Wie die Sinkgeschwindigkeit einer fallenden Partikel berechnen: Endgeschwindigkeit erreicht, wenn Gravitationskraft F_g = m*g = (4/3)*pi*r^3*(rho_p - rho_f)*g der Widerstandskraft F_d (viskose Reibung) entspricht. Drei Regime: Stokes laminar (Re < 0,1), v_t = 2*g*(rho_p - rho_f)*r^2 / (9*eta) für kleine Partikel in viskosen Flüssigkeiten (Zellsedimentation, Staub); Übergang (0,1 < Re 1000), v_t = sqrt(4*g*d*(rho_p-rho_f)/(3*Cd*rho_f)) mit Cd ~0,44-0,47 für glatte Kugeln. Essentielles Werkzeug für Sedimentation, Regentropfen, atmosphärischen Staub PM10/PM2.5, Fallschirmspringen, Ölraffinerien, Biotech-Zentrifugation, Geotechnik Korngrößenanalyse Böden.

Endgeschwindigkeitsformeln

Stokes-Gesetz (1851): v_t = 2*g*(rho_p - rho_f)*r^2 / (9*eta), nur gültig Re < 0,1 (laminare Strömung). Widerstandsbeiwert Cd = 24/Re. Beispiel: 50 µm Silica-Staub (rho 2500) in Luft (rho 1,225, eta 1,81e-5 Pa*s): v_t = 0,188 m/s. Re = 0,64 (Übergang).

Newton-Turbulenter Bereich: Re > 1000, v_t = sqrt(4*g*d*(rho_p-rho_f)/(3*Cd*rho_f)). Cd konstant ~0,44 glatte Kugeln, 1,0-1,3 offener Fallschirm, 0,3-0,5 menschlicher Körper.

Übergangsbereich (0,1 < Re < 1000): Schiller-Naumann-Korrelation (1933) Cd = 24/Re*(1+0,15*Re^0,687) iterative Interpolation.

Differentialgleichungen: nicht-stationärer Fall m*dv/dt = m*g - 0,5*Cd*rho_f*A*v^2 - V*rho_f*g. Zeit für 99% v_t: t = 4,6*v_t/g für konstantes Cd.

Reynolds-Zahl: Re = rho_f*v*d/eta. Luft 20°C: rho 1,225 kg/m^3, eta 1,81e-5 Pa*s. Wasser: 1000 kg/m^3, 0,001 Pa*s. Motoröl SAE 30: 870, 0,1. Glycerin: 1260, 1,5.

Geschichte und Kontext

George Gabriel Stokes (1819-1903, Cambridge) leitete das Gesetz 1851 in "On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums" (Cambridge Phil Trans 9) ab. Beschreibt laminare Strömung um Kugel in viskoser Flüssigkeit, Grundlage der viskosen Strömungsmechanik. Robert Brown (1827) beobachtete Brownsche Bewegung unter Mikroskop (Pollenkörner), erklärt von Einstein (1905) durch äquivalente Stokes-Einstein-Formel. Schiller-Naumann (1933 Z. ver. Deutsch. Ing. 77:318) schlugen Übergangskorrelation vor. Newton 1687 Principia bereits turbulenter Widerstand. Industrie 21. Jh.: Zementwerke Korngrößenklassifizierung, Eisenhüttenwerke PM10-Erfassung, Pharma-Kristallisation, Biotech-Zellzentrifugation. Deutschland: UBA Umweltbundesamt Luftqualität, BfR Bundesinstitut Risikobewertung, DWD Deutscher Wetterdienst. Globale Luftfiltrations-Industrie > 30 Mrd. USD/Jahr (HEPA-Filter MERV-Bewertungen ASHRAE 52.2). PM2,5 WHO Air Quality Guidelines 2021 Limit: 5 µg/m^3 jährlich (vs 25 EU 2008/50/EC). EPA NAAQS USA 35 µg/m^3 24h. UBA Bundesweites Messnetz.

Typische Endgeschwindigkeiten-Tabelle

• PM2,5 Aerosol (0,001 mm): 0,00003 m/s (Stokes), Atmosphärenresidenz Tage-Wochen
• Feiner PM10-Staub (0,01 mm): 0,003 m/s, Residenz Stunden-Tage
• Blutzelle (0,008 mm): 0,0001 m/s in Plasma, BSG-Wintrobe-Sedimentation
• Nebeltropfen (0,05 mm): 0,07 m/s
• Sprühregen (0,2 mm): 0,8 m/s, Übergang
• Leichter Regen (1 mm): 4,0 m/s, Übergang
• Typischer Regen (3 mm): 8,1 m/s, Newton turbulent
• Starkregen (5 mm): 9,1 m/s
• Hagel 10 mm: 14 m/s = 50 km/h, Vegetationsschäden
• Hagel 50 mm: 30 m/s = 110 km/h, schwere Autoschäden
• Fallschirmspringer Bauchlage: 53 m/s = 190 km/h (Cd 1,0, A=0,7 m^2)
• Fallschirmspringer Tracking: 80-110 m/s = 290-400 km/h (Cd 0,2)
• Felix Baumgartner Red Bull Stratos 2012: 377 m/s = 1.357 km/h Mach 1,25 (39 km Höhe)
• 100 µm Silica-Sand in Wasser: 0,007 m/s (Stokes)
• 10 mm Kies in Wasser: 0,3 m/s (Newton)

Detaillierte numerische Beispiele

Beispiel 1 - 3 mm Regentropfen. Durchmesser 3 mm = 0,003 m. Wasser rho_p = 1000 kg/m^3, Luft rho_f = 1,225 kg/m^3, eta = 1,81e-5 Pa*s. Newton Cd 0,47: v = sqrt(4*9,81*0,003*999/(3*0,47*1,225)) = 8,1 m/s. Re = 1644 turbulent. DWD AMS Konformität.

Beispiel 2 - PM10 Silica-Staub 10 µm. Silica rho 2500 kg/m^3, Luft. Stokes: v = 0,0075 m/s = 27 m/h. Re = 0,005 (Stokes OK). PM10 OSHA NIOSH einatembare Partikel. EU 2008/50/EC PM10 Jahreslimit 40 µg/m^3, UBA bundesweit Messung.

Beispiel 3 - Sandsedimentation in Wasser. 200 µm Silica-Sand in Wasser bei 20°C (rho 1000, eta 1e-3 Pa*s). Stokes: v = 0,0327 m/s = 32,7 mm/s. Re = 6,5 (Übergang). Schiller-Naumann iterativ: Cd ~ 4, v reduziert auf 0,025 m/s. Sedimentationszeit 1 m Höhe: 40 s. DIN EN ISO 17892 Korngrößenanalyse Böden.

Beispiel 4 - Fallschirmspringer freier Fall. Masse 80 kg, Bauchlage Cd=1,0, Frontalfläche 0,7 m^2. v_t = sqrt(2*80*9,81/(1,0*1,225*0,7)) = 42,8 m/s = 154 km/h. Tracking-Position kopfvoran Cd=0,2: 250 m/s in dichter Atmosphäre unmöglich, begrenzt auf hohe verdünnte Luft. Felix Baumgartner Red Bull Stratos 2012 Rekord 377 m/s in 39 km Höhe. DFV Deutscher Fallschirmsportverband.

Beispiel 5 - 30 mm Hagel. Eis rho 916 kg/m^3, Durchmesser 30 mm. Newton Cd 0,47: v = sqrt(4*9,81*0,03*915/(3*0,47*1,225)) = 25 m/s = 90 km/h. Re = 50.000 turbulent OK. Kinetische Energie 0,5*m*v^2: m = 0,013 kg, KE = 4 J = wie Profi-Boxer-Schlag. Auto-Beulen, kaputte Heckscheibe. DWD Wettervorhersage Hagelgrößen-Kriterien.

Grenzen und Überlegungen

1. Stokes nur Re < 0,1 gültig.
2. Nicht-sphärische Partikel: Sauter-Äquivalentdurchmesser oder Sphärizitätsfaktor.
3. Partikelaggregation (Flockenbildung): scheinbare Geschwindigkeit >> Stokes.
4. Cunningham-Schlupfkorrektur für Partikel <1 µm.
5. Wandeffekt: nahe Behältern v reduziert (Faxen 1922).
6. Hohe Konzentration (>5% Volumen): hindered settling Richardson-Zaki.
7. Verformbare Partikel (Tropfen, Blasen): Hadamard-Rybczynski mobile Grenzfläche.
8. Hohe Höhenluft: rho fällt (29% bei 8 km), v_t steigt.
9. Magnus-Effekt auf rotierende Kugeln: laterale Auftriebsentwicklung.
10. Dichte Atmosphären (Venus): v_t viel niedriger als Erde.

Häufige Fehler

1. Stokes über Re 0,1 anwenden (10-30% Fehler Übergang).
2. Durchmesser mit Radius verwechseln.
3. Flüssigkeitsdichte ignorieren.
4. Cunningham-Korrektur für Nano-Partikel vernachlässigen.
5. Konstantes Cd im Übergang.
6. Nicht-sphärische Partikel mit Kugelformel.
7. Hindered Settling bei hohen Konzentrationen ignorieren.
8. v_t in Atmosphäre ohne Höhenkorrektur berechnen.
9. Auftrieb in dichten Flüssigkeiten ignorieren.
10. Transiente Terme nicht berücksichtigen.

Praktische Anwendungen

1. Meteorologie: DWD Regen, Hagel, Schnee, Met Office UK.
2. Luftqualität: PM2,5, PM10 Sedimentation, UBA, EEA, BfR.
3. Labor-Sedimentation: Bodenkorngrößenanalyse, DIN EN ISO 17892-4.
4. Zentrifugation: Blutzellen, Biotech, Percoll/Ficoll-Gradient.
5. Ölindustrie: Fluid Catalytic Cracking FCC Raffinerien.
6. Zementwerke: Klinkerklassifizierung vor Mahlung.
7. Eisenhüttenwerke: PM10-Emissionserfassung Schlauchfilter.
8. Fallschirmspringen: Fallschirmdesign Militär, Sport Zivil, DFV.
9. Vulkanologie: Aschefallout-Dispersion, Tephra-Wolke.
10. Astrophysik: Staubkorn-Sedimentation in protoplanetaren Scheiben, MPIA Heidelberg.

Unterstützung

Fragen: info@calcoi.com. Professionelle Anwendungen: Stokes 1851 Cambridge Phil Trans 9, Schiller-Naumann 1933, Hinds "Aerosol Technology" 2. Aufl. (Wiley 1999), Crowe-Schwarzkopf-Sommerfeld-Tsuji "Multiphase Flows with Droplets and Particles" 2. Aufl. (CRC Press 2011), ANSYS Fluent CFD Particle Tracking Software.

Aktualisiert im Juli 2026