Benfordsches Gesetz führende Ziffer berechnen

Berechne Benfordsches Gesetz P(d)=log10(1+1/d) führende signifikante Ziffer. P(1)=30,10%, P(9)=4,58%. Geschichte Newcomb 1881 Benford 1938. Anwendungen Betrugserkennung BZSt Bonn Steuerprüfung.

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Wie berechnet man das Benfordsche Gesetz: kontraintuitive Wahrscheinlichkeitsverteilung der führenden signifikanten Ziffer in natürlichen Datensätzen. Formel: P(d) = log10(1 + 1/d) für d=1..9. P(1)=30,10%, P(2)=17,61%, P(3)=12,49%, P(4)=9,69%, P(5)=7,92%, P(6)=6,69%, P(7)=5,80%, P(8)=5,12%, P(9)=4,58%. Ziffer 1 erscheint 6-mal häufiger als Ziffer 9. Geschichte: Simon Newcomb (Kanada-USA 1835-1909) US Naval Observatory Washington DC 1881 American Journal Mathematics. Frank Benford (USA 1883-1948) General Electric GE Schenectady NY 1938 mit 20229 Zahlen aus 20 verschiedenen Datensätzen. Anwendungen: Betrugserkennung Steuerprüfung BZSt Bundeszentralamt Steuern Bonn, Geldwäscheprävention FIU Financial Intelligence Unit Köln, BaFin Bundesanstalt Finanzdienstleistungsaufsicht Bonn-Frankfurt Wertpapieraufsicht, Wahlbetrug-Analyse, wissenschaftliche Datenintegrität, Bevölkerungsstatistik Destatis Statistisches Bundesamt Wiesbaden Berlin München Hamburg Köln Frankfurt Stuttgart Düsseldorf Leipzig Dortmund Essen Bremen Dresden Hannover Nürnberg Duisburg Bochum.

Benford-Formeln

Wahrscheinlichkeit erste signifikante Ziffer: P(d) = log10(1 + 1/d) für d=1..9. Äquivalent: P(d) = log10((d+1)/d). Exakte Tabelle: P(1)=0,30103, P(2)=0,17609, P(3)=0,12494, P(4)=0,09691, P(5)=0,07918, P(6)=0,06695, P(7)=0,05799, P(8)=0,05115, P(9)=0,04576. Summe=1,0 exakt.

Verallgemeinerte erste n Ziffern: P(d1...dn) = log10(1 + 1/(d1*10^(n-1) + ... + dn)). P(10) erste 2 = 4,139%, P(99) = 0,437%. Mächtiger forensischer Test.

Chi-Quadrat-Konformitätstest: chi^2 = sum((Observed-Expected)^2/Expected). df=8. 15,5 signifikante Abweichung Betrugsindikator.

Mark Nigrini forensisch: MAD Mean Absolute Deviation 0,015 Nichtkonformität. Betrügerische Buchhaltung MAD 0,05+.

Pre-Conditions: mehrere Größenordnungen (3 Dekaden), diverse Quellen, mindestens 1000 Beobachtungen, nicht bounded narrow.

Geschichte und Kontext

Simon Newcomb (Kanada-USA 1835-1909) US Naval Observatory Washington DC Astronom Mathematiker 1881 American Journal Mathematics. Frank Albert Benford (USA 1883-1948) General Electric GE Schenectady NY 1938 20229 Zahlen 20 Kategorien. Theodore P. Hill 1995 Georgia Tech rigoroser mathematischer Beweis Skaleninvarianz. Roger S. Pinkham 1961 Princeton. Persi Diaconis Stanford 1977. Mark J. Nigrini 1996 Western Cape University Südafrika "Forensic Analytics" 2011. Walter Mebane Michigan University 2009 Wahlbetrug Iran. Deutschland Forschung Betrug: BZSt Bundeszentralamt Steuern Bonn 1500 Mitarbeiter Steuerprüfungen Außensteuerprüfung; FIU Financial Intelligence Unit Köln Bundeszollverwaltung Geldwäscheprävention 250000 Verdachtsmeldungen jährlich; BaFin Bundesanstalt Finanzdienstleistungsaufsicht Bonn-Frankfurt Wertpapieraufsicht Banken Versicherungen Kapitalverwaltungsgesellschaften 2700 Mitarbeiter; Bundesbank Frankfurt Zentralbank IT Audit Department; Bundeskriminalamt BKA Wiesbaden Cyber-Kriminalität Geldwäsche; Bundesrechnungshof Bonn Bundesfinanzkontrolle 1714 Königlich Preußisches Generalkontrolldepartement; Justizministerium Berlin BMJ. Banken Deutschland: Deutsche Bank Frankfurt IT, Commerzbank Frankfurt Crypto, KfW Frankfurt Operationen, Sparkassen DSGV Berlin, Volksbanken BVR Berlin Genossenschaftsbanken DZ BANK Frankfurt.

Berühmte Betrugsfälle Deutschland: Wirecard 2020 München Aschheim 2 Mrd Euro Buchhaltungsbetrug Markus Braun CEO verhaftet, BaFin Aufsichtsversagen Deutscher Skandal Jahrhundert; Volkswagen Dieselgate 2015 Wolfsburg Emissionsbetrug US EPA Environmental Protection Agency Washington DC Untersuchung 30 Mrd Euro Strafen weltweit; Siemens 2008 München Korruptionsskandal 1,3 Mrd Euro Bußgeld FCPA Foreign Corrupt Practices Act USA SEC Securities Exchange Commission; Schlecker 2012 Insolvenz Drogerie Kette Buchhaltungsbetrug; HRE Hypo Real Estate 2008 Bankenrettung 102 Mrd Euro Krise; Cum-Ex Steuerbetrug 2002-2012 35 Mrd Euro Verlust deutscher Staat retrospektiv Benford-Analyse. Universitäten Deutschland Forschung: LMU Ludwig-Maximilians-Universität München Statistik, Universität Heidelberg älteste 1386, Humboldt-Universität Berlin, FU Freie Universität Berlin, RWTH Aachen Wirtschaftswissenschaften, KIT Karlsruhe Institut Technologie, TU München Wirtschaftsinformatik, Universität Mannheim Statistik Wirtschaftsmathematik, Universität zu Köln Wirtschaft, Goethe-Universität Frankfurt Finanzmathematik. Destatis Statistisches Bundesamt Wiesbaden Berlin gegründet 1872 Demographie 84 Millionen Deutsche, VPI Verbraucherpreisindex monatlich, Mikrozensus jährlich. PTB Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig nationales Metrologie-Institut Atomuhren Cäsium-Brunnen CSF1 CSF2 Genauigkeit 10^-15.

Tabelle Benford-Verteilung

  • P(1) = 30,10%: Ziffer 1 häufigste, log10(2)
  • P(9) = 4,58%: Ziffer 9 seltenste, log10(10/9)
  • Uniform random: 11,11% pro Ziffer (NICHT Benford)
  • Chi^2 Konformität: 15,5 Abweichung
  • MAD: 0,015 Nichtkonformität
  • Bevölkerungen Städte Destatis: konform Benford
  • Atomgewichte Elemente: konform Benford
  • CODATA physikalische Konstanten: konform Benford
  • Frankfurter Börse DAX 40: konform Benford
  • Lotto Deutschland 6 aus 49: NICHT konform (uniform random)
  • Alter 18-100: NICHT konform (bounded narrow)
  • Steuer-ID Deutschland: NICHT konform (algorithmisch)
  • Telefonnummern: NICHT konform (festes Format)
  • Wirecard 2020 München: Abweichung retrospektiv Buchhaltung
  • Volkswagen Dieselgate 2015: Wolfsburg Emissionen

Detaillierte numerische Beispiele

Beispiel 1 - Ziffer 1 Benford. d=1. P(1)=30,10%. Sample 1000 Bevölkerungen Städte Destatis Berlin München Hamburg Köln Frankfurt Stuttgart Düsseldorf Leipzig Dortmund. Expected=301. Deutschland: Destatis 84 Mio Deutsche 11000+ Gemeinden. Berlin 3,7 Mio, Hamburg 1,9 Mio, München 1,5 Mio - Ziffern: 3, 1, 1.

Beispiel 2 - Ziffer 9 Benford. d=9. P(9)=4,58%. Sample 1000. Expected=46. FIU AML compliance Köln Bundesbank Frankfurt deviation flagged.

Beispiel 3 - Betrugstest künstlicher Datensatz. 10 Zahlen 500 alle. Chi^2=110+ >>15,5. Wirecard 2020 München retrospektive Benford-Analyse zeigte Abweichung vor Insolvenz.

Beispiel 4 - Sample 10 KMU-Umsätze Deutschland (€). Realistisch: 12500, 8900, 25000, 1850, 75000, 230000, 1100000, 45000, 320000, 6700. Ziffern 1,8,2,1,7,2,1,4,3,6. Chi^2 klein ~3-4, Konformität moderat-hoch. BZSt Bundeszentralamt Steuern Bonn Steuerprüfungen Umsatzsteuer-Erklärungen.

Beispiel 5 - Physikalische Konstanten CODATA. G=6,67e-11, c=2,998e8, h=6,626e-34, e=1,602e-19, k_B=1,381e-23 - Ziffern 6,2,6,1,1 - konform Benford kleine Stichproben.

Grenzen und Überlegungen

  1. Pre-Conditions 3 Dekaden Größenordnung.
  2. NICHT bounded narrow: Alter 18-100, Schulnoten.
  3. NICHT uniform random: Lotto, Würfel.
  4. Mehrere Dekaden notwendig.
  5. Betrugsindikator NICHT rechtlicher Beweis.
  6. False Positive Trunkierung Rundung Effekte.
  7. Sample Minimum 100 robust 1000.
  8. Zweite Ziffer konvergiert uniform.
  9. Mantissa log10(N) Bruchteil uniform.
  10. Numerische Präzision große Stichproben BigDecimal.

Häufige Fehler

  1. Benford auf bounded narrow anwenden.
  2. Verwechseln führende Ziffer mit Einer-Ziffer.
  3. Vorzeichen ignorieren.
  4. Auf uniform random anwenden.
  5. Stichprobe unzureichend.
  6. Chi^2 vs Kausalität Betrug.
  7. Schmaler Magnitude-Bereich 1 Dekade.
  8. log10 numerischer Unterlauf.
  9. Dezimalpunkt 0,123 Ziffer=1.
  10. Verschiedene Basen Formel.

Nummerierte Anwendungen

  1. BZSt Deutschland: Bundeszentralamt Steuern Bonn 1500 Mitarbeiter Steuerprüfungen Außensteuerprüfung Benford-Analyse.
  2. FIU AML: Financial Intelligence Unit Köln Bundeszollverwaltung Geldwäscheprävention 250000 Verdachtsmeldungen jährlich.
  3. BaFin Wertpapieraufsicht: Bundesanstalt Finanzdienstleistungsaufsicht Bonn-Frankfurt Banken Versicherungen Kapitalverwaltung 2700 Mitarbeiter.
  4. Banken Deutschland: Deutsche Bank Frankfurt IT, Commerzbank Frankfurt Crypto, KfW Frankfurt, Sparkassen DSGV Berlin, Volksbanken BVR.
  5. Berühmte Fälle Deutschland: Wirecard 2020 München 2 Mrd Euro, Volkswagen Dieselgate 2015 Wolfsburg, Siemens 2008 Korruption, Cum-Ex 35 Mrd Euro 2002-2012.
  6. Universitäten Deutschland: LMU München, Heidelberg 1386 älteste, Humboldt FU Berlin, RWTH Aachen, KIT Karlsruhe, TU München, Mannheim Statistik.
  7. Destatis: Statistisches Bundesamt Wiesbaden Berlin 1872 Demographie 84 Mio Deutsche VPI Mikrozensus jährlich.
  8. BKA: Bundeskriminalamt Wiesbaden Cyber-Kriminalität Geldwäsche, Bundesrechnungshof Bonn Bundesfinanzkontrolle 1714.
  9. Forensik Standard: Mark Nigrini 2011 'Forensic Analytics' Standardmethodologie angewendet Deutschland Audit.
  10. FATCA Anwendung: Foreign Account Tax Compliance Act USA Anwendung Deutschland 2014 Bankinformationsaustausch.

Für Support

Für technische Fragen: info@calcoi.com. Bildungswerkzeug forensische Statistik. Referenzen: Newcomb 1881, Benford 1938, Hill 1995, Nigrini 2011 'Forensic Analytics'.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet Benfordsches Gesetz?

Kontraintuitive Wahrscheinlichkeitsverteilung führender signifikanter Ziffer in natürlichen Datensätzen. P(d)=log10(1+1/d). P(1)=30,10%, P(9)=4,58%. Ziffer 1 6-mal häufiger als Ziffer 9. Geschichte Newcomb 1881, Benford 1938 General Electric Schenectady NY 20229 Zahlen. Anwendungen Betrugserkennung BZSt Bonn, FIU Köln Geldwäsche, BaFin Wertpapieraufsicht.

Welche Pre-Conditions Benford?

3 Dekaden Größenordnung, diverse Quellen, 1000 Beobachtungen, nicht bounded narrow. Konform: Bevölkerungen Städte Destatis Berlin 84 Mio Deutsche, Atomgewichte, CODATA Konstanten, DAX 40 Frankfurter Börse. NICHT konform: Alter 18-100, Steuer-ID algorithmisch, Telefonnummern, Lotto uniform random.

Wie Benford Betrugserkennung?

Chi-Quadrat chi^2=sum((Obs-Exp)^2/Exp). df=8. 15,5 Abweichung Betrug. Nigrini 1996 Western Cape Südafrika forensisch. MAD 0,015 Nichtkonformität. Deutschland Fälle Wirecard 2020 München 2 Mrd Euro, VW Dieselgate 2015 Wolfsburg, Cum-Ex 2002-2012 35 Mrd Euro retrospektiv Benford.

Warum Ziffer 1 häufiger als Ziffer 9?

Ziffer 1 (30,10%) 6-mal häufiger als Ziffer 9 (4,58%). Skaleninvarianz-Verteilung Hill 1995 Georgia Tech. Logarithmisch: Zahlen 1-2 span größeren Magnitude-Bereich als 9-10. Proportionen log10(2):log10(10/9)=6,6:1. Verteilung invariant unter Skalierung UND Basis-Änderung.

Wie Benford anwenden Wirtschaft Deutschland?

Deutschland Anwendungen: BZSt Bundeszentralamt Steuern Bonn 1500 Mitarbeiter Steuerprüfungen, FIU Financial Intelligence Unit Köln Bundeszollverwaltung 250000 Verdachtsmeldungen jährlich, BaFin Bonn-Frankfurt 2700 Mitarbeiter Banken-Aufsicht; Fälle Wirecard 2020 München, VW Dieselgate 2015 Wolfsburg, Siemens 2008 Korruption München, Cum-Ex 2002-2012 35 Mrd Euro Steuerbetrug.

Welche Datensätze Benford-konform?

Konform: Flusslängen Welt, Bevölkerungen Städte Destatis Wiesbaden 84 Mio Deutsche 11000+ Gemeinden Berlin München Hamburg Köln, Atomgewichte periodische Elemente, CODATA physikalische Konstanten G c h e k_B, DAX 40 Frankfurter Börse, KMU-Umsätze Deutschland, wissenschaftliche Publikationen. NICHT konform: Alter 18-100, Steuer-ID algorithmisch, Telefonnummern, Lotto 6 aus 49 uniform.

Wie Benford forensisches Audit?

Mark Nigrini 1996 Formalisierung: First Digit Test, First Two Digits Test sensibler, Second Digit Test asymptotisch uniform, Mantissa Arc Test, Z-Statistik, MAD, DF. 'Forensic Analytics' 2011 Standardbuch. Deutschland: BZSt Steuerprüfungen, FIU Köln AML, BaFin Aufsicht, Bundeskriminalamt Wiesbaden Cyber-Kriminalität, Bundesrechnungshof Bonn Bundesfinanzkontrolle 1714.

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