Komplexe Zahlen Operationen Rechner (z = a + bi)

Komplexe-Zahlen-Rechner: Arithmetik Addition Subtraktion Produkt Division, Polar- und Euler-Form, De-Moivre-Potenzen, n-te Wurzeln und Euler-Identität.

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Komplexe Zahlen

Komplexe Zahl z = a + bi mit a, b reell und i^2 = -1. Re(z) = a, Im(z) = b. Cardano 1545 für Kubische. Formalisiert von Argand, Gauss, Hamilton.

Arithmetische Operationen

  • Summe: (a + c) + (b + d) i.
  • Differenz: (a - c) + (b - d) i.
  • Produkt: (ac - bd) + (ad + bc) i.
  • Division: ((ac + bd) + (bc - ad) i) / (c^2 + d^2).
  • Konjugierte: z* = a - bi.
  • Betrag: |z| = sqrt(a^2 + b^2).

Polarform

z = r (cos theta + i sin theta). r Betrag, theta Argument = atan2(b, a). Für 1+i: r=sqrt(2), theta=pi/4.

Exponentialform (Euler)

e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta). z = r e^(i theta). theta=pi: e^(i pi) + 1 = 0. Schönste Formel.

Multiplikation polar

z1 z2 = r1 r2 e^(i (theta1 + theta2)). Beträge multiplizieren, Argumente addieren.

Potenzen De Moivre

z^n = r^n e^(i n theta). De Moivre 1730. (1+i)^4 = -4.

n-te Wurzeln

z^n = w hat n Lösungen. z_k = R^(1/n) e^(i (phi + 2pi k)/n). Eckpunkte regelmäßiges n-Eck.

Konjugierte und Betrag

z* = a - bi. (z1 z2)* = z1* z2*. |z| = sqrt(z z*). Dreiecksungleichung.

Komplexe Funktionen

  • e^z = e^a (cos b + i sin b).
  • ln(z) = ln|z| + i arg(z) mehrwertig.
  • sin(z), cos(z) über Exponential.
  • z^w = e^(w ln z).

Anwendungen

  • Elektrotechnik AC-Impedanzen.
  • Quantenmechanik Wellenfunktion.
  • Fourier Kernel e^(i 2pi f t).
  • Fluiddynamik.
  • Signalanalyse.
  • Geometrie Rotationen.
  • Gauß-Primzahlen Z[i].
  • Fraktale Mandelbrot, Julia.

Fundamentalsatz der Algebra

Polynom Grad n in C[x] hat n Wurzeln. Gauss 1799. C algebraisch abgeschlossen.

Geschichte

Cardano 1545. Bombelli 1572. Gauss 1799. Argand 1806. Cauchy 1814. Riemann 1851. Hamilton 1837.

Rechnermodi

Fünf: Arithmetik, Polar, De-Moivre-Potenzen, n-te Wurzeln, Euler-Exponentialform.

Von "imaginaren" Zahlen zur Argand-Gauss-Ebene

Die komplexen Zahlen entstanden nicht, um Zahlen abstrakt zu erweitern, sondern aus konkreter Notwendigkeit im 16. Jahrhundert. Beim Losen kubischer Gleichungen mit der Cardano-Formel stiessen italienische Mathematiker wie Bombelli auf Quadratwurzeln negativer Zahlen, die, obwohl scheinbar sinnlos, formal manipuliert zu korrekten reellen Losungen fuhrten. Es waren unbequeme, verdachtige Grossen, die Descartes abschatzig "imaginar" nannte, ein Name, der das Misstrauen ihnen gegenuber verriet.

Die Legitimierung kam erst drei Jahrhunderte spater mit der geometrischen Deutung. Caspar Wessel, Jean-Robert Argand und vor allem Carl Friedrich Gauss zeigten, dass eine komplexe Zahl a + bi einem Punkt der Ebene entspricht, mit Real- und Imaginarteil als Koordinaten. In dieser Argand-Gauss-Ebene wird die imaginare Einheit i zu einer 90-Grad-Drehung, die Multiplikation zu einer Kombination aus Drehung und Skalierung, und die "imaginaren" Zahlen erhalten eine geometrische Realitat, so konkret wie die der Zahlen auf der Geraden.

Warum C unverzichtbar ist: von Kubiken zur Quantenmechanik

Komplexe Zahlen sind kein Luxus, sondern eine mathematische Notwendigkeit. Der "Casus irreducibilis" der kubischen Gleichungen zeigt den uberraschendsten Fall: hat eine Kubik drei verschiedene reelle Wurzeln, so druckt die Losungsformel sie zwangslaufig uber komplexe Zwischenzahlen aus, die sich erst am Ende aufheben. Es gibt keine Moglichkeit, diese reellen Wurzeln zu erhalten, wenn man in den reellen Zahlen bleibt: der Weg durch C ist unvermeidlich.

In der Physik wird die Rolle der Komplexen noch tiefer. In der Elektrotechnik beschreiben Zeiger (Phasoren) Wechselstrome und -spannungen als rotierende komplexe Zahlen und vereinfachen die Schaltungsanalyse enorm. Doch erst in der Quantenmechanik wird die imaginare Einheit unersetzlich: die Wellenfunktion, die den Zustand eines Teilchens beschreibt, ist intrinsisch komplex, und die Schrodinger-Gleichung enthalt ausdrucklich i. Hier sind komplexe Zahlen kein Rechentrick, sondern ein wesentlicher Bestandteil der Beschreibung der physikalischen Realitat.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine komplexe Zahl?

Es ist eine Zahl der Form a + bi, wobei a der Realteil, b der Imaginarteil und i die imaginare Einheit mit i^2 = -1 ist. Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen und bilden einen Korper, C, in dem jede algebraische Operation stets eine Losung hat.

Wie multipliziert man zwei komplexe Zahlen?

Man wendet die Regel (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i an, indem man das Produkt ausmultipliziert und i^2 = -1 nutzt. In Polarform ist es einfacher: die Betrage multiplizieren sich und die Argumente addieren sich, was die Multiplikation zu einer Drehung mit Skalierung macht.

Was ist die Polarform einer komplexen Zahl?

Es ist die Darstellung z = r(cos theta + i sin theta), wobei r = |z| der Betrag (Abstand vom Ursprung) und theta das Argument (Winkel zur reellen Achse) ist. Sie entspricht der Exponentialform z = r e^(i theta) durch die Eulersche Identitat und ist ideal fur Potenzen und Wurzeln.

Was ist die Eulersche Identitat?

Es ist die Beziehung e^(i theta) = cos theta + i sin theta, die die komplexe Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen verbindet. Ihr Sonderfall fur theta = pi ergibt e^(i pi) + 1 = 0, die schonste Formel der Mathematik, weil sie funf fundamentale Konstanten vereint.

Was ist die Formel von De Moivre?

Sie besagt, dass (r e^(i theta))^n = r^n e^(i n theta): um eine komplexe Zahl zu potenzieren, potenziert man den Betrag und multipliziert das Argument mit dem Exponenten. Von De Moivre 1730 eingefuhrt, ist sie die Grundlage zur Berechnung von Potenzen und n-ten Wurzeln komplexer Zahlen.

Wie berechnet man die n-ten Wurzeln?

Eine komplexe Zahl hat genau n verschiedene n-te Wurzeln, gegeben durch z_k = r^(1/n) e^(i(theta + 2 pi k)/n) fur k von 0 bis n-1. Sie liegen an den Ecken eines regelmassigen n-Ecks mit Zentrum im Ursprung. Zum Beispiel hat z^3 = 1 drei Wurzeln: 1 und die zwei komplexen dritten Einheitswurzeln.

Warum heissen komplexe Zahlen "imaginar"?

Der Name stammt aus historischem Misstrauen: Descartes nannte im 17. Jahrhundert diese scheinbar sinnlosen Grossen "imaginar". Erst mit der geometrischen Deutung von Wessel, Argand und Gauss, die sie als Punkte einer Ebene darstellen, erlangten komplexe Zahlen volle mathematische Legitimitat.

Wozu dienen komplexe Zahlen?

Sie sind in sehr vielen Bereichen unverzichtbar: sie losen Polynomgleichungen (Fundamentalsatz der Algebra), beschreiben Wechselstromkreise uber Zeiger, liegen der Fourier-Transformation und Signalanalyse zugrunde und sind wesentlich in der Quantenmechanik, wo die Wellenfunktion intrinsisch komplex ist.

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