Stefan-Boltzmann Rechner: P = εσAT⁴, Wien, Schwarzkörper

Berechne Strahlungsleistung P = ε·σ·A·T⁴, Schwarzkörperfluss, Nettoaustausch und Wiensches Gesetz λ_max = b/T. Vier Rechenmodi für die Strahlungsphysik.

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Das Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz besagt, dass die pro Flächeneinheit von einem schwarzen Körper abgestrahlte Gesamtleistung proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur ist: j* = σ·T⁴, mit der Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5,6704·10⁻⁸ W/(m²·K⁴). Inklusive Fläche A und Emissivität ε: P = ε·σ·A·T⁴. Empirisch von Stefan (1879) gefunden und von Boltzmann (1884) hergeleitet; ergibt sich durch Integration der Planckschen Strahlungsformel über alle Wellenlängen.

Emissivität und Schwarzkörper

Die Emissivität ε ∈ [0, 1] misst, wie nah ein realer Körper dem idealen schwarzen Körper kommt. Typische Werte: poliertes Metall ≈ 0,05; menschliche Haut ≈ 0,98; Holz ≈ 0,9; Kohle ≈ 0,95; eloxiertes Aluminium ≈ 0,85. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz gilt im thermischen Gleichgewicht ε = α (Absorptionsgrad) bei jeder Frequenz: gute Strahler sind gute Absorber.

Nettostrahlungsaustausch

Ein Körper bei Temperatur T in einer Umgebung bei T_env tauscht netto die Leistung P_net = ε·σ·A·(T⁴ − T_env⁴) aus. Beispiel: Mensch (ε ≈ 0,98, A ≈ 1,8 m², T_Haut ≈ 306 K) in 293-K-Raum verliert etwa 142 W durch Strahlung, etwa 80 % des Grundumsatzes.

Wiensches Verschiebungsgesetz

λ_max = b/T mit b = 2,898·10⁻³ m·K. Sonne (5772 K) → 502 nm (gelb-grün, maximale Empfindlichkeit des Auges); Erde (288 K) → 10 μm (Infrarot, wichtig für Treibhauseffekt); kosmischer Mikrowellenhintergrund (2,725 K) → 1,06 mm.

Strahlungsleistung der Sonne

Mit T = 5772 K, R = 6,96·10⁸ m: L_☉ = σ·4πR²·T⁴ ≈ 3,83·10²⁶ W. Am Erdort (1 AE) Fluss ≈ 1361 W/m² (Solarkonstante). Gleichgewichtstemperatur der Erde T_eq ≈ 255 K; reale 288 K dank Treibhauseffekt (33 K).

Anwendungen

Kontaktlose Pyrometrie (IR-Thermometer), Thermografie, Weltraumradiatoren, Industrieöfen, Astronomie, passive Nachthimmelkühlung im 8-13-μm-Fenster.

Bedienung

Modi: abgestrahlte Leistung, Nettoaustausch, Wiensches Gesetz, Temperatur aus Leistung. Temperatur in Kelvin (°C + 273,15).

Historische Notizen

Stefan 1879, Boltzmann 1884, Wien 1893, Planck 1900 (Quantisierung), Einstein 1905. Penzias und Wilson 1965: CMB fast perfekter schwarzer Körper bei 2,725 K, Nobelpreis 1978.

Geschichte des Gesetzes und die Stefan-Boltzmann-Konstante

Das Gesetz wurde 1879 empirisch von Josef Stefan entdeckt, der maß, wie die von einem heißen Körper abgestrahlte Leistung mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur wächst. Fünf Jahre später, 1884, gab sein Schüler Ludwig Boltzmann eine strenge theoretische Herleitung durch Verbindung von Thermodynamik und Elektromagnetismus, daher der gemeinsame Name. Die Konstante σ = 5,670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴) ist nicht fundamental, sondern abgeleitet: σ = 2π⁵k⁴/(15h³c²), wobei k die Boltzmann-Konstante, h die Planck-Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Dieser Zusammenhang trat erst 1900 mit dem Planckschen Strahlungsgesetz hervor, das die "Ultraviolettkatastrophe" löste und die Quantenphysik eröffnete.

Von Sternen zum Klima: Anwendungen des T⁴-Gesetzes

Die Abhängigkeit von der vierten Potenz macht das Gesetz äußerst empfindlich: eine Verdopplung der absoluten Temperatur multipliziert die abgestrahlte Leistung mit 16. In der Astrophysik ist die Leuchtkraft eines Sterns L = 4πR²σT⁴: die Sonne, mit einer effektiven Temperatur von etwa 5778 K, strahlt 3,83×10²⁶ W ab. Aus Leuchtkraft und Temperatur ergibt sich der Sternradius. Auf der Erde bestimmt das Gesetz die klimatische Energiebilanz: der Planet absorbiert Sonnenstrahlung und emittiert im Infraroten gemäß σT⁴; der Treibhauseffekt verändert dieses Gleichgewicht, ein zentrales Thema von Klimamodellen. Praktische Anwendungen sind Infrarot-Thermografie, optische Pyrometer für Gießereien und der Entwurf von Lampen und Kühlkörpern.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Stefan-Boltzmann-Gesetz?

Es ist das physikalische Gesetz, nach dem die von einem Körper abgestrahlte thermische Leistung P = εσAT⁴ ist, proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur T (in Kelvin), zur Fläche A und zur Emissivität ε. Es beschreibt, wie viel Energie ein heißer Körper als elektromagnetische Strahlung abgibt.

Warum steht die Temperatur in der vierten Potenz?

Weil die Leistung das Plancksche Gesetz über alle Wellenlängen integriert: das Ergebnis ist proportional zu T⁴. Das macht die Strahlung sehr temperaturempfindlich: eine Verdopplung von T erhöht die Leistung um das 16-fache, eine Verdreifachung um das 81-fache. Deshalb strahlen sehr heiße Körper enorm.

Wie groß ist die Stefan-Boltzmann-Konstante σ?

Sie beträgt σ = 5,670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴). Sie ist nicht fundamental, sondern leitet sich aus anderen ab: σ = 2π⁵k⁴/(15h³c²), mit k der Boltzmann-Konstante, h der Planck-Konstante und c der Lichtgeschwindigkeit. Der Wert ist seit der SI-Neudefinition von 2019 exakt festgelegt.

Was ist die Emissivität?

Die Emissivität ε ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie nah ein realer Körper einem idealen schwarzen Körper (ε = 1) kommt. Poliertes Metall hat ε ≈ 0,05, menschliche Haut ε ≈ 0,98, Ruß ε ≈ 0,95. Materialien mit niedriger Emissivität strahlen bei gleicher Temperatur und Fläche wenig ab.

Was ist ein schwarzer Körper?

Ein schwarzer Körper ist ein idealer Körper, der alle einfallende Strahlung absorbiert und bei jeder Temperatur das Maximum abstrahlt, mit Emissivität ε = 1. Es ist eine nützliche Abstraktion: Sterne und beheizte Hohlräume kommen ihm nahe. Seine Strahlung hängt nur von der Temperatur ab, nicht vom Material.

Welcher Zusammenhang besteht mit dem Wienschen Gesetz?

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt die gesamte abgestrahlte Leistung; das Wiensche Gesetz gibt die Wellenlänge des Emissionsmaximums: λ_max = b/T mit b = 2,898×10⁻³ m·K. Zusammen beschreiben sie, wie viel und in welchen Farben ein heißer Körper strahlt: die Sonne (5778 K) hat ihr Maximum im sichtbaren Grün-Gelb.

Wofür wird es in der Praxis verwendet?

Es dient zur Berechnung der Sternleuchtkraft (L = 4πR²σT⁴), der klimatischen Energiebilanz der Erde, des Wärmeverlusts von Gebäuden und Anlagen, und es liegt der Infrarot-Thermografie und optischen Pyrometern zugrunde, die die Temperatur aus der Strahlungsintensität aus der Ferne messen.

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