Wie berechnet man den Preis einer Option mit Black-Scholes

Berechne den Preis einer europäischen Option Call/Put mit Black-Scholes: C = S·N(d1) − K·e^(-rT)·N(d2). Griechen Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho. Put-Call-Parität.

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Wie berechnet man den Preis einer Option mit Black-Scholes: für einen europäischen Call C = S·N(d1) − K·e^(-r·T)·N(d2), wobei S der Spot, K der Strike, T Restlaufzeit in Jahren, r risikofreier Zinssatz, σ Volatilität, N standardnormale Verteilungsfunktion. d1 = (ln(S/K) + (r + σ²/2)·T)/(σ·√T), d2 = d1 − σ·√T. Für Put: P = K·e^(-rT)·N(-d2) − S·N(-d1).

Formel und Variablen

Das Black-Scholes-Merton-Modell (BSM) ist der Eckpfeiler der modernen quantitativen Finanzwirtschaft. Variablen: S, K, T (Jahre), r, σ, q (Dividenden). Die Griechen: Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho. Für Devisen Garman-Kohlhagen; für Futures Black 76 verwenden. Modell setzt lognormale Verteilung und konstante Volatilität voraus.

Geschichte

Fischer Black und Myron Scholes veröffentlichten das Modell 1973. Robert Merton erweiterte es. Scholes und Merton erhielten 1997 den Nobelpreis. CBOE startete standardisierte Optionen 1973. Die BaFin in Deutschland und ESMA fordern BSM oder Varianten für Fair Value (IFRS 2) und Margining ISDA.

Die Griechen

  • Delta: ∂P/∂S, Hedge Ratio.
  • Gamma: ∂²P/∂S², Maximum ATM.
  • Vega: ∂P/∂σ.
  • Theta: Zeitwertverfall.
  • Rho: ∂P/∂r.
  • Lambda: Elastizität.
  • Vanna, Charm, Volga: 2. Ordnung.

Rechenbeispiele

Beispiel 1 — ATM 1 Jahr. S=K=100, T=1, r=5%, σ=20%. C=10,45. Delta≈0,64.

Beispiel 2 — ITM Call. S=120, K=100, T=0,5. C≈23,0. Zeitwert 3 €.

Beispiel 3 — OTM Put. S=100, K=80, T=0,25. P≈0,30.

Beispiel 4 — lange Laufzeit. T=5 Jahre. C=27,9.

Beispiel 5 — Put-Call-Parität. C − P = S − K·e^(-rT) = 4,88 verifiziert.

Grenzen

  1. Konstante Volatilität (Smile widerspricht).
  2. Lognormal vs reale Leptokurtik.
  3. Konstanter Zinssatz.
  4. Kontinuierliches Hedging vorausgesetzt.
  5. Keine Transaktionskosten.
  6. Amerikanische: Binomialbäume.
  7. Exotische: PDE oder MC.
  8. Diskrete Dividenden.

Häufige Fehler

  1. T in Tagen vs Jahren.
  2. Historische vs implizite Vol.
  3. Dividenden ignorieren.
  4. Stetiger vs einfacher Zinssatz.
  5. Delta auf falschem S.
  6. Griechen mit N(d1) vs φ(d1).
  7. BS auf amerikanische mit Dividenden.
  8. σ auf einzelnem Strike kalibrieren.

Praktische Anwendungen

  1. Trading-Desks (Optiver, Citadel).
  2. Portfolio-Hedging mit Puts.
  3. Mitarbeiter-Aktienoptionen (IFRS 2).
  4. Risk Management (VaR).
  5. Implizite Volatilitätsoberfläche Bloomberg.
  6. Realoptionen.
  7. Wandelanleihen.
  8. FX-Optionen Garman-Kohlhagen.
  9. Strukturierte Produkte Retail.
  10. Quantitative Finanzlehre.

Support

Fragen: info@calcoi.com. Lernwerkzeug.

Die Griechen: die Sensitivitaten einer Option messen

Der Preis, den die Black-Scholes-Formel liefert, ist nur der Ausgangspunkt; um eine Option in der Praxis zu steuern, braucht man die sogenannten Griechen, die messen, wie sich dieser Preis bei Anderungen jedes Faktors verandert. Das Delta gibt an, um wie viel sich der Wert der Option andert, wenn sich der Basiswert bewegt, und ist die Grundlage der Delta-neutralen Absicherung. Das Gamma misst, wie sich das Delta selbst andert, also die Krummung des Preises, und zeigt an, wie schnell die Absicherung nachjustiert werden muss.

Die ubrigen Griechen vervollstandigen das Bild. Das Vega quantifiziert die Empfindlichkeit gegenuber der Volatilitat, entscheidend, weil die Volatilitat der einzige nicht direkt beobachtbare Parameter ist. Das Theta misst den Zeitwertverfall: eine Option verliert an Wert, je naher der Verfall ruckt, und diese Erosion beschleunigt sich zum Ende. Das Rho erfasst die Wirkung der Zinssatze. Handler kombinieren diese Masse, um Portfolios gegen einen oder mehrere Risiken zugleich abzusichern, und deshalb sind die Griechen das praktische Herz des Optionsmanagements.

Die Formel, die den Nobelpreis gewann, und ihre Annahmen

Das Modell wurde 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton veroffentlicht und brachte Scholes und Merton 1997 den Wirtschaftsnobelpreis ein (Black war verstorben). Ihre revolutionare Idee war zu zeigen, dass man durch eine dynamische Absicherung ein Portfolio bauen kann, das die Option nachbildet und das Risiko ausschaltet, was einen einzigen fairen Preis erzwingt, ohne die Renditeerwartungen des Basiswerts zu kennen. Es war die Geburt der modernen quantitativen Finanzwelt.

Wie jedes Modell beruht es auf Annahmen, die die Realitat nicht ganz erfullt: konstante Volatilitat, lognormale Renditen, keine Transaktionskosten und stetiger Handel. Reale Markte zeigen das sogenannte Volatilitatslacheln, dicke Rander und abrupte Preissprunge, die das Modell nicht erfasst. Der Zusammenbruch des Fonds LTCM 1998, teils von den Nobelpreistragern selbst geleitet, war eine Erinnerung, dass keine Formel das gute Urteil uber ihre Grenzen ersetzt. Dennoch bleibt Black-Scholes die gemeinsame Sprache der Optionen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Black-Scholes-Modell?

Es ist die Formel, die den theoretischen Preis einer europaischen Option berechnet. Fur eine Call ist es C = S N(d1) - K e^(-rT) N(d2), wobei S der Basiswertpreis, K der Strike, T die Restlaufzeit, r der risikofreie Zins, sigma die Volatilitat und N die Normalverteilungsfunktion ist. 1973 veroffentlicht, gewann es 1997 den Nobelpreis.

Was stellen d1 und d2 dar?

Es sind zwei Zwischenparameter der Formel. d1 = (ln(S/K) + (r + sigma^2/2)T)/(sigma Wurzel(T)) und d2 = d1 - sigma Wurzel(T). N(d2) ist die Wahrscheinlichkeit in der risikoneutralen Welt, dass die Option im Geld verfallt, wahrend N(d1) mit dem Delta und der Basiswertkomponente des Preises verbunden ist.

Was sind die Griechen?

Es sind die Sensitivitaten des Optionspreises gegenuber den verschiedenen Faktoren. Das Delta misst die Anderung gegenuber dem Basiswert, das Gamma die Anderung des Delta, das Vega die Empfindlichkeit gegenuber der Volatilitat, das Theta den Zeitwertverfall und das Rho die Zinsempfindlichkeit. Sie sind das praktische Werkzeug zur Absicherung und Risikosteuerung.

Was ist die implizite Volatilitat?

Es ist der Volatilitatswert, der, in die Black-Scholes-Formel eingesetzt, den beobachteten Marktpreis der Option reproduziert. Anders als die historische Volatilitat wird sie "ruckwarts" aus den Preisen gewonnen. Ihre Variation mit dem Strike erzeugt das sogenannte Volatilitatslacheln, eine Abweichung vom Originalmodell.

Was ist die Put-Call-Paritat?

Es ist die Beziehung C - P = S e^(-qT) - K e^(-rT), die die Preise einer europaischen Call und Put mit gleichem Strike und Verfall verbindet. Sie folgt aus einem einfachen No-Arbitrage-Argument und gilt unabhangig vom Modell. Der Rechner pruft sie automatisch als Konsistenzkontrolle.

Berucksichtigt das Modell Dividenden?

Ja. Diese Implementierung nutzt Mertons Version mit Dividendenrendite q: der Basiswertpreis wird um den Faktor e^(-qT) diskontiert. Fur Optionen auf Aktienindizes oder auf Wahrungen (mit Garman-Kohlhagen) ist diese Korrektur wesentlich, weil Dividenden den Wert von Calls verringern.

Was sind die Grenzen des Modells?

Es setzt konstante Volatilitat, lognormale Renditen, keine Transaktionskosten und stetigen Handel voraus. Reale Markte zeigen ein Volatilitatslacheln, dicke Rander und Preisprunge, die das Modell nicht erfasst. Es gilt nur fur europaische Optionen, nicht fur amerikanische, die vor Verfall ausgeubt werden konnen.

Wo wird das Black-Scholes-Modell verwendet?

Im Optionshandel und der Portfolioabsicherung, bei der Bewertung von Mitarbeiteraktienoptionen, im Risikomanagement (VaR), beim Aufbau impliziter Volatilitatsflachen, bei Realoptionen, Wandelanleihen und strukturierten Produkten. Es ist der Eckstein der quantitativen Finanzwelt.

Formel

C = S \cdot N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2), \quad d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}

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