Calculateur Polynomes de Laguerre L_n et Associes

Calculateur polynomes de Laguerre L_n(x) et associes L_n^alpha(x) : recurrence, coefficients, quadrature Gauss-Laguerre et fonction radiale atome hydrogene.

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Les polynomes de Laguerre

Les polynomes de Laguerre, introduits par Edmond Laguerre en 1879 resolvant son EDO eponyme, forment une famille orthogonale sur [0, inf) avec poids e^(-x). Fondamentaux en mecanique quantique (atome d hydrogene), physique statistique, analyse numérique et théorie des files d attente.

Équation differentielle

x L_n''(x) + (1 - x) L_n'(x) + n L_n(x) = 0, L_n(0) = 1. Associes L_n^alpha avec paramètre alpha, poids x^alpha e^(-x).

Recurrence

(n+1) L_{n+1} = (2n+1 - x) L_n - n L_{n-1}, L_0=1, L_1=1-x. Associes avec (2n+1+alpha - x) et (n+alpha).

Premiers polynomes

  • L_0 = 1
  • L_1 = 1 - x
  • L_2 = (x^2 - 4x + 2) / 2
  • L_3 = (-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) / 6
  • L_4 = (x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24) / 24

Formule de Rodrigues

L_n(x) = (e^x / n!) d^n/dx^n [x^n e^(-x)]. Associes : L_n^alpha(x) = (x^(-alpha) e^x / n!) d^n/dx^n [x^(n+alpha) e^(-x)].

Orthogonalite

integral_0^inf L_m L_n e^(-x) dx = delta_mn. Associes avec x^alpha e^(-x).

Cinq modes

  1. L_n simple.
  2. L_n^alpha associe.
  3. Suite L_0..L_n.
  4. Coefficients explicites.
  5. Atome d hydrogene R_{nl}.

Atome d hydrogene

R_{nl}(r) = N_{nl} e^(-r/(n a_0)) (2r/(n a_0))^l L_{n-l-1}^(2l+1)(2r/(n a_0)). Nombre quantique n, moment angulaire l. Noeuds radiaux : R_{nl} a n-l-1 noeuds. Etat fondamental 1s : n=1, l=0.

Quadrature Gauss-Laguerre

Noeuds x_k racines de L_n, poids w_k = x_k / ((n+1)^2 L_{n+1}(x_k)^2). integral_0^inf f e^(-x) dx ~ sum w_k f(x_k), exacte pour polynomes de degré <= 2n-1.

Applications

  • Mecanique quantique : atome d hydrogene, oscillateur isotrope 3D.
  • Physique statistique : distributions Maxwell-Boltzmann.
  • Théorie des files : Erlang et processus de Poisson.
  • Analyse numérique : Gauss-Laguerre semi-infinis.
  • Physique des plasmas : modes collectifs.

Histoire des polynômes de Laguerre

Les polynômes tirent leur nom du mathématicien français Edmond Laguerre, qui les étudia en 1879 dans le cadre de la théorie des équations différentielles et des fractions continues. Laguerre, connu aussi pour ses contributions à la géométrie et à l'analyse, définit cette famille de polynômes orthogonaux sur l'intervalle semi-infini [0, ∞) par rapport au poids exponentiel e^(−x). Ce choix de domaine et de poids les distingue des polynômes de Legendre (intervalle fini) et de Hermite (droite réelle à poids gaussien). Leur importance grandit énormément au XXe siècle avec la mécanique quantique : les polynômes de Laguerre associés apparaissent dans la solution exacte de l'atome d'hydrogène, l'un des triomphes de la physique théorique, où ils décrivent la partie radiale des fonctions d'onde des électrons.

Les polynômes de Laguerre associés et l'atome d'hydrogène

Au-delà des polynômes de Laguerre simples existe une famille plus générale, les polynômes de Laguerre associés L_n^α(x), qui dépendent d'un paramètre α. Ils vérifient une récurrence analogue et sont orthogonaux avec le poids x^α·e^(−x). Leur rôle le plus célèbre est dans la solution de l'atome d'hydrogène en mécanique quantique : en résolvant l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques, la partie radiale de la fonction d'onde de l'électron s'exprime exactement au moyen des polynômes de Laguerre associés. Les nombres quantiques principal n et azimutal ℓ correspondent aux indices du polynôme. Cette connexion, découverte dans les années 1920, fit des polynômes de Laguerre un outil indispensable de la physique atomique et quantique moderne.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Que sont les polynômes de Laguerre ?

Ce sont une famille de polynômes orthogonaux définis sur l'intervalle semi-infini [0, ∞) par rapport au poids exponentiel e^(−x). Les premiers sont L₀=1, L₁=1−x, L₂=(x²−4x+2)/2. Ils vérifient l'équation différentielle de Laguerre et une récurrence à trois termes. Ils sont fondamentaux en mécanique quantique, où leurs parents associés décrivent la partie radiale des fonctions d'onde de l'atome d'hydrogène.

Qu'est-ce que la récurrence à trois termes ?

C'est la relation qui engendre chaque polynôme à partir des deux précédents : (k+1)·L_{k+1}(x) = (2k+1−x)·L_k(x) − k·L_{k−1}(x), en partant de L₀=1 et L₁=1−x. C'est la méthode la plus efficace et stable pour les calculer numériquement, en évitant les dérivées de la formule de Rodrigues. Pour les polynômes associés la récurrence est analogue, avec le paramètre α qui modifie les coefficients.

Que sont les polynômes de Laguerre associés ?

Ce sont une généralisation dépendant d'un paramètre α, notés L_n^α(x). Ils vérifient une récurrence similaire et sont orthogonaux par rapport au poids x^α·e^(−x). Pour α = 0 ils se réduisent aux polynômes de Laguerre simples. Ils apparaissent dans la solution de l'atome d'hydrogène, où le paramètre α est lié au moment cinétique de l'électron. On les appelle aussi polynômes de Sonine.

Quel est le lien avec l'atome d'hydrogène ?

Les polynômes de Laguerre associés décrivent la partie radiale des fonctions d'onde de l'électron dans l'atome d'hydrogène, obtenues en résolvant l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques. Les nombres quantiques — principal n et azimutal ℓ — déterminent les indices du polynôme. Cette solution exacte, obtenue dans les années 1920, fut l'un des grands succès de la mécanique quantique et rendit les polynômes de Laguerre centraux en physique atomique.

Que signifie l'orthogonalité à poids exponentiel ?

Cela signifie que l'intégrale du produit de deux polynômes de Laguerre de degré différent, multiplié par le poids e^(−x), est nulle sur [0, ∞) : ∫₀^∞ L_m(x)L_n(x)e^(−x)dx = 0 pour m ≠ n. Pour m = n l'intégrale vaut 1. Le poids exponentiel, qui décroît rapidement, garantit la convergence sur l'intervalle semi-infini, distinguant Laguerre de Legendre (intervalle fini) et Hermite (poids gaussien).

Qu'est-ce que la quadrature de Gauss-Laguerre ?

C'est une méthode d'intégration numérique optimale pour les intégrales de la forme ∫₀^∞ f(x)e^(−x)dx sur l'intervalle semi-infini. Elle utilise comme nœuds les racines du polynôme de Laguerre de degré n et des poids appropriés, en intégrant exactement les polynômes jusqu'au degré 2n−1. Elle est utile partout où apparaissent des intégrales à décroissance exponentielle, par exemple pour calculer des transformées de Laplace, des espérances de lois exponentielles et en physique statistique.

Qu'est-ce que la formule de Rodrigues pour Laguerre ?

C'est une formule explicite qui engendre les polynômes par dérivées : L_n(x) = (eˣ/n!)·dⁿ/dxⁿ(xⁿe^(−x)). En dérivant n fois le produit xⁿe^(−x) et en normalisant on obtient le n-ième polynôme de Laguerre. Elle est théoriquement élégante et utile pour démontrer les propriétés, mais pour le calcul numérique à haut degré on préfère la récurrence à trois termes, plus stable et rapide.

Qui a introduit les polynômes de Laguerre ?

Ils furent introduits par le mathématicien français Edmond Laguerre en 1879, en étudiant les équations différentielles et les fractions continues. Leur importance grandit avec la mécanique quantique du XXe siècle, où les polynômes associés résolvent l'atome d'hydrogène. Aujourd'hui ils sont un outil standard en physique atomique et quantique, théorie de l'approximation, analyse numérique (quadrature de Gauss-Laguerre) et théorie des probabilités.

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