Calculateur Stefan-Boltzmann : P = εσAT⁴, Wien, corps noir

Calculez la puissance radiative P = ε·σ·A·T⁴, le flux du corps noir, l'échange net et la loi de Wien λ_max = b/T. Quatre modes pour la physique du rayonnement.

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Loi de Stefan-Boltzmann

La loi de Stefan-Boltzmann énonce que la puissance totale par unité de surface d'un corps noir est proportionnelle à T⁴ : j* = σ·T⁴, avec σ = 5,6704·10⁻⁸ W/(m²·K⁴). Avec surface A et émissivité ε : P = ε·σ·A·T⁴. Découverte empiriquement par Stefan (1879), démontrée par Boltzmann (1884) ; s'obtient en intégrant la distribution spectrale de Planck.

Émissivité

ε ∈ [0, 1]. Métaux polis ≈ 0,05 ; peau humaine ≈ 0,98 ; peinture noire ≈ 0,95. Loi de Kirchhoff : à l'équilibre thermique, émissivité = absorptivité à chaque fréquence.

Échange net

P_net = ε·σ·A·(T⁴ − T_env⁴). Personne à 306 K dans une pièce à 293 K : ≈ 142 W (≈ 80 % du métabolisme basal).

Loi de Wien

λ_max = b/T, b = 2,898·10⁻³ m·K. Soleil 5772 K → 502 nm ; Terre 288 K → 10 μm ; fond cosmique 2,725 K → 1,06 mm.

Puissance solaire

L_☉ = σ·4πR²·T⁴ ≈ 3,83·10²⁶ W. Constante solaire ≈ 1361 W/m² à 1 UA. T_eq terrestre ≈ 255 K ; les 288 K réels proviennent de l'effet de serre.

Applications

Pyrométrie IR, thermographie, radiateurs satellites, fours industriels, astronomie, refroidissement passif nocturne (8-13 μm).

Utilisation

Modes : puissance émise, échange net, loi de Wien, température depuis puissance. Température en kelvin.

Notes historiques

Stefan 1879 (déduit empiriquement des données de Tyndall et Dulong-Petit), Boltzmann 1884 (dérivation thermodynamique avec pression de rayonnement), Wien 1893 (loi du déplacement), Planck 1900 (distribution spectrale B(λ, T) via quantification de l'énergie), Einstein 1905 (photons). Penzias & Wilson 1965 (Nobel 1978) : fond diffus cosmologique, corps noir quasi parfait à 2,725 K, confirmation majeure du modèle du Big Bang.

Utilisation du calculateur

Quatre modes : puissance émise (ε, A, T → P, flux) ; échange net (ε, A, T_corps, T_env → P_net) ; loi de Wien (T → λ_max, ν_max, région spectrale) ; température depuis puissance (P, ε, A → T). Température toujours en kelvin (ajouter 273,15 aux °C). Les résultats incluent le flux (W/m²), la longueur d'onde de pic et la classification spectrale (UV, visible, IR...).

Histoire de la loi et la constante de Stefan-Boltzmann

La loi fut découverte empiriquement par Josef Stefan en 1879, en mesurant comment la puissance rayonnée par un corps chaud croît avec la quatrième puissance de la température absolue. Cinq ans plus tard, en 1884, son élève Ludwig Boltzmann en donna une dérivation théorique rigoureuse combinant thermodynamique et électromagnétisme, d'où le nom conjoint. La constante σ = 5,670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴) n'est pas fondamentale mais dérivée : σ = 2π⁵k⁴/(15h³c²), où k est la constante de Boltzmann, h celle de Planck et c la vitesse de la lumière. Ce lien n'émergea qu'en 1900 avec la loi de Planck du rayonnement du corps noir, qui résolut la "catastrophe ultraviolette" et ouvrit la physique quantique.

Des étoiles au climat : applications de la loi T⁴

La dépendance à la quatrième puissance rend la loi très sensible : doubler la température absolue multiplie par 16 la puissance rayonnée. En astrophysique la luminosité d'une étoile est L = 4πR²σT⁴ : le Soleil, à température effective d'environ 5778 K, rayonne 3,83×10²⁶ W. En mesurant luminosité et température on obtient le rayon stellaire. Sur Terre la loi gouverne le bilan énergétique climatique : la planète absorbe le rayonnement solaire et émet dans l'infrarouge selon σT⁴ ; l'effet de serre altère cet équilibre, thème central des modèles climatiques. Les applications pratiques incluent la thermographie infrarouge, les pyromètres optiques pour fonderies et la conception de lampes et dissipateurs.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la loi de Stefan-Boltzmann ?

C'est la loi physique selon laquelle la puissance thermique rayonnée par un corps est P = εσAT⁴, proportionnelle à la quatrième puissance de la température absolue T (en kelvin), à l'aire A et à l'émissivité ε. Elle décrit combien d'énergie un objet chaud émet sous forme de rayonnement électromagnétique.

Pourquoi la température est-elle à la quatrième puissance ?

Parce que la puissance intègre la loi de Planck sur toutes les longueurs d'onde : le résultat est proportionnel à T⁴. Cela rend le rayonnement très sensible à la température : doubler T augmente la puissance de 16 fois, la tripler de 81. C'est pourquoi les corps très chauds rayonnent énormément.

Quelle est la valeur de la constante de Stefan-Boltzmann σ ?

Elle vaut σ = 5,670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴). Elle n'est pas fondamentale mais dérive d'autres : σ = 2π⁵k⁴/(15h³c²), avec k la constante de Boltzmann, h celle de Planck et c la vitesse de la lumière. La valeur est fixée exactement depuis la redéfinition du SI de 2019.

Qu'est-ce que l'émissivité ?

L'émissivité ε est un nombre entre 0 et 1 indiquant à quel point un corps réel s'approche d'un corps noir idéal (ε = 1). Un métal poli a ε ≈ 0,05, la peau humaine ε ≈ 0,98, la suie ε ≈ 0,95. Les matériaux à faible émissivité rayonnent peu à température et surface égales.

Qu'est-ce qu'un corps noir ?

Un corps noir est un objet idéal qui absorbe tout le rayonnement incident et émet le maximum possible à chaque température, avec une émissivité ε = 1. C'est une abstraction utile : étoiles et cavités chauffées s'en approchent. Son rayonnement ne dépend que de la température, pas du matériau.

Quel rapport avec la loi de Wien ?

La loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance totale rayonnée ; la loi de Wien donne la longueur d'onde du pic d'émission : λ_max = b/T avec b = 2,898×10⁻³ m·K. Ensemble elles décrivent combien et à quelles couleurs émet un corps chaud : le Soleil (5778 K) a son pic dans le vert-jaune visible.

À quoi sert-elle en pratique ?

Elle sert à calculer la luminosité des étoiles (L = 4πR²σT⁴), le bilan énergétique du climat terrestre, la perte thermique des bâtiments et équipements, et fonde la thermographie infrarouge et les pyromètres optiques qui mesurent la température à distance d'après l'intensité du rayonnement.

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