Distribución t de Student: inferencia con muestras pequeñas

La distribución t, introducida por William Sealy Gosset (1908) bajo el seudónimo "Student", es la distribución de T = (X̄ − μ)/(s/√n) con σ² desconocida. Densidad: f(t) = Γ((ν+1)/2)/(√(νπ)·Γ(ν/2)) · (1 + t²/ν)^(−(ν+1)/2), donde ν = n − 1 es el grado de libertad. Simétrica, colas más pesadas que la normal; converge a N(0, 1) cuando ν → ∞.

Grados de libertad y colas

Para ν pequeños las colas son más gruesas: P(T > 2) en ν=1 es 14,76%, ν=5 5,1%, ν=30 2,7%, ν=∞ (normal) 2,28%. Para ν ≥ 30 t ≈ N(0, 1).

t-test

H₀: μ = μ₀ vs H₁: μ ≠ μ₀. t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) ~ t_{n−1}. Dos muestras independientes: t = (x̄₁ − x̄₂)/(s_p·√(1/n₁ + 1/n₂)), ν = n₁+n₂−2. Datos apareados: t = d̄/(s_d/√n).

Intervalo de confianza

x̄ ± t_{α/2, n−1} · s/√n. n=10, α=0,05: t=2,262. Si x̄=50, s=5 → IC 95% = [46,42; 53,58].

p-value y valor crítico

Bilateral: p = 2·P(T > |t_obs|). Unilateral derecho: p = P(T > t_obs). Crítico: t con P(T > t_crit) = α. ν=20, α=0,05 bilateral: t=2,086; unilateral 1,725.

Cálculo numérico

CDF t vía beta incompleta regularizada: P(T ≤ t) = 1 − 0,5·I_x(ν/2, 1/2), x = ν/(ν+t²). Fracción continua Lentz, error 10⁻¹². PDF con lnΓ de Lanczos.

Aplicaciones

Tests de hipótesis con muestras pequeñas; control de calidad; bioestadística (eficacia farmacológica); psicometría; economía; agricultura (Fisher); física experimental; A/B tests; meta-análisis (Hedges' g).

Cómo usar

Modo: PDF (t, df), CDF (t, df), p-value (t, df, cola), Crítico (α, df, cola). Cola: bilateral, derecha, izquierda. df ≥ 1.

Ejemplo numérico

Test unilateral derecho con n=15 (df=14), H₀: μ=100, H₁: μ>100. Datos: x̄=105, s=8. Estadístico t = (105−100)/(8/√15) = 5/2,066 = 2,421. p = P(T>2,421, df=14) ≈ 0,0147. Como p 1,761 → rechazar.

Gosset, Guinness y el seudónimo "Student"

La distribución t nació en un contexto insólito: la cervecería Guinness de Dublín, donde William Sealy Gosset trabajaba como químico a inicios del siglo XX. Al tener que evaluar la calidad de la cerveza y las materias primas con muestras necesariamente pequeñas, notó que la normal subestimaba la incertidumbre y desarrolló su distribución, publicándola en 1908 en la revista Biometrika. Guinness prohibía a los empleados publicar para proteger secretos industriales, así que Gosset firmó con el seudónimo "Student", con el que la distribución se conoce aún hoy. Ronald Fisher le dio después la formulación rigurosa en términos de grados de libertad.

Aplicaciones del test t

El test t es una de las herramientas más usadas de la estadística aplicada: compara la media de una muestra con un valor esperado, las medias de dos grupos independientes o medidas apareadas antes y después de un tratamiento. Es el corazón de los ensayos clínicos, el control de calidad y la psicometría, en toda investigación que compare medias con datos limitados.

Actualizado a julio de 2026