Comment calculer la vitesse terminale Stokes-Newton particule

Calculez vitesse terminale d'une particule en chute dans un fluide. Loi de Stokes (1851) Re<0,1 laminaire, Newton turbulent Re>1000, Schiller-Naumann transition. Exemples pluie, poussiere.

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Comment calculer la vitesse terminale d'une particule en chute: vitesse terminale atteinte quand F gravitationnelle = F drag (frottement visqueux). Trois régimes: Stokes laminaire (Re < 0,1), v_t = 2*g*(rho_p - rho_f)*r^2 / (9*eta) pour petites particules en fluides visqueux; transition (0,1 < Re 1000), v_t = sqrt(4*g*d*(rho_p-rho_f)/(3*Cd*rho_f)) avec Cd ~0,44-0,47. Essentiel sedimentation, gouttes pluie, poussieres PM10/PM2.5 OSHA WHO, parachutisme, raffineries petrole, biotechnologie centrifugation.

Formules vitesse terminale

Loi de Stokes (1851): v_t = 2*g*(rho_p - rho_f)*r^2 / (9*eta), valide seulement Re < 0,1. Cd = 24/Re.

Newton turbulent: Re > 1000, v_t = sqrt(4*g*d*(rho_p-rho_f)/(3*Cd*rho_f)). Cd ~0,44 spheres lisses.

Transition: Schiller-Naumann (1933) Cd = 24/Re*(1+0,15*Re^0,687) iterative.

Reynolds: Re = rho_f*v*d/eta. Air 20°C rho 1,225 kg/m^3, eta 1,81e-5 Pa*s. Eau 1000 kg/m^3, 0,001 Pa*s.

Temps terminal: t99 ~ 4,6*v_t/g. Distance: d = (v_t^2/g)*ln(cosh(g*t/v_t)).

Histoire et contexte

George Gabriel Stokes (1819-1903 Cambridge) derive loi 1851 "On the effect of the internal friction of fluids" Cambridge Phil Trans 9. Brown (1827) observation mouvement brownien pollen, Einstein (1905) explique Stokes-Einstein. Schiller-Naumann (1933) correlation transition. Newton 1687 Principia drag turbulent. Industrie moderne: cimenteries, smelters PM10, pharmacie cristallisation, biotech centrifugation. France: ATMO Air qualite reseau associations regionales, ANSES sante environnement, INERIS Institut National Environnement Risques. Industrie globale filtration air > 30 milliards USD/an. PM2.5 WHO 5 µg/m^3 annuel, UE 2008/50/CE 25, EPA US 35 24h. CITEPA Centre Interprofessionnel Pollution Atmospherique.

Table vitesses terminales typiques

  • PM2,5 aerosol (0,001 mm): 0,00003 m/s, residence jours-semaines
  • PM10 poussiere fine (0,01 mm): 0,003 m/s
  • Cellule sang (0,008 mm): 0,0001 m/s, VS Wintrobe
  • Brouillard (0,05 mm): 0,07 m/s
  • Bruine (0,2 mm): 0,8 m/s
  • Pluie legere (1 mm): 4,0 m/s
  • Pluie typique (3 mm): 8,1 m/s
  • Grele 10 mm: 14 m/s = 50 km/h
  • Grele 50 mm: 30 m/s = 110 km/h
  • Parachutiste spread: 53 m/s = 190 km/h
  • Felix Baumgartner 2012: 377 m/s Mach 1,25 (39 km altitude)
  • Sable 100 µm dans eau: 0,007 m/s

Exemples numériques

Exemple 1 - goutte pluie 3 mm. d=3 mm. Newton Cd 0,47: v = 8,1 m/s. Re = 1644 turbulent. Meteo France monitorage pluie.

Exemple 2 - poussiere PM10 silice 10 µm. Silice 2500 kg/m^3. Stokes: v = 0,0075 m/s. Re=0,005. Conformite UE 2008/50/CE ATMO France.

Exemple 3 - sedimentation sable dans eau. 200 µm silice eau 20°C. Stokes: v = 0,0327 m/s. Re=6,5 transition. Schiller-Naumann v=0,025 m/s. NF EN ISO 17892 granulometrie.

Exemple 4 - parachutiste chute libre. 80 kg spread Cd=1,0 A=0,7 m^2. v_t = 42,8 m/s = 154 km/h. Tracking 250 m/s haute altitude. Felix Baumgartner Red Bull Stratos 2012 record. FFP Federation Francaise Parachutisme.

Exemple 5 - grele 30 mm. Glace 916 kg/m^3, 30 mm. Newton: v = 25 m/s = 90 km/h. KE = 4 J coup boxe. Dommages voitures Meteo France orages.

Limites

  1. Stokes seulement Re < 0,1.
  2. Particules non spheriques: sphericity factor.
  3. Floculation vitesse >> Stokes.
  4. Cunningham slip correction nano.
  5. Effet paroi Faxen 1922.
  6. Hindered settling >5% volume Richardson-Zaki.
  7. Particules deformables Hadamard-Rybczynski.
  8. Altitude: rho air baisse, v_t augmente.
  9. Magnus rotation lift lateral.
  10. Atmospheres denses (Venus) v_t inferieure.

Erreurs courantes

  1. Stokes au-dela Re 0,1.
  2. Confondre diamètre avec rayon.
  3. Ignorer densité fluide.
  4. Oublier Cunningham nano.
  5. Cd constant en transition.
  6. Non spheriques avec sphere formule.
  7. Hindered settling haute concentration.
  8. v_t sans correction altitude.
  9. Buoyancy fluides denses.
  10. Termes transitoires negliges.

Applications pratiques

  1. Meteorologie: Meteo France pluie grele, AMS.
  2. Qualite air: ATMO PM2,5 PM10, INERIS, CITEPA.
  3. Sedimentation lab: NF EN ISO 17892 granulometrie.
  4. Centrifugation: biotech, Percoll/Ficoll.
  5. Petroliere: FCC catalytique raffineries.
  6. Cimenteries: classification clinker.
  7. Smelters: PM10 capture baghouse.
  8. Parachutisme: FFP licence France, FAI.
  9. Volcanologie: OPGC IPGP cendres, Tephra.
  10. Astrophysique: IAS Orsay dust grain disk.

Support

Questions: info@calcoi.com. Applications professionnelles: Stokes 1851 Cambridge, Schiller-Naumann 1933, Hinds "Aerosol Technology" 2e ed (Wiley 1999), Crowe et al "Multiphase Flows" 2e ed (CRC 2011).

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Quand s'applique la loi de Stokes?

Stokes (1851) valide seulement Re < 0,1 (ecoulement laminaire autour sphere, pas séparation couche limite). Typique aerosols PM2,5/PM10 (0,001-0,01 mm), cellules sang, particules nano en fluides visqueux comme sang ou glycerine. Re = rho_f*v*d/eta. Exemple poussiere 10 µm air: Re=0,005 OK Stokes. Goutte pluie 1 mm air: Re=400 PAS valide, utiliser Schiller-Naumann transition ou Newton turbulent. Meteo France monitorage PM10.

Difference entre Stokes et Newton drag?

Stokes (Re1000) ecoulement turbulent: Cd constant ~0,47 spheres lisses. Transition (0,1<Re<1000) Schiller-Naumann iterative Cd = 24/Re*(1+0,15*Re^0,687). Pour conception parachute Cd 1,0-1,3, corps humain belly-down 0,5, fleche 0,1 (aerodynamique). Balle tennis 0,55.

Quelle difference fait la densité du fluide?

Force buoyancy F_b = V*rho_f*g pousse vers le haut, reduisant gravite nette a (rho_p - rho_f)*g. Pour particule dans air (rho 1,225) buoyancy negligeable (0,1% poids). Dans eau (rho 1000) buoyancy importante: sable silice (rho 2500) sedimente a (1500/2500) = 60% rate air. Particules moins denses (bois rho 700 dans eau): ne sedimente pas, flotte. Mercure (rho 13534) presque tout flotte.

Vitesse d'une goutte de pluie?

Goutte 1 mm: Newton, Cd 0,47, v_t = sqrt(4*9,81*0,001*999/(3*0,47*1,225)) = 4,6 m/s = 17 km/h. Goutte 3 mm typique: 8,1 m/s = 29 km/h. Goutte 5 mm grosse: 9,1 m/s = 33 km/h. Limite physique: gouttes >5 mm se brisent en chute par shear (forces drag > tension superficielle eau). Distribution Marshall-Palmer (1948): N(d) = N_0*exp(-Lambda*d) pour intensite precipitation.

Vitesse terminale d'un parachutiste?

Skydiver belly-flat 80 kg, Cd 1,0, aire 0,7 m^2: v_t = sqrt(2*80*9,81/(1,0*1,225*0,7)) = 42,8 m/s = 154 km/h. Tracking head-first Cd 0,2: 95 m/s = 340 km/h. Felix Baumgartner Red Bull Stratos 2012 a 39 km altitude (rho air seulement 0,5% niveau mer): record 377 m/s = 1.357 km/h Mach 1,25. Atmosphere dense: drag augmente exponentiellement.

Temps pour atteindre la vitesse terminale?

Temps 99% v_t: t99 ≈ 4,6 * v_t / g. Pour skydiver v_t 50 m/s: t99 = 23 secondes. Distance parcourue: d = (v_t^2/g)*ln(cosh(g*t/v_t)) ≈ 0,5*g*t99^2 = 2,6 km. En chute libre 12 secondes atteint 99% v_t en pratique. Pour goutte pluie v_t 8 m/s: t99 = 3,8 sec, distance 70 m (hauteurs typiques nuages 1-5 km, atteint facilement v_t).

Comment gerer les particules non spheriques?

Sphericity factor psi = (aire sphere equivalente au volume) / (aire particule réelle). psi=1 sphere, 0,8 cube, 0,5 disque, 0,3 fibre allongee. Cd_non_sphere ≈ Cd_sphere/psi (approximation empirique). Pour sedimentation mineralogique utiliser Wadell sphericity. ASTM E11 mesh sieving classification (4=4,76 mm jusqu'a 400=0,037 mm). Sauter mean diameter d_32 = 6V/A meilleur pour spray polydisperse. ANSYS Fluent CFD particle tracking.

Formule

v_t = 2 * g * (rho_p - rho_f) * r^2 / (9 * eta), Re < 0.1
v_t = sqrt(4 * g * d * (rho_p - rho_f) / (3 * Cd * rho_f)), Re > 1000
Cd = 24/Re * (1 + 0.15 * Re^0.687), 0.1 < Re < 1000 iterative
Re = rho_f * v * d / eta
t99 ≈ 4.6 * v_t / g (constant Cd)
F = (rho_p - rho_f) * V * g (effective gravity)
Stokes 1851 Cambridge Phil Trans 9; Schiller-Naumann 1933; Newton 1687 Principia

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