Hermite-Polynome Rechner H_n und He_n

Hermite-Polynome Rechner H_n(x) Physiker und He_n(x) Probabilist: Rekurrenz, Koeffizienten, Normierung und Wellenfunktionen quantenharmonischer Oszillator.

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Die Hermite-Polynome

Die Hermite-Polynome, 1810 von Laplace eingeführt und 1864 systematisch von Charles Hermite untersucht, bilden eine Familie orthogonaler Polynome auf der gesamten reellen Achse mit Gaußschen Gewichten. Grundlegend in Quantenmechanik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, numerischer Analysis und Signaltheorie.

Zwei Konventionen

  • Physiker H_n(x), Gewicht e^(-x^2): H_0=1, H_1=2x, H_2=4x^2-2, H_3=8x^3-12x.
  • Probabilist He_n(x), Gewicht e^(-x^2/2)/sqrt(2*pi): He_0=1, He_1=x, He_2=x^2-1, He_3=x^3-3x.

Umrechnung: H_n(x) = 2^(n/2) He_n(sqrt(2) x).

Rekurrenzen

Physiker: H_{n+1} = 2x H_n - 2n H_{n-1}.

Probabilist: He_{n+1} = x He_n - n He_{n-1}.

Rodrigues-Formel

H_n(x) = (-1)^n e^(x^2) d^n/dx^n [e^(-x^2)].

He_n(x) = (-1)^n e^(x^2/2) d^n/dx^n [e^(-x^2/2)].

Orthogonalität

integral H_m H_n e^(-x^2) dx = sqrt(pi) 2^n n! delta_mn.

integral He_m He_n e^(-x^2/2) dx = sqrt(2 pi) n! delta_mn.

Quantenharmonischer Oszillator

psi_n(x) = (1/sqrt(2^n n! sqrt(pi))) e^(-x^2/2) H_n(x). Energien E_n = hbar omega (n + 1/2). Grundzustand E_0 = hbar omega/2 (Nullpunktenergie).

Fünf Modi

  1. H_n Physiker.
  2. He_n Probabilist.
  3. Folge H_0..H_n.
  4. Explizite Koeffizienten.
  5. Quantenoszillator.

Statistik

  • Charlier-Edgeworth-Entwicklung für nicht-gaußsche Dichten.
  • Wiener-Ito-Chaos.
  • Stochastische Analysis (Malliavin, Ito).
  • Gauß-Hermite-Quadratur.

Physikalische Anwendungen

  • Quantenharmonischer Oszillator: Eigenfunktionen psi_n von H = -hbar^2 d^2/dx^2/(2m) + (1/2) m omega^2 x^2.
  • Molekülschwingungen: Normalmoden kleiner Oszillatoren um das Potentialminimum.
  • Photonen in optischen Kavitäten: kohärente Zustände und Fock-Zustände.
  • Kernphysik: Kernniveaus im harmonischen Schalenmodell.
  • Lineare Optik: Hermite-Gauß-Ausbreitungsmoden in Lasern und Multimode-Glasfasern.
  • Atomstruktur: Näherungen wasserstoffähnlicher Orbitale.

Geschichte der Hermite-Polynome

Wie in der Mathematik oft geschieht, wurden die Hermite-Polynome unabhängig von mehreren Gelehrten entdeckt. Pierre-Simon Laplace begegnete ihnen bereits 1810 in seinen Studien zur Wahrscheinlichkeit und Fehlertheorie. Der russische Mathematiker Pafnuty Chebyshev untersuchte sie 1859, und schließlich behandelte sie Charles Hermite, der ihnen den Namen gab, 1864 im Detail und entwickelte ihre Orthogonalitätstheorie. Es gibt zwei verschiedene Konventionen, die der Physiker und die der Wahrscheinlichkeitstheoretiker, die sich um eine Skalierung unterscheiden: die erste ist zentral in der Quantenmechanik, die zweite in der Statistik. Ihre Bedeutung wuchs im 20. Jahrhundert mit der Quantenmechanik enorm, wo die Hermite-Polynome die Zustände des harmonischen Oszillators beschreiben, eines der fundamentalen physikalischen Systeme.

Die Hermite-Funktionen und die Fourier-Transformation

Multipliziert man ein Hermite-Polynom mit einer Gaußfunktion, erhält man die Hermite-Funktionen, die eine außergewöhnliche Eigenschaft besitzen: sie sind die Eigenfunktionen der Fourier-Transformation. Mit anderen Worten ist die Fourier-Transformierte einer Hermite-Funktion die Funktion selbst, multipliziert mit einer Potenz der imaginären Einheit. Diese Eigenschaft macht sie zentral in der harmonischen Analysis und der Signalverarbeitung. Die Nullstellen der Hermite-Polynome liefern zudem die Knoten der Gauß-Hermite-Quadratur, der optimalen Methode zur Berechnung von Integralen über die gesamte reelle Achse mit Gaußschem Gewicht, allgegenwärtig in Statistik und Physik. In der Optik beschreiben die Hermite-Gauß-Moden die Form von Laserstrahlen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was sind Hermite-Polynome?

Es ist eine Familie orthogonaler Polynome, auf der gesamten reellen Achse bezüglich des Gaußschen Gewichts e^(−x²) definiert. Es gibt sie in zwei Konventionen: der der Physiker Hₙ (H₀=1, H₁=2x, H₂=4x²−2) und der der Wahrscheinlichkeitstheoretiker Heₙ. Sie sind grundlegend in der Quantenmechanik, wo sie die Zustände des harmonischen Oszillators beschreiben, und in der Statistik. Ihre Orthogonalität mit Gaußschem Gewicht unterscheidet sie von Legendre und Chebyshev.

Was ist der Unterschied zwischen Physiker- und Wahrscheinlichkeitskonvention?

Die beiden Familien unterscheiden sich durch eine Skalierung der Variablen und des Gewichts. Die Polynome der Physiker Hₙ verwenden das Gewicht e^(−x²) und erfüllen Hₙ₊₁ = 2x·Hₙ − 2n·Hₙ₋₁. Die der Wahrscheinlichkeitstheoretiker Heₙ verwenden das Gewicht e^(−x²/2) und erfüllen Heₙ₊₁ = x·Heₙ − n·Heₙ₋₁. Sie sind durch Heₙ(x) = 2^(−n/2)·Hₙ(x/√2) verbunden. Physiker bevorzugen sie in der Quantenmechanik, Statistiker in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Was ist die Drei-Term-Rekursion?

Es ist die Beziehung, die es erlaubt, jedes Polynom aus den beiden vorhergehenden zu berechnen. Für die Polynome der Physiker: Hₙ₊₁(x) = 2x·Hₙ(x) − 2n·Hₙ₋₁(x), ausgehend von H₀=1 und H₁=2x. Es ist die effizienteste und stabilste Methode, sie numerisch zu erzeugen, und vermeidet die Ableitungen der Rodrigues-Formel. Dieselbe Struktur mit anderen Koeffizienten gilt für die Polynome der Wahrscheinlichkeitstheoretiker.

Was ist der Zusammenhang mit dem quantenharmonischen Oszillator?

Die Hermite-Polynome beschreiben die stationären Zustände des quantenharmonischen Oszillators, eines der fundamentalen Systeme der Physik. Die Wellenfunktion des n-ten Energieniveaus ist ψₙ(x) = Nₙ·Hₙ(x)·e^(−x²/2), wobei Nₙ eine Normierungskonstante und Hₙ das Hermite-Polynom der Physiker ist. Die Zahl n entspricht sowohl dem Grad des Polynoms als auch dem Energieniveau, das in gleichen Schritten quantisiert ist.

Was bedeutet Orthogonalität mit Gaußschem Gewicht?

Es bedeutet, dass das Integral des Produkts zweier Hermite-Polynome verschiedenen Grades, multipliziert mit der Gaußfunktion e^(−x²), null ist: ∫Hₘ(x)Hₙ(x)e^(−x²)dx = 0 für m ≠ n. Für m = n beträgt das Integral √π·2ⁿ·n!. Anders als Legendre und Chebyshev, auf einem endlichen Intervall definiert, sind die Hermite-Polynome dank des die Enden dämpfenden Gaußschen Gewichts auf der gesamten reellen Achse orthogonal.

Was ist die Gauß-Hermite-Quadratur?

Es ist eine optimale numerische Integrationsmethode für Integrale der Form ∫f(x)e^(−x²)dx über die gesamte reelle Achse. Sie verwendet als Knoten die Nullstellen des Hermite-Polynoms vom Grad n und passende Gewichte und integriert Polynome bis zum Grad 2n−1 exakt. Sie ist besonders nützlich in Statistik und Physik, wo Integrale mit Gaußschem Gewicht allgegenwärtig sind, etwa bei der Berechnung von Erwartungswerten bezüglich Normalverteilungen.

Wie werden sie in der Statistik verwendet?

Die Hermite-Polynome der Wahrscheinlichkeitstheoretiker sind mit der Normalverteilung verbunden: sie erscheinen in den Edgeworth- und Gram-Charlier-Entwicklungen, die fast normale Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Hinzufügen von Korrekturen für Schiefe und Wölbung annähern. Sie sind auch die Eigenfunktionen des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses und erscheinen im Malliavin-Kalkül. Ihre natürliche Verbindung mit der Gaußfunktion macht sie zu einem Schlüsselwerkzeug der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Wer hat die Hermite-Polynome eingeführt?

Sie wurden unabhängig von mehreren Mathematikern entdeckt: Laplace verwendete sie bereits 1810 in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Chebyshev untersuchte sie 1859, und Charles Hermite entwickelte ihre Theorie 1864 und gab ihnen den Namen. Ihre Bedeutung explodierte im 20. Jahrhundert mit der Quantenmechanik, wo sie den harmonischen Oszillator beschreiben. Heute sind sie ein zentrales Werkzeug in Physik, Statistik, numerischer Analysis und Signaltheorie.

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