Cómo calcular el precio de una opción con Black-Scholes

Calcula el precio de una opción europea call/put con Black-Scholes: C = S·N(d1) − K·e^(-rT)·N(d2). Griegas delta, gamma, vega, theta, rho. Paridad call-put.

Parámetros de cálculo
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Cómo calcular el precio de una opción con Black-Scholes: para una call europea C = S·N(d1) − K·e^(-r·T)·N(d2), donde S es el spot, K el strike, T tiempo a vencimiento en años, r tasa libre de riesgo, σ volatilidad, N CDF normal estándar. d1 = (ln(S/K) + (r + σ²/2)·T)/(σ·√T), d2 = d1 − σ·√T. Para put: P = K·e^(-rT)·N(-d2) − S·N(-d1).

Fórmula y variables

El modelo Black-Scholes-Merton (BSM) es la piedra angular de las finanzas cuantitativas. Variables: S, K, T (años), r, σ, q (dividendos). Las griegas: delta, gamma, vega, theta, rho. Para FX usar Garman-Kohlhagen; para futuros Black 76. Modelo asume distribución lognormal y volatilidad constante.

Historia

Fischer Black y Myron Scholes publicaron el modelo en 1973. Robert Merton lo extendió. Scholes y Merton ganaron el Nobel 1997. CBOE inició opciones estándar en 1973. La CNMV en España y ESMA requieren BSM o variantes para fair value (NIIF 2) y margining ISDA.

Las griegas

  • Delta: ∂P/∂S, hedge ratio.
  • Gamma: ∂²P/∂S², máxima ATM.
  • Vega: ∂P/∂σ.
  • Theta: time decay.
  • Rho: ∂P/∂r.
  • Lambda: elasticidad.
  • Vanna, Charm, Volga: 2º orden.

Ejemplos numéricos

Ejemplo 1 — ATM 1 año. S=K=100, T=1, r=5%, σ=20%. C=10,45. Delta≈0,64.

Ejemplo 2 — ITM call. S=120, K=100, T=0,5. C≈23,0. Time value 3 €.

Ejemplo 3 — OTM put. S=100, K=80, T=0,25. P≈0,30.

Ejemplo 4 — larga duración. T=5 años. C=27,9.

Ejemplo 5 — paridad call-put. C − P = S − K·e^(-rT) = 4,88 verificado.

Limitaciones

  1. Volatilidad constante (contradicha por smile).
  2. Lognormal vs leptocúrtica real.
  3. Tasa constante.
  4. Hedging continuo asume.
  5. Sin costes transacción.
  6. Americanas: necesitan binomial.
  7. Exóticas: PDE o MC.
  8. Dividendos discretos.

Errores comunes

  1. T en días vs años.
  2. Vol histórica vs implícita.
  3. Ignorar dividendos.
  4. Tasa continua vs simple.
  5. Delta en S erróneo.
  6. Griegas con N(d1) vs φ(d1).
  7. BS a americanas con dividendos.
  8. Calibrar σ en strike único.

Aplicaciones prácticas

  1. Trading desks (Optiver, Citadel).
  2. Hedging cartera con puts.
  3. Stock options empleados (NIIF 2).
  4. Risk management (VaR).
  5. Superficie volatilidad implícita Bloomberg.
  6. Real options.
  7. Bonos convertibles.
  8. Opciones FX Garman-Kohlhagen.
  9. Productos estructurados retail.
  10. Docencia finanzas cuantitativas.

Soporte

Preguntas: info@calcoi.com. Herramienta educativa.

Las griegas: medir las sensibilidades de una opcion

El precio que da la formula de Black-Scholes es solo el punto de partida; para gestionar una opcion en la practica hacen falta las llamadas griegas, que miden como cambia ese precio ante variaciones de cada factor. La delta indica cuanto varia el valor de la opcion cuando se mueve el activo subyacente, y es la base de la cobertura delta-neutral. La gamma mide como cambia la propia delta, es decir la curvatura del precio, y advierte de cuan rapido hay que reajustar la cobertura.

Las demas griegas completan el cuadro. La vega cuantifica la sensibilidad a la volatilidad, crucial porque la volatilidad es el unico parametro no observable directamente. La theta mide el desgaste temporal: una opcion pierde valor a medida que se acerca el vencimiento, y esa erosion se acelera al final. La rho recoge el efecto de los tipos de interes. Los operadores combinan estas medidas para construir carteras cubiertas frente a uno o varios riesgos a la vez, y por eso las griegas son el corazon practico de la gestion de opciones.

La formula que gano el Nobel y sus supuestos

El modelo fue publicado en 1973 por Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton, y valio a Scholes y Merton el premio Nobel de economia en 1997 (Black habia fallecido). Su idea revolucionaria fue mostrar que, mediante una cobertura dinamica, se puede construir una cartera que replica la opcion y elimina el riesgo, lo que fuerza un unico precio justo sin necesidad de conocer las expectativas de rentabilidad del activo. Fue el nacimiento de las finanzas cuantitativas modernas.

Como todo modelo, se apoya en supuestos que la realidad no cumple del todo: volatilidad constante, rendimientos lognormales, ausencia de costes de transaccion y negociacion continua. Los mercados reales muestran la llamada sonrisa de volatilidad, colas gruesas y saltos bruscos de precio que el modelo no captura. El colapso en 1998 del fondo LTCM, dirigido en parte por los propios premios Nobel, fue un recordatorio de que ninguna formula sustituye al buen juicio sobre sus limites. Aun asi, Black-Scholes sigue siendo el lenguaje comun de las opciones.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es el modelo de Black-Scholes?

Es la formula que calcula el precio teorico de una opcion europea. Para una call vale C = S N(d1) - K e^(-rT) N(d2), donde S es el precio del subyacente, K el strike, T el tiempo a vencimiento, r la tasa libre de riesgo, sigma la volatilidad y N la funcion de distribucion normal. Publicada en 1973, gano el Nobel en 1997.

Que representan d1 y d2?

Son dos parametros intermedios de la formula. d1 = (ln(S/K) + (r + sigma^2/2)T)/(sigma raiz(T)) y d2 = d1 - sigma raiz(T). N(d2) es la probabilidad, en el mundo neutral al riesgo, de que la opcion venza in the money, mientras que N(d1) esta ligado a la delta y a la componente del subyacente en el precio.

Que son las griegas?

Son las sensibilidades del precio de una opcion a los distintos factores. La delta mide la variacion respecto al subyacente, la gamma la variacion de la delta, la vega la sensibilidad a la volatilidad, la theta el desgaste temporal y la rho la sensibilidad a los tipos. Son la herramienta practica para cubrir y gestionar el riesgo.

Que es la volatilidad implicita?

Es el valor de volatilidad que, introducido en la formula de Black-Scholes, reproduce el precio de mercado observado de la opcion. A diferencia de la volatilidad historica, se obtiene "hacia atras" de los precios. Su variacion con el strike genera la llamada sonrisa de volatilidad, una desviacion del modelo original.

Que es la paridad put-call?

Es la relacion C - P = S e^(-qT) - K e^(-rT) que liga los precios de una call y una put europeas con el mismo strike y vencimiento. Deriva de un simple argumento de no arbitraje y vale independientemente del modelo. La calculadora la verifica automaticamente como control de coherencia.

El modelo considera los dividendos?

Si. Esta implementacion usa la version de Merton con rendimiento por dividendos q: el precio del subyacente se descuenta por el factor e^(-qT). Para las opciones sobre indices bursatiles o sobre divisas (con Garman-Kohlhagen) esta correccion es esencial, porque los dividendos reducen el valor de las call.

Cuales son los limites del modelo?

Supone volatilidad constante, rendimientos lognormales, ausencia de costes de transaccion y negociacion continua. Los mercados reales muestran sonrisa de volatilidad, colas gruesas y saltos de precio que el modelo no captura. Solo vale para opciones europeas, no para las americanas ejercibles antes del vencimiento.

Donde se usa el modelo de Black-Scholes?

En el trading de opciones y la cobertura de carteras, en la valoracion de las stock options a empleados, en la gestion del riesgo (VaR), en la construccion de las superficies de volatilidad implicita, en las opciones reales, en los bonos convertibles y en los productos estructurados. Es la piedra angular de las finanzas cuantitativas.

Fórmula

C = S \cdot N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2), \quad d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}

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