Raketengleichung Rechner (Tsiolkowski)

Berechne Δv, Treibstoffmasse, Massenverhältnis oder spezifischen Impuls mit der Tsiolkowski-Gleichung Δv = Isp·g₀·ln(m₀/mf). Vier Modi mit Schritten.

Berechnungsparameter
Scegli l'incognita da calcolare.
Impulso specifico in secondi. Tipico: ~260 s (solid), 311 s (RP-1/LOX), 450 s (LH2/LOX), 4000 s (propulsione ionica).
Massa totale del razzo al lancio (carico utile + struttura + propellente).
Massa del razzo dopo la combustione del propellente.
Incremento di velocità desiderato. LEO ≈ 9,4 km/s, Luna TLI ≈ 3,2 km/s da LEO, Marte Hohmann ≈ 4,3 km/s.
Accelerazione gravitazionale standard usata per convertire Isp in velocità efficace di scarico.
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Die Raketengleichung von Tsiolkowski

Die Raketengleichung von Tsiolkowski, 1903 vom russischen Physiker Konstantin Tsiolkowski veröffentlicht, ist die grundlegende Beziehung der Raumfahrt. Sie verbindet den Geschwindigkeitszuwachs (Δv) einer Rakete im freien Flug mit ihrem spezifischen Impuls (Isp) und dem Verhältnis von Anfangs- zu Endmasse, unabhängig von lokaler Schwerkraft, Schub oder Flugprofil:

Δv = Isp·g₀·ln(m₀/mf)

  • Δv: Geschwindigkeitsänderung in m/s;
  • Isp: spezifischer Impuls in Sekunden;
  • g₀ = 9,80665 m/s²: konventionelle Umrechnungskonstante;
  • m₀: Gesamtstartmasse;
  • mf: Endmasse nach Brennschluss.

Das Produkt Isp·g₀ ist die effektive Ausströmgeschwindigkeit ve, also die mittlere Geschwindigkeit der ausgestoßenen Gase relativ zur Rakete.

Physikalische Bedeutung

Sie folgt direkt aus der Impulserhaltung: In jedem Moment stößt die Rakete dm mit relativer Geschwindigkeit ve aus und gewinnt ve·dm. Die Integration über die Brennzeit, unter Berücksichtigung der abnehmenden Raketenmasse, liefert den typischen natürlichen Logarithmus.

Die vier Modi

  1. Δv aus Isp, m₀, mf.
  2. Massenverhältnis aus Δv, Isp.
  3. Treibstoffmasse aus Δv, Isp, mf.
  4. Erforderlicher Isp aus Δv und Massenverhältnis.

Typische spezifische Impulse

  • Feststoff: Isp ≈ 260–280 s.
  • RP-1/LOX (Merlin, F-1): Isp ≈ 300–330 s.
  • LH₂/LOX (SSME, Vulcain): Isp ≈ 420–460 s.
  • Ionenantrieb: Isp ≈ 3 000–9 000 s bei sehr geringem Schub.
  • Nuklearthermisch: Isp ≈ 800–1 000 s.

Typische Missions-Δv

  • LEO vom Erdboden: ≈ 9,3–10 km/s.
  • GEO aus LEO: ≈ 3,9 km/s.
  • Mond (TLI): ≈ 3,2 km/s aus LEO.
  • Mars (TMI): ≈ 4,3 km/s aus LEO.

Die Tyrannei der Raketengleichung

Verdopplung von Δv bei gleichem Isp verlangt das Quadrat des Massenverhältnisses. Mit RP-1/LOX (vₑ ≈ 3,05 km/s): Δv = 3 km/s → 2,68; Δv = 6 km/s → 7,19; Δv = 9,4 km/s → 21,8. Deshalb arbeiten reale Raketen in Stufen.

Grenzen

Die Formel gilt im freien Flug ohne Schwerkraft und Atmosphäre. Real kommen Schwerkraftverluste (1,2–1,5 km/s bis LEO) und Luftwiderstandsverluste (200–400 m/s) hinzu. Daher liegt das geforderte Δv bis LEO (≈ 9,4 km/s) über der reinen Orbitalgeschwindigkeit (7,8 km/s).

Mehrere Stufen: wie man die Tyrannei besiegt

Die exponentielle Natur der Tsiolkowski-Gleichung macht es unmoglich, hohe Delta-v-Werte mit einem einzigen Tank zu erreichen: die benotigte Treibstoffmasse wachst uber alle Massen, und ein Grossteil der Energie dient nur der Beschleunigung leerer Tanks. Die Losung, von Tsiolkowski selbst vorausgesehen, ist die Stufenbauweise. Durch Abwerfen verbrauchter Tanks und Triebwerke wahrend des Aufstiegs wirft die Rakete tote Masse ab und beschleunigt nur, was ubrig bleibt.

Mathematisch ist das gesamte Delta-v einer mehrstufigen Rakete die Summe der Delta-v jeder Stufe, jede mit ihrer eigenen Tsiolkowski-Gleichung berechnet. Da jede Stufe mit einer viel kleineren Anfangsmasse startet, verbessert sich das effektive Massenverhaltnis enorm. Deshalb verwenden praktisch alle Orbitaltrager zwei oder drei Stufen: es ist der einzige praktische Weg, die etwa 9,4 km/s Delta-v zu sammeln, die fur die niedrige Erdumlaufbahn mit chemischen Treibstoffen notig sind.

Jenseits der Chemie: elektrischer und nuklearer Antrieb

Der spezifische Impuls chemischer Treibstoffe ist durch die Energie der Molekulbindungen auf bestenfalls etwa 450 Sekunden begrenzt. Um diese Decke zu uberschreiten, braucht es andere physikalische Prinzipien. Elektrische Triebwerke wie Ionen- und Hall-Effekt-Triebwerke beschleunigen Ionen mit elektrischen Feldern und erreichen spezifische Impulse von 2000-5000 Sekunden oder mehr: zehnmal besser als die Chemie, mit enorm reduziertem Treibstoffverbrauch.

Der Preis ist ein sehr geringer Schub in der Grossenordnung von Millinewton: nutzlos beim Start, wo die Schwerkraft in Minuten uberwunden werden muss, aber ideal fur lange interplanetare Reisen, wo ein schwacher, aber kontinuierlicher Schub uber die Zeit enormes Delta-v ansammelt. Sonden wie Dawn und Asteroidenmissionen nutzen diesen Antrieb. Weiter voraus verspricht der nuklear-thermische Antrieb, den chemischen spezifischen Impuls zu verdoppeln und dabei hohen Schub zu behalten, ein attraktiver Kompromiss fur kunftige bemannte Marsreisen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Tsiolkowski-Gleichung?

Es ist die Grundgleichung der Raumfahrt: Delta-v = Isp*g0*ln(m0/mf), die die Geschwindigkeitsanderung einer Rakete mit dem spezifischen Impuls des Treibstoffs und dem Verhaltnis von Anfangs- zu Endmasse verbindet. 1903 von Konstantin Tsiolkowski formuliert, bestimmt sie jede Weltraummission.

Was ist Delta-v?

Es ist die gesamte Geschwindigkeitsanderung, die eine Rakete erzeugen kann, die Grundwahrung der Raumnavigation. Jedes Manover, vom Start bis zum Bahneinschuss, erfordert ein bestimmtes Delta-v. Die niedrige Erdumlaufbahn erfordert etwa 9,4 km/s, eine Marsreise weit mehr.

Was ist der spezifische Impuls?

Es ist ein Mass der Effizienz eines Treibstoffs, in Sekunden ausgedruckt: er gibt an, wie lange ein Kilogramm Treibstoff ein Kilogramm Schub liefern kann. Je hoher der spezifische Impuls, desto weniger Treibstoff wird fur ein gegebenes Delta-v benotigt. Chemische Treibstoffe erreichen etwa 450 Sekunden.

Warum ist die Gleichung "exponentiell"?

Weil das Massenverhaltnis m0/mf exponentiell mit dem benotigten Delta-v wachst: eine Verdopplung des Delta-v verdoppelt nicht den Treibstoff, sondern quadriert ihn. Diese "Tyrannei der Raketengleichung" erklart, warum das Erreichen der Umlaufbahn im Verhaltnis zur Nutzlast riesige Raketen erfordert.

Was ist die Tyrannei der Raketengleichung?

Es ist die Folge ihrer exponentiellen Natur: kleine Erhohungen des Delta-v erfordern unverhaltnismassige Erhohungen von Treibstoff und damit Tanks, Struktur und Gesamtmasse. Deshalb bestehen Trager zu uber 90% aus Treibstoff und nur ein kleiner Teil ist Nutzlast.

Warum haben Raketen mehrere Stufen?

Um die Tyrannei der Gleichung zu besiegen: durch Abwerfen verbrauchter Tanks und Triebwerke entfernt die Rakete tote Masse und verbessert das effektive Massenverhaltnis. Das gesamte Delta-v ist die Summe der Delta-v der einzelnen Stufen, jede mit ihrer Tsiolkowski-Gleichung. Fast alle Trager nutzen 2-3 Stufen.

Wie ubertrifft man den chemischen spezifischen Impuls?

Mit elektrischem Antrieb: Ionen- und Hall-Effekt-Triebwerke beschleunigen Ionen mit elektrischen Feldern und erreichen spezifische Impulse von Tausenden Sekunden. Der Schub ist sehr gering, beim Start nutzlos, aber ideal fur interplanetare Reisen, wo er lange wirkt und grosses Delta-v ansammelt.

Gilt die Gleichung fur jede Rakete?

Sie gilt fur Ruckstossantrieb im Vakuum ohne aussere Krafte. Sie nimmt konstanten Schub und spezifischen Impuls an und vernachlassigt Schwerkraft und Luftwiderstand, die in der Realitat Delta-v-Verluste beim Start hinzufugen. Sie bleibt dennoch das Grundwerkzeug zur Auslegung jeder Mission.

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