Distribution t de Student : inférence avec petits échantillons

La distribution t, introduite par William Sealy Gosset (1908) sous le pseudonyme "Student", est celle de T = (X̄ − μ)/(s/√n) avec σ² inconnue. Densité : f(t) = Γ((ν+1)/2)/(√(νπ)·Γ(ν/2)) · (1 + t²/ν)^(−(ν+1)/2), où ν = n − 1 est le degré de liberté. Symétrique, queues plus lourdes que la normale ; converge vers N(0, 1) quand ν → ∞.

Degrés de liberté et queues

Pour petits ν les queues sont plus épaisses : P(T > 2) à ν=1 est 14,76%, ν=5 5,1%, ν=30 2,7%, ν=∞ (normale) 2,28%. Pour ν ≥ 30 t ≈ N(0, 1).

Test t

H₀ : μ = μ₀ vs H₁ : μ ≠ μ₀. t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) ~ t_{n−1}. Deux échantillons indépendants : t = (x̄₁ − x̄₂)/(s_p·√(1/n₁ + 1/n₂)), ν = n₁+n₂−2. Appariés : t = d̄/(s_d/√n).

Intervalle de confiance

x̄ ± t_{α/2, n−1} · s/√n. n=10, α=0,05 : t=2,262. Si x̄=50, s=5 → IC 95% = [46,42 ; 53,58].

p-value et valeur critique

Bilatéral : p = 2·P(T > |t_obs|). Unilatéral droit : p = P(T > t_obs). Critique : t avec P(T > t_crit) = α. ν=20, α=0,05 bilatéral : t=2,086 ; unilatéral 1,725.

Calcul numérique

CDF t via bêta incomplète régularisée : P(T ≤ t) = 1 − 0,5·I_x(ν/2, 1/2), x = ν/(ν+t²). Fraction continue Lentz, erreur 10⁻¹². PDF avec lnΓ de Lanczos.

Applications

Tests d'hypothèse avec petits échantillons ; contrôle qualité ; biostatistique (efficacité pharmaceutique) ; psychométrie ; économie ; agriculture (Fisher) ; physique expérimentale ; tests A/B ; méta-analyse (Hedges' g).

Utilisation

Mode : PDF (t, df), CDF (t, df), p-value (t, df, queue), Critique (α, df, queue). Queue : bilatérale, droite, gauche. df ≥ 1.

Exemple numérique

Test unilatéral droit avec n=15 (df=14), H₀ : μ=100, H₁ : μ>100. Données : x̄=105, s=8. Statistique t = (105−100)/(8/√15) = 5/2,066 = 2,421. p = P(T>2,421, df=14) ≈ 0,0147. Comme p 1,761 → rejeter.

Gosset, Guinness et le pseudonyme « Student »

La distribution t est née dans un cadre inhabituel : la brasserie Guinness de Dublin, où William Sealy Gosset travaillait comme chimiste au début du XXe siècle. Devant évaluer la qualité de la bière et des matières premières avec des échantillons nécessairement petits, il remarqua que la normale sous-estimait l'incertitude et développa sa distribution, la publiant en 1908 dans la revue Biometrika. Guinness interdisait à ses employés de publier pour protéger les secrets industriels, si bien que Gosset signa sous le pseudonyme « Student », sous lequel la distribution est encore connue. Ronald Fisher lui donna ensuite la formulation rigoureuse en termes de degrés de liberté.

Applications du test t

Le test t est l’un des outils les plus utilisés de la statistique appliquée : il compare la moyenne d’un échantillon à une valeur attendue, les moyennes de deux groupes indépendants ou des mesures appariées avant et après un traitement. Il est au cœur des essais cliniques, du contrôle qualité et de la psychométrie, dans toute recherche comparant des moyennes sur des données limitées.

Mis à jour en juillet 2026