Gauß-Quadratur Rechner (Gauß-Legendre)

Berechne bestimmte Integrale mit Gauß-Legendre-Quadratur. Tabellierte Knoten und Gewichte bis n=10, zusammengesetzte Form und Vergleich mit Simpson 1/3.

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Numero di punti della formula di Gauss-Legendre. Valori supportati: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10. Un Gauss-Legendre n integra esattamente polinomi fino al grado 2n−1.
Solo per composito: divide [a,b] in M parti e applica Gauss-Legendre n-punti in ciascuna.
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Die Gauß-Quadratur

Die Gauß-Quadratur ist eine Familie numerischer Integrationsverfahren, die ein bestimmtes Integral als gewichtete Summe von Funktionswerten an einer minimalen Menge optimal gewählter Punkte approximiert:

∫ab f(x) dx ≈ ((b−a)/2)·∑ wi·f(((b−a)/2)·xi+(b+a)/2)

Die xi sind die Knoten, die wi die Gewichte. Die Formel ist exakt für Polynome bis zum Grad 2n−1, im Gegensatz zu Newton-Cotes (Trapez, Simpson), die mit denselben n+1 Punkten nur Grad n+1 erreichen.

Knoten und Gewichte von Gauß-Legendre

Die häufigste Variante, anwendbar auf jedes [a, b] nach dem Variablenwechsel x = ((b−a)/2)·t + (b+a)/2 auf [−1, 1]. Knoten sind Nullstellen des Legendre-Polynoms Pn(x), Gewichte wi = 2/[(1−xi²)·(Pn′(xi))²]. Tabelliert für n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 auf 16 Stellen.

Die vier Modi

  1. Gauß-Legendre auf [a, b].
  2. Zusammengesetzt: M Teilintervalle mit je n Knoten.
  3. Gauß vs Simpson.
  4. Knoten- und Gewichtetabelle auf [−1, 1].

Warum so genau

Gauß' Einsicht von 1814: 2n freie Parameter (n Knoten + n Gewichte) erlauben 2n Bedingungen — Exaktheit auf 2n Monomen (1, x, …, x^{2n−1}) — was Präzisionsgrad 2n−1 ergibt. Bei n = 5 ist Gauß-Legendre exakt bis Grad 9; Simpson auf denselben 5 äquidistanten Punkten nur bis Grad 3. Für C^∞-Funktionen konvergiert die Gauß-Quadratur exponentiell in n.

Anwendungen

  • Finite-Elemente-Methode: Steifigkeitsmatrizen.
  • Computerphysik: Radialintegrale.
  • Quantitative Finanzmathematik: Optionspreise unter stochastischer Volatilität.
  • Adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur in QUADPACK und SciPy.
  • Maschinelles Lernen: variationelle bayessche Inferenz.

Grenzen

  • Singularitäten: gewichtete Quadraturen Gauß-Tschebyschow oder Gauß-Jacobi.
  • Unendliche Intervalle: Gauß-Hermite (Gewicht e^(−x²)) oder Gauß-Laguerre (Gewicht e^(−x)).
  • Oszillierende Funktionen: Filon oder Levin effizienter.
  • Unstetige Integranden: adaptives Simpson.

Geschichte der Gauß-Quadratur

Die Methode wurde 1814 von Carl Friedrich Gauß eingeführt: er fragte, welche optimale Wahl der Auswertungspunkte die Genauigkeit einer numerischen Integrationsformel maximiert. Die Antwort war überraschend: wählt man als Knoten die Nullstellen der Legendre-Polynome und passende Gewichte, so integriert eine Formel mit n Punkten alle Polynome bis zum Grad 2n−1 exakt, das Doppelte dessen, was äquidistante Knoten leisten würden. Später gab Carl Gustav Jacobi einen eleganteren Beweis und verallgemeinerte die Methode auf andere Familien orthogonaler Polynome. Heute ist die Gauß-Quadratur eine der Säulen der numerischen Analysis und des wissenschaftlichen Rechnens, von der Finite-Elemente-Methode bis zur Computerphysik.

Die Varianten der Gauß-Quadratur

Die Gauß-Legendre-Methode ist nur die bekannteste einer Familie. Ändert man die Gewichtsfunktion im Integral, ergeben sich für verschiedene Probleme geeignete Varianten: die Gauß-Chebyshev-Quadratur verwendet das Gewicht 1/√(1−x²), nützlich für Integranden mit Singularitäten an den Rändern; die Gauß-Hermite integriert über die gesamte reelle Achse mit dem Gewicht e^(−x²), grundlegend in Quantenmechanik und Wahrscheinlichkeitsrechnung; die Gauß-Laguerre integriert über [0, ∞) mit dem Gewicht e^(−x), typisch für Zerfallsprobleme und Transformationen. Alle teilen dasselbe Prinzip: Knoten als Nullstellen orthogonaler Polynome und Genauigkeitsgrad 2n−1, angepasst an Gebiet und Natur des Integranden.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Warum ist Gauß-Legendre bei gleicher Punktzahl genauer als Simpson?

Weil sie sowohl die Gewichte als auch die Lage der Knoten optimiert, während Simpson feste äquidistante Knoten verwendet. Mit n gut gewählten Knoten integriert die Gauß-Formel Polynome bis zum Grad 2n−1 exakt, gegenüber etwa dem Grad n−1 bei Formeln mit festen Knoten. Diese Verdopplung des Genauigkeitsgrades macht Gauß-Legendre bei gleichem Aufwand weit genauer, besonders bei glatten Integranden.

Was sind Legendre-Polynome?

Es ist eine Familie orthogonaler Polynome auf dem Intervall [−1, 1] bezüglich des Einheitsgewichts, bezeichnet mit Pₙ(x). Ihre Nullstellen liefern die optimalen Knoten der Gauß-Quadratur. Sie erfüllen eine Drei-Term-Rekursion und treten in der Physik bei der Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten auf. Ihre Orthogonalität garantiert den Genauigkeitsgrad 2n−1 der Methode.

Warum Transformation auf [−1, 1]?

Weil die Knoten und Gewichte von Gauß-Legendre ein für alle Mal auf dem Standardintervall [−1, 1] tabelliert sind. Um über ein allgemeines Intervall [a, b] zu integrieren, wendet man die lineare Transformation x = ((b−a)/2)·t + (a+b)/2 an, die t von [−1, 1] nach [a, b] abbildet, und multipliziert das Ergebnis mit dem Faktor (b−a)/2. So dient eine einzige Knotentabelle für jedes Integrationsintervall.

Wie viele Knoten für gute Genauigkeit?

Es hängt von der Regularität des Integranden ab. Für glatte Funktionen (Polynome, Exponential-, trigonometrische Funktionen) genügen wenige Knoten: schon 5 oder 6 Punkte erreichen sehr hohe Genauigkeit. Für Funktionen mit schnellen Oszillationen, Ecken oder Fast-Singularitäten braucht man mehr Knoten oder besser die zusammengesetzte Version, die das Intervall unterteilt. Mehr Knoten bei glattem Integranden lassen den Fehler extrem schnell konvergieren.

Was ist die Gauß-Kronrod-Quadratur?

Es ist eine Erweiterung der Gauß-Quadratur, die einer bestehenden Formel Knoten hinzufügt, um mit wenigen zusätzlichen Auswertungen eine zweite Schätzung des Integrals zu erhalten. Die Differenz beider Schätzungen liefert eine Fehlerabschätzung und ermöglicht eine adaptive Integration, die die Knoten nur dort verdichtet, wo es nötig ist. Es ist die Methode hinter automatischen Routinen wie QUADPACK.

Funktioniert sie für uneigentliche Integrale?

Die klassische Gauß-Legendre erfordert ein endliches Intervall und einen beschränkten Integranden. Für Integrale über unendliche Gebiete oder mit an den Rändern divergierenden Integranden sind die Varianten vorzuziehen: Gauß-Laguerre für [0, ∞), Gauß-Hermite für die ganze reelle Achse, Gauß-Chebyshev für Randsingularitäten. Alternativ wendet man eine Variablensubstitution an, die das uneigentliche Integral vor der Nutzung von Gauß-Legendre in ein eigentliches überführt.

Sind mehrdimensionale Integrale möglich?

Ja, durch Anwendung der Produktformel: die Gauß-Regeln entlang jeder Dimension werden kombiniert. Die Kosten wachsen jedoch exponentiell mit der Dimension (nᵈ Auswertungen in d Dimensionen), der sogenannte Fluch der Dimensionalität. Für Integrale in vielen Dimensionen bevorzugt man daher Monte-Carlo-Methoden oder dünne Gitter (Smolyak-Gitter), die die Punktzahl begrenzen und dabei gute Genauigkeit bewahren.

Welche Varianten der Gauß-Quadratur gibt es?

Neben Gauß-Legendre gibt es Varianten mit anderer Gewichtsfunktion: Gauß-Chebyshev mit Gewicht 1/√(1−x²) für Randsingularitäten, Gauß-Hermite mit Gewicht e^(−x²) auf der reellen Achse (in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantenmechanik), Gauß-Laguerre mit Gewicht e^(−x) auf [0, ∞) für Zerfallsprobleme und Gauß-Jacobi für allgemeinere Gewichte. Alle nutzen Nullstellen orthogonaler Polynome und haben den Genauigkeitsgrad 2n−1.

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