi grandi dove e piatta.

Storia

Conosciuto da antichi (Babilonesi, Archimede). Newton-Cotes 1 (formula chiusa con 2 punti) e il caso più semplice. Roger Cotes 1722 sistematizza. Werner Romberg 1955 introduce estrapolazione di Richardson sistematica. Oggi base di librerie professionali (scipy.integrate.romb, MATLAB trapz, numpy.trapz).

Modalita del calcolatore

Sette funzioni di test (polinomi, trigonometriche, esponenziali, lineari, 1/x, sqrt) con due metodi (composito o Romberg). Output: integrale numerico, valore esatto, errore assoluto e relativo, confronto convergenza con h, h/2, h/4 (rapporto atteso 4 per ordine 2), tavola di Romberg quando selezionato.

L'errore dei trapezi e la formula di Eulero-Maclaurin

L'errore della regola dei trapezi ha una forma precisa: per un singolo intervallo vale -(b-a)^3/12 f''(xi) per qualche punto xi interno, e nella versione composita diventa -(b-a) h^2/12 f''(xi), da cui l'ordine due. Il segno della derivata seconda determina la direzione dell'errore: per funzioni convesse (f'' > 0) i trapezi sovrastimano sistematicamente l'integrale, perche la corda sta sopra la curva; per funzioni concave lo sottostimano.

La formula di Eulero-Maclaurin fornisce l'espansione completa dell'errore in potenze pari di h, con coefficienti dati dai numeri di Bernoulli e dai valori delle derivate agli estremi dell'intervallo. E questa struttura, con soli termini pari, a rendere cosi efficace l'estrapolazione di Richardson: eliminando un termine alla volta si ottiene la tavola di Romberg, che dai trapezi ricava rapidamente approssimazioni di ordine sempre piu alto.

La sorpresa: convergenza spettrale sui periodici

La regola dei trapezi ha una proprieta sorprendente: applicata a una funzione regolare e periodica, integrata su un periodo completo, converge in modo esponenziale invece che come h^2. La ragione emerge dalla formula di Eulero-Maclaurin: per un integrando periodico i valori delle derivate ai due estremi coincidono e tutti i termini di correzione si cancellano a coppie, lasciando un errore che decresce piu rapidamente di ogni potenza di h.

Questa convergenza spettrale spiega perche i trapezi, apparentemente il metodo piu rozzo, siano in realta lo strumento ottimale per l'analisi di Fourier e la trasformata discreta (DFT), dove i segnali sono periodici per costruzione. La stessa idea rende i trapezi il metodo di elezione per gli integrali di contorno nel piano complesso, dove il cammino chiuso e naturalmente periodico. Un esempio elegante di come un metodo elementare possa eccellere nel contesto giusto.

Aggiornato a luglio 2026