Laguerre-Polynome Rechner L_n und Zugehörige

Laguerre-Polynome Rechner L_n(x) und zugehörige L_n^alpha(x): Rekurrenz, Koeffizienten, Gauß-Laguerre-Quadratur und radiale Wellenfunktion Wasserstoffatom.

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Die Laguerre-Polynome

Die Laguerre-Polynome, 1879 von Edmond Laguerre beim Lösen der gleichnamigen DGL eingeführt, bilden eine orthogonale Familie auf [0, inf) mit Gewicht e^(-x). Grundlegend in Quantenmechanik (Wasserstoffatom), statistischer Physik, numerischer Analysis und Warteschlangentheorie.

Differentialgleichung

x L_n''(x) + (1 - x) L_n'(x) + n L_n(x) = 0, L_n(0) = 1. Zugehörige L_n^alpha mit Parameter alpha, Gewicht x^alpha e^(-x).

Rekurrenz

(n+1) L_{n+1} = (2n+1 - x) L_n - n L_{n-1}, L_0=1, L_1=1-x. Zugehörige mit (2n+1+alpha - x) und (n+alpha).

Erste Polynome

  • L_0 = 1
  • L_1 = 1 - x
  • L_2 = (x^2 - 4x + 2) / 2
  • L_3 = (-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) / 6
  • L_4 = (x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24) / 24

Rodrigues-Formel

L_n(x) = (e^x / n!) d^n/dx^n [x^n e^(-x)]. Zugehörige: L_n^alpha(x) = (x^(-alpha) e^x / n!) d^n/dx^n [x^(n+alpha) e^(-x)].

Orthogonalität

integral_0^inf L_m L_n e^(-x) dx = delta_mn. Zugehörige mit x^alpha e^(-x).

Fünf Modi

  1. L_n einfach.
  2. L_n^alpha zugehörig.
  3. Folge L_0..L_n.
  4. Explizite Koeffizienten.
  5. Wasserstoffatom R_{nl}.

Wasserstoffatom

R_{nl}(r) = N_{nl} e^(-r/(n a_0)) (2r/(n a_0))^l L_{n-l-1}^(2l+1)(2r/(n a_0)). Quantenzahl n, Drehimpuls l. Radialknoten: R_{nl} hat n-l-1 Knoten. Grundzustand 1s: n=1, l=0.

Gauß-Laguerre-Quadratur

Knoten x_k Nullstellen von L_n, Gewichte w_k = x_k / ((n+1)^2 L_{n+1}(x_k)^2). integral_0^inf f e^(-x) dx ~ sum w_k f(x_k), exakt für Polynome Grad <= 2n-1.

Anwendungen

  • Quantenmechanik: Wasserstoffatom, isotroper 3D-Oszillator.
  • Statistische Physik: Maxwell-Boltzmann-Verteilungen.
  • Warteschlangentheorie: Erlang und Poisson-Prozesse.
  • Numerische Analysis: Gauß-Laguerre semi-unendlich.
  • Plasmaphysik: kollektive Moden in freier Ladungsdynamik.
  • Mathematische Finance: Optionsbewertung mit exponentiellen Modellen.

Geschichte der Laguerre-Polynome

Die Polynome sind nach dem französischen Mathematiker Edmond Laguerre benannt, der sie 1879 im Rahmen der Theorie der Differentialgleichungen und Kettenbrüche untersuchte. Laguerre, auch für seine Beiträge zur Geometrie und Analysis bekannt, definierte diese Familie orthogonaler Polynome auf dem halbunendlichen Intervall [0, ∞) bezüglich des exponentiellen Gewichts e^(−x). Diese Wahl von Gebiet und Gewicht unterscheidet sie von den Legendre-Polynomen (endliches Intervall) und den Hermite-Polynomen (reelle Achse mit Gaußschem Gewicht). Ihre Bedeutung wuchs im 20. Jahrhundert mit der Quantenmechanik enorm: die assoziierten Laguerre-Polynome erscheinen in der exakten Lösung des Wasserstoffatoms, eines der Triumphe der theoretischen Physik, wo sie den radialen Teil der Wellenfunktionen der Elektronen beschreiben.

Die assoziierten Laguerre-Polynome und das Wasserstoffatom

Neben den einfachen Laguerre-Polynomen gibt es eine allgemeinere Familie, die assoziierten Laguerre-Polynome L_n^α(x), die von einem Parameter α abhängen. Sie erfüllen eine analoge Rekursion und sind mit dem Gewicht x^α·e^(−x) orthogonal. Ihre berühmteste Rolle ist in der Lösung des Wasserstoffatoms in der Quantenmechanik: löst man die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten, so wird der radiale Teil der Elektronenwellenfunktion genau durch die assoziierten Laguerre-Polynome ausgedrückt. Die Hauptquantenzahl n und die azimutale ℓ entsprechen den Indizes des Polynoms. Diese in den 1920er Jahren entdeckte Verbindung machte die Laguerre-Polynome zu einem unverzichtbaren Werkzeug der modernen Atom- und Quantenphysik.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was sind Laguerre-Polynome?

Es ist eine Familie orthogonaler Polynome, auf dem halbunendlichen Intervall [0, ∞) bezüglich des exponentiellen Gewichts e^(−x) definiert. Die ersten sind L₀=1, L₁=1−x, L₂=(x²−4x+2)/2. Sie erfüllen die Laguerresche Differentialgleichung und eine Drei-Term-Rekursion. Sie sind grundlegend in der Quantenmechanik, wo ihre assoziierten Verwandten den radialen Teil der Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms beschreiben.

Was ist die Drei-Term-Rekursion?

Es ist die Beziehung, die jedes Polynom aus den beiden vorhergehenden erzeugt: (k+1)·L_{k+1}(x) = (2k+1−x)·L_k(x) − k·L_{k−1}(x), ausgehend von L₀=1 und L₁=1−x. Es ist die effizienteste und stabilste Methode, sie numerisch zu berechnen, und vermeidet die Ableitungen der Rodrigues-Formel. Für die assoziierten Polynome ist die Rekursion analog, wobei der Parameter α die Koeffizienten verändert.

Was sind die assoziierten Laguerre-Polynome?

Es ist eine von einem Parameter α abhängige Verallgemeinerung, bezeichnet mit L_n^α(x). Sie erfüllen eine ähnliche Rekursion und sind bezüglich des Gewichts x^α·e^(−x) orthogonal. Für α = 0 reduzieren sie sich auf die einfachen Laguerre-Polynome. Sie erscheinen in der Lösung des Wasserstoffatoms, wo der Parameter α mit dem Drehimpuls des Elektrons verbunden ist. Sie werden auch Sonine-Polynome genannt.

Was ist der Zusammenhang mit dem Wasserstoffatom?

Die assoziierten Laguerre-Polynome beschreiben den radialen Teil der Elektronenwellenfunktionen im Wasserstoffatom, gewonnen durch Lösen der Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten. Die Quantenzahlen — Hauptquantenzahl n und azimutale ℓ — bestimmen die Indizes des Polynoms. Diese in den 1920er Jahren gewonnene exakte Lösung war einer der großen Erfolge der Quantenmechanik und machte die Laguerre-Polynome in der Atomphysik zentral.

Was bedeutet Orthogonalität mit exponentiellem Gewicht?

Es bedeutet, dass das Integral des Produkts zweier Laguerre-Polynome verschiedenen Grades, multipliziert mit dem Gewicht e^(−x), auf [0, ∞) null ist: ∫₀^∞ L_m(x)L_n(x)e^(−x)dx = 0 für m ≠ n. Für m = n beträgt das Integral 1. Das schnell abfallende exponentielle Gewicht sichert die Konvergenz auf dem halbunendlichen Intervall und unterscheidet Laguerre von Legendre (endliches Intervall) und Hermite (Gaußsches Gewicht).

Was ist die Gauß-Laguerre-Quadratur?

Es ist eine optimale numerische Integrationsmethode für Integrale der Form ∫₀^∞ f(x)e^(−x)dx über das halbunendliche Intervall. Sie verwendet als Knoten die Nullstellen des Laguerre-Polynoms vom Grad n und passende Gewichte und integriert Polynome bis zum Grad 2n−1 exakt. Sie ist überall dort nützlich, wo Integrale mit exponentiellem Abfall auftreten, etwa bei Laplace-Transformationen, Erwartungswerten von Exponentialverteilungen und in der statistischen Physik.

Was ist die Rodrigues-Formel für Laguerre?

Es ist eine explizite Formel, die die Polynome durch Ableitungen erzeugt: L_n(x) = (eˣ/n!)·dⁿ/dxⁿ(xⁿe^(−x)). Leitet man das Produkt xⁿe^(−x) n-mal ab und normiert, erhält man das n-te Laguerre-Polynom. Sie ist theoretisch elegant und nützlich, um die Eigenschaften zu beweisen, doch für die numerische Berechnung hohen Grades bevorzugt man die stabilere und schnellere Drei-Term-Rekursion.

Wer hat die Laguerre-Polynome eingeführt?

Sie wurden 1879 vom französischen Mathematiker Edmond Laguerre beim Studium von Differentialgleichungen und Kettenbrüchen eingeführt. Ihre Bedeutung wuchs mit der Quantenmechanik des 20. Jahrhunderts, wo die assoziierten Polynome das Wasserstoffatom lösen. Heute sind sie ein Standardwerkzeug in Atom- und Quantenphysik, Approximationstheorie, numerischer Analysis (Gauß-Laguerre-Quadratur) und Wahrscheinlichkeitstheorie.

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