Die Farey-Folge

F_n ist die geordnete Folge aller reduzierten Brüche p/q in [0, 1] mit Nenner q <= n. Benannt nach John Farey (1816), obwohl Charles Haros dieselben Ergebnisse 1802 veröffentlichte. Anwendungen in Zahlentheorie, komplexer Dynamik, Ford-Kreisen und rationalen Approximationen.

Beispiele

• F_1 = {0/1, 1/1}
• F_2 = {0/1, 1/2, 1/1}
• F_3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
• F_5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
• |F_n| wächst: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 33...

Kardinalität via Euler

|F_n| = 1 + Sigma_{k=1}^{n} phi(k). Asymptotik: |F_n| ~ 3 n^2 / pi^2. Verbindung zu zeta(2) = pi^2/6.

Mediant-Eigenschaft

mediant(p/q, p'/q') = (p+p')/(q+q'). NICHT das arithmetische Mittel. Sind p/q und p'/q' benachbart in F_n, ist ihr Mediant der Bruch mit kleinstem Nenner strikt zwischen beiden.

Farey-Satz (1816)

Wenn p/q und r/s aufeinanderfolgend in F_n: qr - ps = 1. Farey-Matrizen in SL(2, Z).

Fünf Modi

1. F_n generieren.
2. Kardinalität.
3. Mediant.
4. Nachbarn.
5. Ford-Kreise.

Ford-Kreise

C(p/q): Mittelpunkt (p/q, 1/(2q^2)), Radius 1/(2q^2). Extern tangierend genau dann, wenn Brüche in einem F_n benachbart. Füllt obere Halbebene.

Stern-Brocot

Stern-Brocot-Baum: jede positive rationale Zahl erscheint genau einmal. F_n ist Projektion auf [0,1] von Knoten geeigneter Tiefe.

Historischer Kontext

Charles Haros veröffentlichte die Hauptergebnisse 1802 und nahm Farey (1816) vorweg. Augustin-Louis Cauchy gab 1817 den ersten strengen Beweis. Lester Ford führte 1938 die Ford-Kreise ein. Die Theorie setzte sich mit Hardy-Littlewood, Franel, Landau fort und verband die Farey-Verteilung mit der Riemann-Hypothese.

Anwendungen

• Zahlentheorie: optimale rationale Approximationen, Pell-Gleichung, Kettenbrüche.
• Komplexe Dynamik: Ford-Kreise, Fuchssche Gruppen, modulare Dynamik.
• Kryptographie: Stern-Algorithmus für Koprim-Generatoren.
• Informatik: Bruch-Sortierung, kompakte rationale Darstellungen.
• Physik: rationale Quantenzustände, Resonanzen.
• Musik: reine Stimmung, Oktavteilung, rationale Skalen.

Farey-Folgen und die Riemannsche Vermutung

Eine der tiefsten Verbindungen der Mathematik knupft Farey-Folgen an die Riemannsche Vermutung. Ordnet man die Elemente von F_n als r_1 < r_2 < ... < r_m, so definiert man die Diskrepanz d_i = r_i - i/(m-1) zwischen der tatsachlichen Position und der eines vollkommen gleichmassigen Abstands. Der Satz von Franel-Landau (1924) besagt, dass die Riemannsche Vermutung dazu aquivalent ist, dass die Summe der |d_i| langsamer als n^(1/2+e) fur jedes e > 0 wachst. Anders gesagt: wie regelmassig die Farey-Bruche das Intervall [0,1] fullen, kodiert die Lage der nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion.

Eine aquivalente Formulierung nutzt die Summe der quadrierten Diskrepanzen: RH gilt genau dann, wenn diese Summe O(n^(-1+e)) ist. Diese Kriterien verwandeln ein Problem uber die komplexen Nullstellen von Zeta in eine konkrete, prufbare Frage uber die Verteilung rationaler Zahlen.

Diophantische Approximation und Kettenbruche

Farey-Folgen liefern den naturlichen Algorithmus, um die beste rationale Naherung einer reellen Zahl unter einer Nennerschranke zu finden. Bei einer Schranke n sind die beiden Farey-Nachbarn einer irrationalen Zahl x in F_n die Bruche p/q und r/s mit q,s ≤ n, die x von unten und von oben am nachsten liegen: einer von beiden ist die bestmogliche Naherung unter dieser Bedingung. Der Mediant (p+r)/(q+s) ist genau der nachste Kandidat, den der Stern-Brocot-Algorithmus einfugt, und er erzeugt die Naherungsbruche eines Kettenbruchs.

Deshalb verbindet der Rechner die Modi Mediant, Nachbarn und Stern-Brocot-Baum: sie sind drei Sichten desselben Verfeinerungsprozesses. Die Unimodularitat qr - ps = 1 garantiert, dass jeder gekurzte Bruch genau einmal auftritt und die Naherungsbruche abwechselnd ober- und unterhalb des Zielwerts liegen, die Signatur der optimalen diophantischen Approximation nach dem Satz von Hurwitz.

Aktualisiert im Juli 2026