Il fattoriale: n! = n · (n−1) · (n−2) · ... · 2 · 1

Il fattoriale di un intero positivo n (scritto n!) è il prodotto di tutti gli interi da 1 a n. Convention: 0! = 1. Crescita esplosiva: 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸, 170! ≈ 7,3 × 10³⁰⁶ (limite double precision). Oltre, bisogna usare la funzione Gamma o librerie BigInt. Questo calcolatore offre 5 modalità: fattoriale intero, doppio fattoriale n!!, subfattoriale !n (derangements), funzione Gamma Γ(x) per reali, e approssimazione di Stirling.

Formule fondamentali

• n! = n · (n−1)! (ricorsiva) con 0! = 1
• n! = ∏ᵢ₌₁ⁿ i (prodotto)
• Γ(n) = (n−1)! per interi positivi (funzione Gamma)
• Stirling: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ per n grande
• Doppio: n!! = n·(n−2)·(n−4)·... fino a 2 (pari) o 1 (dispari)
• Subfattoriale: !n = n! · Σₖ₌₀ⁿ (−1)ᵏ/k!

Tabella fattoriali comuni

Esempi pratici numerici

Esempio 1: permutazioni di 6 elementi

In quanti modi posso disporre in fila 6 persone in fila?

• 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 modi
• La prima persona: 6 scelte, la seconda: 5, ..., l'ultima: 1

Esempio 2: combinazioni del Superenalotto

Numero di modi di scegliere 6 numeri da 90:

• C(90,6) = 90! / (6! × 84!) = 622.614.630
• Probabilità vincere: 1 su 622 milioni

Esempio 3: mazzo di carte

Mescolare 52 carte: quanti ordini possibili?

• 52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷
• Più grandi del numero di atomi sulla Terra (10⁵⁰)
• Più mazzi mescolati nella storia umana: ogni mescolata è essenzialmente unica

Esempio 4: derangement (subfattoriale)

In quanti modi 5 persone possono scambiarsi cappelli in modo che nessuno abbia il proprio?

• !5 = 44 modi
• Su 5! = 120 permutazioni totali, il 37% (= 1/e) sono derangement

Esempio 5: Stirling per n=20

Esatto: 20! = 2.432.902.008.176.640.000

Stirling: √(40π) · (20/e)²⁰ ≈ 2.422.786.847.000.000.000

Errore: ~0,42% — molto accurato già per piccoli n

La funzione Gamma Γ(x)

La funzione Gamma è l'estensione del fattoriale a numeri reali (e complessi). Proprietà chiave:

• Γ(n+1) = n! per interi positivi
• Γ(x+1) = x · Γ(x) (ricorsiva)
• Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2
• Γ(1/2) = √π ≈ 1,7725 (valore famoso)
• Γ(3/2) = √π/2, Γ(5/2) = 3√π/4
• Poli a 0, −1, −2, ... (interi non positivi)

Introdotta da Leonhard Euler nel 1729. Calcolo numerico tramite formula di Lanczos (15 cifre di precisione).

Approssimazione di Stirling (1730)

n! ≈ √(2π·n) · (n/e)ⁿ

Più precisa:

n! ≈ √(2π·n) · (n/e)ⁿ · (1 + 1/(12n) + 1/(288n²) − ...)

Errore relativo: ~1/(12n). Per n=10: 0,83%. Per n=100: 0,083%. Per n=1000: 0,008%. Usata in analisi asintotica, meccanica statistica (entropia N!), teoria dei numeri.

Doppio fattoriale n!!

Il doppio fattoriale è il prodotto degli interi con stessa parità di n:

• Dispari: n!! = n · (n−2) · (n−4) · ... · 3 · 1
• Pari: n!! = n · (n−2) · (n−4) · ... · 4 · 2

Esempi: 5!! = 5·3·1 = 15. 7!! = 7·5·3·1 = 105. 6!! = 6·4·2 = 48. 10!! = 10·8·6·4·2 = 3840.

Relazione: (2n)!! = 2ⁿ · n!, (2n−1)!! = (2n)! / (2ⁿ·n!). Usato in combinatoria (triangolazioni poligoni, percorsi di Dyck), fisica (momenti integrali di Gauss).

Subfattoriale !n (derangements)

Il subfattoriale !n conta le permutazioni senza punti fissi ("derangement"):

!n = n! · Σₖ₌₀ⁿ (−1)ᵏ/k!

Equivalentemente: !n = (n−1)·(!(n−1) + !(n−2)).

Valori: !1=0, !2=1, !3=2, !4=9, !5=44, !6=265, !7=1854.

Limite notevole: lim(n→∞) !n/n! = 1/e ≈ 0,3679. Il 37% di qualsiasi permutazione "casuale" è un derangement.

Problema del cappello

N persone depositano il cappello all'ingresso. Al ritorno escono casualmente. Probabilità che nessuno abbia il proprio cappello = !N/N! ≈ 1/e. Per N → ∞ tende a 36,79%.

Permutazioni e combinazioni

Il fattoriale è alla base della combinatoria:

• Permutazioni P(n,k) = n! / (n−k)! (sequenze ordinate di k elementi da n)
• Combinazioni C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!) (selezioni non ordinate)
• Coefficiente binomiale (ⁿₖ) = C(n,k)

Esempio: lotteria 6/49 → C(49,6) = 13.983.816 possibilità.

Applicazioni del fattoriale

Combinatoria e probabilità

• Lotterie (SuperEnalotto, Powerball, EuroMillions)
• Poker: C(52,5) = 2.598.960 mani
• Password: 10 caratteri = 10! = 3,6 milioni (ordinate)
• Percorsi nei grafi
• Anagrammi

Statistica

• Distribuzione di Poisson: P(k) = e^(−λ)·λᵏ/k!
• Distribuzione binomiale: C(n,k)·pᵏ·(1−p)^(n−k)
• Test chi-quadrato
• Approssimazione Stirling in grandi campioni

Fisica e chimica

• Meccanica statistica: entropia di un sistema S = k·log(Ω), Ω con fattoriale
• Teoria quantistica: funzioni d'onda normalizzate
• Sviluppi di Taylor: e^x = Σ xⁿ/n!
• Funzioni speciali (Bessel, Legendre)

Informatica

• Algoritmi ricorsivi (caso base)
• Complessità O(n!): commesso viaggiatore brute force
• Generazione permutazioni
• Test di performance

Ingegneria

• Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
• Controllo qualità statistico
• Affidabilità sistemi

La serie di Taylor con fattoriali

Molte funzioni hanno sviluppi in serie con fattoriali al denominatore:

• e^x = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
• sin(x) = Σ (−1)ⁿ x^(2n+1)/(2n+1)! = x − x³/6 + x⁵/120 − ...
• cos(x) = Σ (−1)ⁿ x^(2n)/(2n)! = 1 − x²/2 + x⁴/24 − ...
• (1+x)^α = Σ C(α,n)·xⁿ (binomio generalizzato)

Storia del fattoriale

Cristopher Clavius (1603): primo uso in testi di matematica ricreativa.

Christian Kramp (1808): introduce la notazione "n!".

Leonhard Euler (1729): estende il fattoriale alla funzione Gamma per reali. Un'impresa straordinaria: generalizzare n! a tutti i numeri.

Carl Friedrich Gauss (1812): notazione Π(n) = Γ(n+1) = n!, poi abbandonata.

James Stirling (1730): approssimazione asintotica.

Srinivasa Ramanujan (1914): serie straordinarie per il calcolo di fattoriali.

Curiosità e record

• Il più grande fattoriale calcolato esattamente: registrato in letteratura matematica, 30.000.000! (con BigInt)
• Numero di cifre di n!: approssimato da log₁₀(n!) = log₁₀(√(2πn)) + n·log₁₀(n/e)
• Fattoriali primi: 0!=1, 1!=1, 2!=2. Oltre: non primi (hanno molti divisori)
• Zeri finali di n!: uguale al numero di 5 nella fattorizzazione. Formula di Legendre: Σⁱₖ₌₁ ⌊n/5ᵏ⌋
• Esempio: 25! ha ⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5+1 = 6 zeri finali

FAQ

Perché 0! = 1?

Per convenzione matematica utile. Formalmente: il prodotto vuoto è 1 (elemento neutro). Permette formule più eleganti: C(n,0) = n!/(0!·n!) = 1 (un solo modo di scegliere "nulla"). Anche consistente con Γ(1) = 1.

Perché n! esplode così velocemente?

Perché moltiplica ogni intero positivo fino a n. 10! = 3,6 milioni, 20! è 18 cifre, 100! ha 158 cifre. Cresce più veloce di qualsiasi esponenziale a^n per a fisso.

Come si calcola n! per n grande?

Tre modi: (

• esatto con BigInt/arbitrary precision (Python, Java BigInteger); (
• approssimazione di Stirling (errore ~1%); (
• funzione Gamma con Lanczos (15 cifre). Per n>170 bisogna usare BigInt perché double precision straborda

Cos'è la funzione Gamma?

L'estensione del fattoriale a numeri reali/complessi: Γ(n) = (n−1)! per interi positivi. Γ(1/2) = √π. Ha poli a 0, −1, −2, ... Uso fondamentale in statistica (distribuzione beta, gamma, chi-quadrato), fisica, teoria dei numeri.

Qual è la differenza tra fattoriale e doppio fattoriale?

n! = n·(n−1)·(n−2)·...·1 (tutti gli interi fino a 1). n!! = n·(n−2)·(n−4)·... (solo stessa parità di n). Es: 5! = 120, 5!! = 15. Sono calcoli diversi.

A cosa servono i derangement (!n)?

Contano le permutazioni senza punti fissi — quando NESSUN elemento è in posizione originale. Applicazioni: problema del cappello, scambio regali segreti, matching di file con id random, crittografia.

Come calcolo rapidamente n! con pochi decimali?

Usa la formula di Stirling: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ. Per n=100: ottieni 9,32×10¹⁵⁷ (vs esatto 9,33×10¹⁵⁷). Errore ~0,08%. Accetabile per la maggior parte delle applicazioni non finanziarie.

Errori comuni

• 0! = 0: FALSO. Per convenzione 0! = 1.
• n! valido per non-interi: solo funzione Gamma lo permette
• Overflow silenzioso: per n>170 in double, JavaScript restituisce Infinity
• Confondere n!! con (n!)!: n!! è doppio fattoriale (dispari/pari), (n!)! è fattoriale del fattoriale (crescita stratosferica)
• Tradurre (-3)!: fattoriale di negativi non definito (Gamma ha poli lì)
• Usare floating point per combinatoria esatta: serve BigInt per precisione

Aggiornato a luglio 2026