Comment calculer loi Benford première cifre significative

Calcul loi Benford P(d)=log10(1+1/d) première chiffre significative. P(1)=30.10%, P(9)=4.58%. Histoire Newcomb 1881 Benford 1938. Applications fraude DGFiP Paris audit fiscal.

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Comment calculer la loi de Benford: distribution probabilistique contre-intuitive première cifre significative datasets naturels. Formule: P(d) = log10(1 + 1/d) pour d=1..9. P(1)=30.10%, P(2)=17.61%, P(3)=12.49%, P(4)=9.69%, P(5)=7.92%, P(6)=6.69%, P(7)=5.80%, P(8)=5.12%, P(9)=4.58%. Chiffre 1 apparait 6 fois plus frequent que chiffre 9. Histoire: Simon Newcomb (Canada-USA 1835-1909) US Naval Observatory Washington DC 1881 American Journal Mathematics. Frank Benford (USA 1883-1948) Général Electric GE Schenectady NY 1938 avec 20229 nombres 20 datasets divers. Applications: fraud detection audit fiscal DGFiP Direction Générale Finances Publiques Paris, blanchiment capitaux Tracfin Traitement Renseignement Action Lutte contre Circuits Financiers Clandestins Paris, AMF Autorite Marches Financiers Paris audits marches financiers, fraude electorale analyse statistique, scientific data integrity, populations villes INSEE Institut National Statistique Etudes Economiques Paris, Paris Marseille Lyon Toulouse Nice Nantes Strasbourg Montpellier Bordeaux Lille.

Formules loi Benford

Probabilite première cifre significative: P(d) = log10(1 + 1/d) pour d=1..9. Equivalent: P(d) = log10((d+1)/d). Table exacte: P(1)=0.30103, P(2)=0.17609, P(3)=0.12494, P(4)=0.09691, P(5)=0.07918, P(6)=0.06695, P(7)=0.05799, P(8)=0.05115, P(9)=0.04576. Somme=1.0 exact.

Generalization premieres n chiffres: P(d1...dn) = log10(1 + 1/(d1*10^(n-1) + ... + dn)). P(10) premiers 2 = 4.139%, P(99) = 0.437%. Test forensique puissant.

Test conformity Chi-carre: chi^2 = sum((Observed-Expected)^2/Expected). df=8. 15.5 deviation significative fraud indicator.

Mark Nigrini forensique: MAD Mean Absolute Deviation 0.015 nonconformity. Bookkeeping frauduleux MAD 0.05+.

Pre-conditions: multiples ordres magnitude (3 decades), origines divers, minimum 1000 observations, pas bounded narrow.

Histoire et contexte

Simon Newcomb (Canada-USA 1835-1909) US Naval Observatory Washington DC astronome mathematicien 1881 American Journal Mathematics. Frank Albert Benford (USA 1883-1948) Général Electric GE Schenectady NY 1938 20229 numéros 20 categories. Theodore P. Hill 1995 Georgia Tech preuve rigorous scale-invariance. Roger S. Pinkham 1961 Princeton. Persi Diaconis Stanford 1977. Mark J. Nigrini 1996 Western Cape University South Africa "Forensic Analytics" 2011. Walter Mebane Michigan University 2009 election fraud Iran. France recherche fraude: DGFiP Direction Générale Finances Publiques Paris 130000 fonctionnaires audits fiscaux; Tracfin Paris cellule Bercy ministere finances anti-blanchiment 60000 declarations annuelles; AMF Autorite Marches Financiers Paris 1500 societes cotees Bourse Paris; Banque France Paris IT Audit Department compliance; FATCA Foreign Account Tax Compliance Act USA application France 2014 echange information bancaire; Cour des Comptes Paris audit etat 1807 Napoleon institution; Cour de Cassation Paris haute juridiction; Conseil d Etat Paris administrative supreme. Banques France: BNP Paribas Paris IT, Societe Générale Paris IT Crypto, Credit Agricole Paris-Mt-de-Marsan Operations, BPCE Banque Populaire Caisse Épargne Paris, Credit Mutuel Strasbourg. Cas celebres France fraude: Caso Credit Lyonnais 1993 banking faillite intervention etat 30 milliards francs; Caso EADS Airbus 1999-2003 stock options interrogation AMF;

Caso Vivendi Jean-Marie Messier 2002 telecom restructuration; Caso Societe Générale 2008 Jerome Kerviel rogue trader 4.9 milliards euros perte; Caso Caisse Épargne 2008 trader; Caso Volkswagen Dieselgate 2015 emissions UE EPA enquete. Universites France recherche: Sorbonne Universite Paris, Universite Paris-Saclay 60000 etudiants premier rang Shanghai France 14eme monde, ENS Ecole Normale Superieure Paris-Lyon-Cachan, Polytechnique Palaiseau, ENSAE ENSAI INSEE statistique, EHESS Paris sciences sociales, CREST Centre Recherche Économie Statistique Palaiseau, EconomiX Universite Paris Nanterre. INSEE Paris Institut National Statistique Etudes Economiques 1946 demographie 67 millions francais, IPC Indice Prix Consommation, EE Enquete Emploi.

Table distribution Benford

  • P(1) = 30.10%: chiffre 1 plus frequent
  • P(9) = 4.58%: chiffre 9 moins frequent
  • Uniform random: 11.11% par chiffre
  • Chi^2 conformity: 15.5 deviation
  • MAD: 0.015 nonconformity
  • Populations villes INSEE: conforme Benford
  • Atomic weights: conforme Benford
  • CODATA constantes physiques: conforme Benford
  • Bourse Paris CAC 40: conforme Benford
  • Loto National France: NON conforme (uniform random)
  • Ages 18-100: NON conforme (bounded narrow)
  • Numéro securite sociale: NON conforme (algorithmique)
  • Telephones: NON conforme (format fixe)
  • Caso Credit Lyonnais 1993: deviation banking
  • Caso Societe Générale 2008: Jerome Kerviel rogue trader

Exemples numériques detailles

Exemple 1 - Chiffre 1 Benford. d=1. P(1)=30.10%. Sample 1000 populations villes INSEE Paris Marseille Lyon Toulouse Nice. Expected=301. France: INSEE 67 mln francais 35000+ communes. Paris 2.1 mln, Marseille 870k, Lyon 520k - chiffres: 2, 8, 5.

Exemple 2 - Chiffre 9 Benford. d=9. P(9)=4.58%. Sample 1000. Expected=46. Tracfin AML compliance bancaire deviation flagged.

Exemple 3 - Test fraude artificial. 10 numéros 500 tous. Chi^2=110+. Caso Societe Générale 2008 Jerome Kerviel rogue trader retrospectif Benford.

Exemple 4 - Sample 10 chiffres affaires PME France (€). Realistique: 12500, 8900, 25000, 1850, 75000, 230000, 1100000, 45000, 320000, 6700. Chiffres 1,8,2,1,7,2,1,4,3,6. Chi^2 small ~3-4, conformity. DGFiP audit fiscal TVA partitions empresas.

Exemple 5 - Constantes physiques CODATA. G=6.67e-11, c=2.998e8, h=6.626e-34, e=1.602e-19, k_B=1.381e-23 - chiffres 6,2,6,1,1 - conforme Benford.

Limites et considerations

  1. Pre-conditions 3 decades magnitude.
  2. NON bounded narrow: ages 18-100, notes scolaires.
  3. NON uniform random: loto, des.
  4. Decades multiples nécessaires.
  5. Fraud indicator NON proof legal.
  6. False positive truncation effets.
  7. Sample minimum 100 robust 1000.
  8. Chiffres seconds converge uniform.
  9. Mantissa log10(N) part fractional uniform.
  10. Précision numérique large samples BigDecimal.

Erreurs communes

  1. Appliquer Benford bounded narrow.
  2. Confondre chiffre premier avec unité.
  3. Ignorer signe nombre.
  4. Appliquer uniform random.
  5. Sample insuffisant.
  6. Chi^2 vs causation fraud.
  7. Narrow magnitude 1 decade.
  8. log10 underflow numérique.
  9. Decimal point 0.123 chiffre=1.
  10. Different bases formule.

Applications numerotees

  1. DGFiP France: Direction Générale Finances Publiques Paris 130000 fonctionnaires audits fiscaux Benford analysis.
  2. Tracfin AML: Cellule Bercy ministere finances Paris anti-blanchiment 60000 declarations annuelles.
  3. AMF marches financiers: Autorite Marches Financiers Paris 1500 societes cotees Bourse Paris CAC 40.
  4. Banques France: BNP Paribas Paris, Societe Générale Paris, Credit Agricole, BPCE, Credit Mutuel compliance AML.
  5. Cas celebres France: Credit Lyonnais 1993, EADS Airbus 1999, Vivendi Messier 2002, Societe Générale Kerviel 2008.
  6. Universites France: Sorbonne Paris, Paris-Saclay, ENS Paris-Lyon, Polytechnique Palaiseau, ENSAE ENSAI INSEE statistique.
  7. INSEE: Institut National Statistique Etudes Economiques Paris 1946 demographie 67 mln francais IPC EE.
  8. Cour des Comptes: Paris audit etat 1807 Napoleon institution Cour Cassation Conseil d Etat.
  9. Forensique standard: Mark Nigrini 2011 'Forensic Analytics' methodologie standard appliquee France audit.
  10. FATCA: Foreign Account Tax Compliance Act USA application France 2014 echange information bancaire.

Pour support

Pour questions techniques: info@calcoi.com. Outil educatif statistique forensique. Références: Newcomb 1881, Benford 1938, Hill 1995, Nigrini 2011 'Forensic Analytics'.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Quel est loi Benford?

Distribution probabilistique contre-intuitive première chiffre significative datasets naturels. P(d)=log10(1+1/d). P(1)=30.10%, P(9)=4.58%. Histoire Newcomb 1881, Benford 1938. Applications fraud detection DGFiP Paris audit fiscal, Tracfin blanchiment, AMF marches financiers.

Quelles pre-conditions Benford?

3 decades magnitude, diverses origines, 1000 observations, pas bounded narrow. Conformes: populations villes INSEE Paris, atomic weights, CODATA, CAC 40 Bourse Paris. NON conformes: ages 18-100, NSS algorithmique, telephones, loto uniform.

Comment Benford fraud detection?

Chi-carre chi^2=sum((Obs-Exp)^2/Exp). df=8. 15.5 deviation fraud. Nigrini 1996. MAD 0.015 nonconformity. France cas Credit Lyonnais 1993, Societe Générale 2008 Kerviel, Vivendi 2002 retrospectif Benford.

Pourquoi chiffre 1 plus frequent chiffre 9?

Chiffre 1 (30.10%) 6 fois plus frequent chiffre 9 (4.58%). Scale-invariance distribution Hill 1995. Logarithmique: 1-2 span plus magnitude 9-10. Proportions log10(2):log10(10/9)=6.6:1. Distribution invariante scale AND base change.

Comment Benford economie France?

France applications: DGFiP Paris 130000 fonctionnaires audits fiscaux, Tracfin Paris cellule Bercy 60000 declarations annuelles blanchiment, AMF Paris 1500 societes cotees CAC 40 Bourse Paris, cas Credit Lyonnais 1993, Societe Générale 2008 Kerviel rogue trader 4.9 milliards, Vivendi Messier 2002, Volkswagen Dieselgate 2015.

Quels datasets Benford conformes?

Conformes: longueurs fleuves monde, populations villes INSEE Paris 67 mln francais 35000+ communes, atomic weights, CODATA constantes physiques, CAC 40 Bourse Paris, chiffres affaires PME France, publications scientifiques. NON conformes: ages 18-100, NSS algorithmique, telephones, loto FDJ uniform random.

Comment Benford audit forensique?

Mark Nigrini 1996 formalization: First Digit Test, First Two Digits Test, Second Digit Test, Mantissa Arc Test, Z-statistic, MAD, DF. 'Forensic Analytics' 2011 standard. France: DGFiP audits, Tracfin Bercy AML, AMF marches, Cour Comptes Paris audit etat 1807.

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