Fakultät Rechner: n!, Gamma-Funktion, Stirling

Fakultät Rechner n! für Ganzzahlen bis 170. Gamma-Funktion Γ(x), Stirling, Doppelfakultät n!!, Subfakultät !n. Permutationen, Kombinationen.

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Fakultät: n! = n · (n−1) · ... · 1

Die Fakultät einer positiven Ganzzahl n ist das Produkt aller Ganzzahlen von 1 bis n. Konvention: 0! = 1.

Formeln

  • n! = n · (n−1)!
  • Γ(n) = (n−1)!
  • Stirling: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ
  • n!! — Doppelfakultät
  • !n — Subfakultät

Tabelle

nn!
5120
103.628.800
202,43×10¹⁸
1009,33×10¹⁵⁷
1707,26×10³⁰⁶

Beispiele

6 Personen

720 Anordnungen.

Lotto 6/49

13.983.816.

52 Karten

52! ≈ 8×10⁶⁷.

Derangement

!5 = 44.

Gamma-Funktion

Erweiterung auf reelle Zahlen. Γ(1/2) = √π. Euler 1729.

Stirling

n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.

Doppelfakultät

5!! = 15, 6!! = 48.

Subfakultät

Permutationen ohne Fixpunkte. !n/n! → 1/e.

Permutationen und Kombinationen

  • P(n,k) = n!/(n−k)!
  • C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)

Anwendungen

Kombinatorik

  • Lotterien
  • Poker
  • Passwoerter

Statistik

  • Poisson
  • Binomial

Physik

  • Statistische Mechanik
  • Taylor-Reihen

Informatik

  • Rekursive Algorithmen
  • Komplexitaet O(n!)

Taylor-Reihen

e^x = Σ xⁿ/n!.

Geschichte

Kramp (1808): Notation n!. Euler (1729): Gamma. Stirling (1730).

Wissenswertes

  • Endnullen: Σ⌊n/5ᵏ⌋

FAQ

Warum 0! = 1?

Konvention.

Warum explodiert?

Multiplikation Ganzzahlen.

Grosses n!?

BigInt, Stirling, Gamma.

Gamma?

Erweiterung reelle Zahlen.

Doppelfakultät?

Gleiche Paritaet.

Derangements?

Ohne Fixpunkte.

Stirling?

Asymptotische Naeherung.

Haeufige Fehler

  • 0! = 0 (falsch)
  • Nicht-Ganzzahlen (Gamma)
  • Ueberlauf n>170

Die Gamma-Funktion: die Fakultät der reellen Zahlen

Die Fakultät ist nur für nichtnegative ganze Zahlen definiert, aber die Gamma-Funktion Γ, 1729 von Leonhard Euler eingeführt, erweitert sie auf alle reellen und komplexen Zahlen. Ihre Schlüsseleigenschaft ist Γ(n+1) = n! für ganze Zahlen, sodass sie die Fakultät reproduziert, aber auch zwischen den ganzen Zahlen definiert ist. Ein berühmter Wert ist Γ(1/2) = √π, der die Berechnung von "Halb-Fakultäten" wie (1/2)! = √π/2 erlaubt. Die Gamma-Funktion ist unverzichtbar in der Statistik (Gamma-, Beta- und Chi-Quadrat-Verteilung), in der Quantenphysik und in der analytischen Zahlentheorie. Der Rechner wertet sie mit der hochpräzisen Lanczos-Näherung aus.

Spezielle Fakultäten und das explosive Wachstum

Die Fakultät wächst schneller als jede Exponentialfunktion: 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,4×10¹⁸ und 170! ≈ 7,3×10³⁰⁶, die Grenze der Double-Präzision. Es gibt Varianten: die Doppelfakultät n!! = n·(n−2)·(n−4)·... (zum Beispiel 5!! = 15), genutzt in der Kombinatorik; die Subfakultät !n, die Permutationen ohne Fixpunkte (Derangements) zählt, mit der eleganten Eigenschaft !n/n! → 1/e ≈ 0,3679. Für große Werte nutzt man die Stirling-Näherung n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ, deren relativer Fehler wie 1/(12n) abnimmt: nur 0,83% für n = 10 und 0,08% für n = 100. Die Fakultät ist die Grundlage der Kombinatorik: die Permutationen von n Objekten sind n! und die Kombinationen C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!).

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Fakultät einer Zahl?

Die Fakultät von n, geschrieben n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n: n! = n·(n−1)·...·2·1. Zum Beispiel 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Sie zählt die Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Objekte anzuordnen, und ist die Grundgröße der Kombinatorik.

Warum ist 0! = 1?

Per Konvention ist 0! = 1, aus zwei Gründen. Kombinatorisch gibt es genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen (die leere Menge). Formal ist es das leere Produkt, das per Definition 1 ist. Diese Konvention hält Kombinationsformeln und Taylor-Reihen konsistent, wo 0! im Nenner erscheint.

Wie schnell wächst die Fakultät?

Die Fakultät wächst schneller als jede Exponentialfunktion: 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,4×10¹⁸, und 170! ≈ 7,3×10³⁰⁶, die Grenze der Double-Präzision der Computer. Jenseits von 170! läuft der Wert über und man nutzt Näherungen wie die von Stirling.

Was ist die Gamma-Funktion?

Die Gamma-Funktion Γ erweitert die Fakultät auf reelle und komplexe Zahlen. Für ganze Zahlen gilt Γ(n+1) = n!, aber sie ist auch zwischen den ganzen Zahlen definiert: zum Beispiel Γ(1/2) = √π. 1729 von Euler eingeführt, ist sie unverzichtbar in Statistik, Quantenphysik und Zahlentheorie.

Was ist die Stirling-Näherung?

Es ist eine Formel zur Schätzung großer Fakultäten: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ. Der relative Fehler nimmt wie 1/(12n) ab: etwa 0,83% für n = 10 und 0,08% für n = 100. Sie ist grundlegend in Statistik, statistischer Mechanik und asymptotischer Analyse, wo exakte Fakultäten unberechenbar wären.

Was ist die Doppelfakultät?

Die Doppelfakultät n!! ist das Produkt der ganzen Zahlen gleicher Parität wie n bis n: n!! = n·(n−2)·(n−4)·... Zum Beispiel 5!! = 5·3·1 = 15 und 6!! = 6·4·2 = 48. Achtung: n!! ist nicht (n!)!. Sie erscheint in der Kombinatorik, in Dyck-Pfaden und Physik-Integralen.

Wofür wird die Fakultät verwendet?

Die Fakultät ist die Grundlage der Kombinatorik: die Permutationen von n Objekten sind n!, die Kombinationen sind C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!). Sie wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in Taylor-Reihen (wo sie im Nenner erscheint), in Statistik, Kryptografie und jedem Zählproblem verwendet.

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