Calcolatore Polinomi di Hermite H_n e He_n

Calcolatore polinomi di Hermite H_n(x) fisico e He_n(x) probabilistico: ricorrenza, coefficienti, normalizzazione e funzioni d onda oscillatore armonico.

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I polinomi di Hermite

I polinomi di Hermite, introdotti da Pierre-Simon Laplace nel 1810 e studiati sistematicamente da Charles Hermite nel 1864, sono una famiglia di polinomi ortogonali su tutta la retta reale rispetto a pesi Gaussiani. Sono tra le funzioni speciali più' importanti in meccanica quantistica, probabilità', analisi numerica e teoria dei segnali.

Due convenzioni: fisica e probabilistica

Esistono due convenzioni standard, legate da semplici trasformazioni:

  • Convenzione fisica H_n(x), con peso w(x) = e^(-x^2) su R: H_0=1, H_1=2x, H_2=4x^2-2, H_3=8x^3-12x, H_4=16x^4-48x^2+12.
  • Convenzione probabilistica He_n(x), con peso w(x) = e^(-x^2/2)/sqrt(2*pi): He_0=1, He_1=x, He_2=x^2-1, He_3=x^3-3x, He_4=x^4-6x^2+3.

Conversione: H_n(x) = 2^(n/2) * He_n(sqrt(2) x), equivalente H_n(x) e He_n con riscalamento.

Ricorrenze a tre termini

Le due convenzioni hanno ricorrenze analoghe:

Fisico: H_{n+1}(x) = 2x * H_n(x) - 2n * H_{n-1}(x), H_0=1, H_1=2x

Probabilistico: He_{n+1}(x) = x * He_n(x) - n * He_{n-1}(x), He_0=1, He_1=x

La ricorrenza fisica deriva dalla funzione generatrice exp(2xt - t^2), quella probabilistica da exp(xt - t^2/2).

Formula di Rodrigues

Entrambi i polinomi hanno rappresentazione esplicita:

H_n(x) = (-1)^n * e^(x^2) * d^n/dx^n [e^(-x^2)]

He_n(x) = (-1)^n * e^(x^2/2) * d^n/dx^n [e^(-x^2/2)]

Queste derivano direttamente dalle funzioni generatrici via espansione in serie di Taylor in t.

Ortogonalita' con peso Gaussiano

Le due convenzioni hanno relazioni di ortogonalita':

integral_-inf^inf H_m(x) H_n(x) e^(-x^2) dx = sqrt(pi) * 2^n * n! * delta_mn

integral_-inf^inf He_m(x) He_n(x) e^(-x^2/2) dx = sqrt(2*pi) * n! * delta_mn

Il fattore e^(-x^2) sul dominio (-inf, inf) garantisce la convergenza dell'integrale nonostante la crescita polinomiale. Questa ortogonalita' e' la base per l'espansione in serie di Hermite di funzioni generiche.

Oscillatore armonico quantistico

La più' famosa applicazione: le autofunzioni dell'oscillatore armonico quantistico in meccanica quantistica hanno forma:

psi_n(x) = (1 / sqrt(2^n * n! * sqrt(pi))) * e^(-x^2/2) * H_n(x)

in unità normalizzate (x in unità di sqrt(hbar / (m omega))). Le energie sono E_n = hbar omega (n + 1/2), con n = 0, 1, 2, .... Il punto zero E_0 = hbar omega / 2 e' la 'zero-point energy' tipica della quantizzazione. I polinomi H_n incorporano i nodi della funzione d'onda: psi_n ha esattamente n nodi (zeri) sulla retta reale.

Le cinque modalita'

  1. H_n(x) fisico: convenzione della fisica con peso e^(-x^2).
  2. He_n(x) probabilistico: convenzione statistica con peso e^(-x^2/2)/sqrt(2*pi).
  3. Sequenza H_0..H_n: lista completa per un x.
  4. Coefficienti espliciti: polinomio in forma standard.
  5. Oscillatore quantistico: funzione d'onda psi_n con energia E_n.

Statistica e processi stocastici

I polinomi probabilistici He_n formano una base ortonormale per L^2(R, gaussiana) e sono fondamentali in:

  • Espansione di Charlier-Edgeworth: approssimazione di densità' non-gaussiane tramite correzioni su gaussiana.
  • Chaos di Wiener (Wiener-Ito): decomposizione di variabili casuali funzioni di moto browniano.
  • Calcolo stocastico: risoluzione di SDE con metodo di Malliavin e integrale di Ito.
  • Statistica non parametrica: test di normalita' e stima di densità'.
  • Quadratura di Gauss-Hermite: integrazione numerica di funzioni pesate e^(-x^2).

Applicazioni in fisica

  • Oscillatore armonico quantistico: autofunzioni psi_n di H = -hbar^2 d^2/dx^2 / (2m) + (1/2) m omega^2 x^2.
  • Vibrazioni molecolari: modi normali di piccoli oscillatori attorno al minimo di potenziale.
  • Fotoni in cavita' ottiche: stati coerenti e stati di Fock.
  • Fisica nucleare: livelli del nucleo in shell model armonico.
  • Ottica lineare: modi di propagazione gaussiani (Hermite-Gauss) in laser e fibre ottiche.
  • Struttura atomica: approssimazioni delle orbitali di atomi idrogenoidi.

Storia dei polinomi di Hermite

Come spesso accade in matematica, i polinomi di Hermite furono scoperti indipendentemente da più studiosi. Pierre-Simon Laplace li incontrò già nel 1810 nei suoi studi di probabilità e teoria degli errori. Il matematico russo Pafnuty Chebyshev li studiò nel 1859, e infine Charles Hermite, che diede loro il nome, li trattò in dettaglio nel 1864, sviluppandone la teoria dell'ortogonalità. Esistono due convenzioni distinte, quella dei fisici e quella dei probabilisti, che differiscono per una scalatura: la prima è centrale in meccanica quantistica, la seconda in statistica. La loro importanza crebbe enormemente nel Novecento con la meccanica quantistica, dove i polinomi di Hermite descrivono gli stati dell'oscillatore armonico, uno dei sistemi fisici fondamentali.

Le funzioni di Hermite e la trasformata di Fourier

Moltiplicando un polinomio di Hermite per una gaussiana si ottengono le funzioni di Hermite, che possiedono una proprietà straordinaria: sono le autofunzioni della trasformata di Fourier. In altre parole, la trasformata di Fourier di una funzione di Hermite è la funzione stessa, moltiplicata per una potenza dell'unità immaginaria. Questa proprietà le rende centrali nell'analisi armonica e nel trattamento dei segnali. Le radici dei polinomi di Hermite forniscono inoltre i nodi della quadratura di Gauss-Hermite, il metodo ottimale per calcolare integrali su tutta la retta reale con peso gaussiano, onnipresenti in statistica e fisica. In ottica, i modi di Hermite-Gauss descrivono la forma dei fasci laser.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cosa sono i polinomi di Hermite?

Sono una famiglia di polinomi ortogonali definiti su tutta la retta reale rispetto al peso gaussiano e^(−x²). Esistono in due convenzioni: quella dei fisici Hₙ (Hₙ: H₀=1, H₁=2x, H₂=4x²−2) e quella dei probabilisti Heₙ. Sono fondamentali in meccanica quantistica, dove descrivono gli stati dell'oscillatore armonico, e in statistica. La loro ortogonalità con peso gaussiano li distingue da Legendre e Chebyshev.

Qual è la differenza fra convenzione fisica e probabilistica?

Le due famiglie differiscono per una scalatura della variabile e del peso. I polinomi dei fisici Hₙ usano il peso e^(−x²) e soddisfano Hₙ₊₁ = 2x·Hₙ − 2n·Hₙ₋₁. Quelli dei probabilisti Heₙ usano il peso e^(−x²/2) e soddisfano Heₙ₊₁ = x·Heₙ − n·Heₙ₋₁. Sono legati dalla relazione Heₙ(x) = 2^(−n/2)·Hₙ(x/√2). I fisici li preferiscono in meccanica quantistica, gli statistici nella teoria della probabilità.

Cos'è la ricorrenza a tre termini?

È la relazione che permette di calcolare ogni polinomio dai due precedenti. Per i polinomi dei fisici: Hₙ₊₁(x) = 2x·Hₙ(x) − 2n·Hₙ₋₁(x), partendo da H₀=1 e H₁=2x. È il metodo più efficiente e stabile per generarli numericamente, evitando le derivate della formula di Rodrigues. La stessa struttura, con coefficienti diversi, vale per i polinomi dei probabilisti.

Qual è il legame con l'oscillatore armonico quantistico?

I polinomi di Hermite descrivono gli stati stazionari dell'oscillatore armonico quantistico, uno dei sistemi fondamentali della fisica. La funzione d'onda dell'n-esimo livello energetico è ψₙ(x) = Nₙ·Hₙ(x)·e^(−x²/2), dove Nₙ è una costante di normalizzazione e Hₙ il polinomio di Hermite dei fisici. Il numero n corrisponde sia al grado del polinomio sia al livello di energia, quantizzato in passi uguali.

Cosa significa ortogonalità con peso gaussiano?

Significa che l'integrale del prodotto di due polinomi di Hermite di grado diverso, moltiplicato per la gaussiana e^(−x²), è zero: ∫Hₘ(x)Hₙ(x)e^(−x²)dx = 0 per m ≠ n. Per m = n l'integrale vale √π·2ⁿ·n!. A differenza di Legendre e Chebyshev, definiti su un intervallo finito, i polinomi di Hermite sono ortogonali su tutta la retta reale grazie al peso gaussiano che smorza gli estremi.

Cos'è la quadratura di Gauss-Hermite?

È un metodo di integrazione numerica ottimale per integrali della forma ∫f(x)e^(−x²)dx su tutta la retta reale. Usa come nodi le radici del polinomio di Hermite di grado n e pesi opportuni, integrando esattamente i polinomi fino al grado 2n−1. È particolarmente utile in statistica e fisica, dove gli integrali con peso gaussiano sono onnipresenti, per esempio nel calcolo di valori attesi rispetto a distribuzioni normali.

Come si usano in statistica?

I polinomi di Hermite dei probabilisti sono legati alla distribuzione normale: compaiono nell'espansione di Edgeworth e di Gram-Charlier, che approssimano distribuzioni di probabilità quasi normali aggiungendo correzioni per asimmetria e curtosi. Sono anche le autofunzioni del processo di Ornstein-Uhlenbeck e appaiono nel calcolo di Malliavin. Il loro legame naturale con la gaussiana li rende uno strumento chiave della teoria della probabilità.

Chi ha introdotto i polinomi di Hermite?

Furono scoperti indipendentemente da più matematici: Laplace li usò già nel 1810 in probabilità, Chebyshev li studiò nel 1859, e Charles Hermite ne sviluppò la teoria nel 1864, dando loro il nome. La loro importanza esplose nel Novecento con la meccanica quantistica, dove descrivono l'oscillatore armonico. Oggi sono uno strumento centrale in fisica, statistica, analisi numerica e teoria dei segnali.

Formula

Fisico: H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) - 2n H_{n-1}(x), H_0=1, H_1=2x. Probabilistico: He_{n+1}(x) = x He_n(x) - n He_{n-1}(x). Rodrigues: H_n(x) = (-1)^n e^(x^2) d^n/dx^n [e^(-x^2)]. Ortogonalita: integral H_m H_n e^(-x^2) dx = sqrt(pi) 2^n n! delta_mn.

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